1、考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (2004 年试题，二) 设 f(x)=x(1 一 x)，则( )（A）x=0 是 f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线 y=f(x)的拐点（B） x=0 不是 f(x)的极值点，但 (0，0)是曲线 y=f(x)的拐点（C） x=0 是 f(x)的极值点，且 (0，0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）x=0 不是 f(x)的极值点，且(0，0)也不是曲线 y=f(x)的拐点2 (2001 年试题，二) 曲线) ，=(x 一 1)2(x 一 3)2 的拐点个数为(
2、)（A）0（B） 1（C） 2（D）33 (2000 年试题，二) 设函数 f(x)满足关系式 f(x)+f(x)2=x，且 f(0)=0，则( )（A）f(0)是 f(x)的极大值（B） f(0)是 f(x)的极小值（C）点 (0,f(0)是曲线)， y=(x)的拐点（D）f(0)不是 f(x)的极值，点(0,f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点4 (2012 年试题，一) 曲线 的渐近线条数为( )（A）0（B） 1（C） 2（D）35 (2007 年试题，一) 曲线 渐近线的条数为( )（A）0（B） 1（C） 2（D）36 (2009 年试题，一) 若 f(x)不变号，且曲线 y=f
3、(x)在点(1，1)上的曲率圆为x2+y2=2，则 f(x)在区间(1，2)内( )（A）有极限点，无零点（B）无极值点，有零点（C）有极值点，有零点（D）无极值点，无零点二、填空题7 (2009 年试题，二(13)函数 y=x2x 在区间(0，1上的最小值为 _8 (2008 年试题，二) 曲线 了的拐点坐标为_9 (2011 年试题，三) 设函数 y=y(x)由参数方程 确定，求 y=y(x)的极值和曲线 y=y(x)的凹凸区间及拐点10 (2004 年试题，一) 设函数 y(x)由参数方程 确定，则曲线 y=y(x)向上凸的 x 取值范围为_.11 (2010 年试题，10) 曲线 渐近
4、线方程为_.12 (2006 年试题，一) 曲线 的水平渐近线方程为_.13 (2005 年试题，一) 曲线 的斜渐近线方程为_14 (2000 年试题，一) 曲线 的斜渐近线方程为_15 (1998 年试题，一) 曲线 的渐近线方程为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 (2004 年试题，三(3)设 (I)证明 f(x)是以 为周期的周期函数；()求 f(x)的值域16 (1999 年试题，七) 已知函数 ，求17 函数的增减区间及极值；18 函数图形的凹凸区间及拐点；19 函数图形的渐近线考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编 2 答案与解析一、选择题下列每题给
5、出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查极值点与拐点的定义，若严格采用解析方法分析 f(x)与 f(x)在 x=0 左、右侧的性质较为繁琐，由于 f(x)=x(1 一 x)是二次函数加绝对值符号，图形不难作出，可由此直接判断，如图 126 所示：f(x)=0 且 f(0)为极小值，而在 x=0 左侧 f(x)下凸，在 x=0 右侧 f(x)上凸，因此(0，0)为 y=f(x)之拐点，综上选 C【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查拐点的充要条件，由题设 y=(x 一 1)2(x 一 3)2，则 y=4(x 一1)(x
6、一 2)(x 一 3)，且 y=4(3x2 一 12x+11)令 y=0，得 列表： 可见在 x1 与 x2 的两侧都有 y变号，所以x1 与 x2 都是拐点，选 C评注若点 f(xo)=0,f(xo)0，则点(x o,f(xo)一定是曲线y=f(x)的拐点【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查极值点及拐点的充分必要条件，由已知 f(0)=0 及关系式f(x)+f(x)2=x，则 x=0 是 f(x)的驻点，但还不能确定是否为极值点，在已知关系式中令 x=0，则 f2(0)=0，至此也无法确定 x=0 点是否为拐点，还需对 f(0)作进一步分析将原关系式对戈求导
7、，得 f(x)=1 一 2f(x)f(x)，从而 f(0)=10，且由f(x)的连续性(由其表达式所决定)知存在 0，使 x(一 ，)时，f (x)0，即在此小邻域内 f(x)严格单调递增，从而 f(x)在 x=0 左、右异号，即 f(x)(x)0，x (0，) ，由此可知 x=0 是 f(x)的拐点，此外由前述，可知，当 x(-，0)时，f(x)(c)严格单调递减，而当(0，) 时 f(x)0，则 f(x)严格单调递增，已知 f(0)=0，从而当 x(-，0) 时 f(x)0，且当 x(0，)时 f(x)0，因此 x=0 两侧 f(x)不变号，因此 f(0)并非极值点，综上，选 C 评注f(
8、x)在点 xo 处满足 f(k-1)(xo)=0，f (h)(xo)0，则当 k(k2)为偶数时，x o 是函数的极值点，当 k 为奇数时点(x o,xo)是曲线y=f(x)的拐点【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 C【试题解析】 根据渐近线的定义可知， ，得直线 y=1为已知曲线的水平渐近线，又由 ，得直线 x=1 为垂直渐近线，没有斜渐近线，因此选 C【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 D【试题解析】 则 x=0 是曲线的垂直渐近线；，则 y=0 是曲线的水平渐近线；，则 y=x 是其斜渐近线综上知共有 3 条渐近线，故应选 D评注 通常，有水平渐近线就不再考虑斜渐近线
9、【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 B【试题解析】 因为曲线 y=f(x)在点(1，1) 上的曲率圆为 x2+y2=2，且 f(x)不变号，所以 f(x)是一个凸函数，即 f(x) 则 f(1)=一 1因为 f(x)(x)(1)=一 1()(2一 1)=f()0， f(2)【知识模块】 一元函数微分学二、填空题7 【正确答案】 因为 y=x2x=e2xlnx，所以 y=e2xlnx(21nx+2)=2(1nx+1)x令 y=0，的驻点又 y=4(1nx+1)x2x+2x2x-1，则 故 为 y=x2x 的极小值点，也是在区间(0，1 内的最小值，即【知识模块】 一元函数微分学8 【正
10、确答案】 令 f(x)=0，得到 x=一 1，但在 x=一 1 附近 f(x)均大于 0，故在 x=一 1 处曲线无拐点；又函数 f(x)在 x=0 处不可导，且在 x=0 的附近 f(x)变号，故在 x=0 处曲线有拐点，拐点坐标为(0，0)【试题解析】 一般不说某个值为拐点，拐点应该为曲线上的点，可以说点的坐标【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 得 t=1， 当 t=1 时，因为所以当 t=一 1 即 x=一 1 时，函数取极大值 y=1当 t=1 时，因为 所以当 t=1 即 时，函数取极小值 令得 t=0，当 t 当 t 时，函数为凸函数；当 t0 即 时，函数为凹函数【知识
11、模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 由题设， 则令 则 即 t3+3t+1，则 从而 x=x(t)是严格单调递增的，且 x(0)=1，所以 t【试题解析】 当 t0 时，x1【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 因为 所以该曲线的渐近线方程为 y=2x【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 因为 所以所求水平渐近线方程为【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 根据题意可得所以，曲线的斜渐近线方程为【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 本题考查求斜渐近线的斜率与截距的公式，由已知，所以斜渐近线为 y=2x+1【试题解析】 看极限 是否存在，来判定是否存在
12、斜渐近线【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 通常渐近线有水平渐近线、铅直渐近线和斜渐近线由题设因此无水平渐近线又由因此也无铅直渐近线关于斜渐近线，设 因此有斜渐近线为【试题解析】 一般先通过极限确定铅直、水平和斜渐近线【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 由题设， 则所以f(x)是以， 为周期的周期函数显然 f(x)的值域只需局限于0，上讨论令 f(0)=0，则得驻点为且 同时 f(x)在0， 端点的值为 所以，综上知 f(x)的值域为【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 由题设 的定义域为(一，1)U(1 ，+)，且令y =0 得驻点 x1=0 及 x2=3又 令 y=0，得 x=0，列表如下函数的单调递增区间为(一，1)和(3，+) ，单调递减区间为(1，3)；极值为【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 函数图形在区间(一，0)内是上凸的，在区间(0，1)，(1，+)内是下凸的，拐点为点(0，0)【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 由 知，x=1 是函数图形的铅直渐近线；又从而 y=x+2 是函数图形的斜渐近线【试题解析】 考虑渐近线，一般要考虑 x，x+，x-三种情况【知识模块】 一元函数微分学
