1、考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 10 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)= 其中 g(x)是有界函数，则 f(x)在 x=0 处 ( )（A）极限不存在（B）极限存在，但不连续（C）连续，但不可导（D）可导2 设函数 f(x)可导，且曲线 y=f(x)在点(x 0，f(x 0)处的切线与直线 y=2 一 x 垂直，则当x0 时，该函数在 x=x0 处的微分 dy 是 ( )（A）与x 同阶但非等价的无穷小（B）与 x 等价的无穷小（C）比 x 高阶的无穷小（D）比x 低阶的无穷小3 函数 f(x)=ln|x 一 1|的导数是 ( )
2、4 函数 的图形在点(0，1)处的切线与 x 轴交点的坐标是( )（A）(一 1，0)（B）（C） (1，0)（D）5 函数 f(x)= 在 x= 处的 ( )6 设函数 f(x)具有任意阶导数，且 f(x)=f(x)2，则 f(n)(x)= ( )（A）nf(x) n+1（B） n!f(x)n+1（C） (n+1)f(x)n+1（D）(n+1)!f(x) n+17 函数 y=f(x)满足条件 f(0)=1，f(0)=0，当 x0 时，f(x)0， 则它的图形是 ( )8 函数 y=xx 在区间 ，+)上 ( )（A）不存在最大值和最小值（B）最大值是（C）最大值是（D）最小值是9 函数 f(
3、x)=2x+ ( )（A）只有极大值，没有极小值（B）只有极小值，没有极大值（C）在 x=一 1 处取极大值，x=0 处取极小值（D）在 x=一 1 处取极小值， x=0 处取极大值10 若 f(x)在 x0 点至少二阶可导，且 =一 1，则函数 f(x)在 x=x0 处 ( )（A）取得极大值（B）取得极小值（C）无极值（D）不一定有极值二、填空题11 曲线 在 t=1 处的曲率 k=_12 如果 f(x)在a，b上连续，无零点，但有使 f(x)取正值的点，则 f(x)在a，b上的符号为_.13 设函数 f(x)= 且 1+bx0，则当 f(x)在 x=0 处可导时，f(0)_14 曲线 y
4、=x+ 的凹区间是_15 设曲线 y=ax3+bx2+cx+d 经过( 一 2，44)，x=一 2 为驻点，(1，一 10)为拐点，则a，b，c，d 分别为_ 16 若函数 f(x)=asinx+ sin 3x 在 处取得极值，则 a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 设 f(x)=x3+4x2 一 3x 一 1，试讨论方程 f(x)=0 在(一，0)内的实根情况18 求 的反函数的导数19 设 ，a，b，c 是三个互不相等的数，求 y(n)20 设函数 f(y)的反函数 f-1(x)及 ff-1(x)与 f“f-1(x)都存在，且 f-1f-1(x)0证明：21 求函
5、数 y= 的导数22 23 设 y=y(x)是由 sin xy= 确定的隐函数，求 y(0)和 y“(0)的值24 设 y=f(ln x)ef(x)，其中 f 可微，计算25 设函数 f(x)在 x=2 的某邻域内可导，且 f(x)=e f(x), f(2)=1，计算 f(n)(2)26 设曲线 f(x)=xn 在点(1，1)处的切线与 x 轴的交点为(x n，0)，计算27 曲线 的切线与 x 轴和 y 轴围成一个图形，记切点的横坐标为 a，求切线方程和这个图形的面积当切点沿曲线趋于无穷远时，该面积的变化趋势如何?28 设 (x)= 又函数 f(x)在点 x=0 处可导，求 F(x)=f(x
6、)的导数29 证明：不等式 1+xln(x+ 一x+30 讨论方程 2x3 一 9x2+12xa=0 实根的情况31 讨论方程 axex+b=0(a0)实根的情况32 设 fn(x)=x+x2+-+xn，n=2，3，(1) 证明方程 fn(x)=1 在0，+)有唯一实根xn；33 设 fn(x)=1 一(1 一 cos x)n，求证：(1) 任意正整数 n，f n(x)= 中仅有一根；(2)设有34 在数 中求出最大值35 证明：方程 x=ln x( 0)在(0 ，+) 上有且仅有一个实根36 设 0k1，f(x)=kxarctan x证明：f(x) 在(0 ，+)中有唯一的零点，即存在唯一的
7、 x0(0，+)，使 f(x0)=037 f(x)在( 一，+)上连续， =+，且 f(x)的最小值 f(x0)x 0，证明：f(f(x)至少在两点处取得最小值38 设 T=cos n，=arccos x，求 39 已知 y=x2 sin 2x，求 y(50)40 41 已知 f(x)= ，求 f(1)考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 10 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 =f(0)=0，f(x)在 x=0 点连续所以 f-(0)=0 故 f+(0)=0，从而 f(0)存在，且 f(0)=0，应选(D) 【知识模块】
8、 一元函数微分学2 【正确答案】 B【试题解析】 由题设可知 f(x0)=1，即 dy 与x 是等价无穷小，故选(B)【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 B【试题解析】 应当把绝对值函数写成分段函数，f(x)= 当 x1时， 当 x1 时， 即得(B)【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 B【试题解析】 因为 f(x)=x2+x+6，所以 f(0)=6故过(0，1)的切线方程为 y 一1=6x，因此与 x 轴的交点为【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 D【试题解析】 f(x)在 x= 处的左、右导数为：因此 f(x)在 x= 处不可导，但有 f+()=【知识模块】
9、一元函数微分学6 【正确答案】 B【试题解析】 由 f(x)=f(x)2 得 f“(x)=f(x)=(f(x) 2=2f(x)f(x)=2f(x)3， 这样n=1，2 时 f(n)(x)=n!f(x)n+1 成立假设 n=k 时，f (k)(x)=k!f(x)k+1则当 n=k+1 时，有 f (k+1)(x)=k!(f(x)k+1=(k+1)!f(x)kf(x)=(k+1)!f(x)k+2，由数学归纳法可知，结论成立，故选(B)【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 B【试题解析】 因函数单调增加，且在 x=0 处有水平切线，选(B)【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 D【试
10、题解析】 y=x x(ln x+1)，令 y=0，得 ，y0，函数单调增加，故选(D) 【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 C【试题解析】 令 f(x)=0，得 x=一 1，且当 x=0 时，f(x)不存在，f(x)在 x=一 1 左侧导数为正，右侧导数为负，因此在 x=一 1 处取极大值；在 x=0 左侧导数为负，右侧导数为正，因此在 x=0 处取极小值【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 A【试题解析】 ，当 0|xx 0| 时，由于(xx 0)20，于是 f(x)一 f(x0)0，所以 f(x0)f(x)，x 0 为极大值点故选(A) 【知识模块】 一元函数微分学二、
11、填空题11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 正【试题解析】 利用反证法，假设存在点 x1a，b，使得 f(x1)0又由题意知存在点 x2a，b，x 2x1，使得 f(x2)0由闭区间连续函数介值定理可知，至少存在一点 介于 x1 和 x2 之间，使得 f()=0，显然 a，b，这与已知条件矛盾【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 【试题解析】 利用洛必达法则， ，由于 f(x)在 x=0处可导，则在该点处连续，就有 b=f(0)=一 1，再由导数的定义及洛必达法则，有【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 (0，+)【试题解析】 当
12、 x0 时，y“0，曲线是凹的；当 x0时，y“0，曲线是凸的【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 1，一 3，一 24，16【试题解析】 由条件 解方程可得a=1，b=一 3，c=一 24，d=16【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 2【试题解析】 f(x)=acos x+cos3x，因 为极值点，则a=2这时 f“(x)=一 2sin x 一 3sin 3x，【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 因为 f(一 5)=一 110，f(一 1)=50，f(0)=一 10，所以 f(x)在一 5，一 1及 一 1，
13、0上满足零点定理的条件，故存在 1(一 5，一 1)及 2(一1，0)，使得 f(1)=f(2)=0，所以方程 f(x)=0 在(一，0)内存在两个不等的实根又因为 f(1)=10，同样 f(x)在0，1 上满足零点定理的条件，在(0，1)内存在一点3，使得 f(3)=0，而 f(x)=0 为三次多项式方程，它最多只有三个实根，因此方程f(x)=0 在(一，0)内只有两个不等的实根【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 运用高阶导数公式，得：【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 设 x=f(y)则其反函数为 y=f-1(x)，对
14、 x=f(y)两边关于 x 求导，得【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 在方程中令 x=0 可得 将方程两边对x 求导数，得 将x=0，y(0)=e 2 代入，有 ，即 y(0)=ee4将 式两边再对 x 求导数，得一 sin(xy)(y+xy)2+cos(xy)(2y+xy“)= 将 x=0，y(0)=e 2 和y(0)=ee4 代入，有 故 y“(0)=e3(3e3 一 4)【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 由 f(x)=
15、ef(x)两边求导数得 f“(x)=e f(x).f(x)=e2f(x)， 两边再求导数得 f“(x)=e2f(x)2f(x)=2e3f(x)， 两边再求导数得 f 4(x)=2e3f(x)3f(x)=3!e4f(x). 由以上规律可得n 阶导数 f (n)(x)=(n 一 1)!enf(x)， 所以 f(n)(2)=(n 一 1)!en【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 由导数几何意义，曲线 f(x)=xn 在点 (1，1) 处的切线斜率 k=f(1)=nxn-1|x=1=n，所以切线方程为 y=1+n(x-1)，令 y=1+n(x1)=0 解得 ，因此【知识模块】 一元函数微分
16、学27 【正确答案】 切线与 x 轴，y 轴的交点坐标分别为 A(3a，0) ，B 于是 AOB 的面积为当切点沿 x 轴正向趋于无穷远时，有 当切点沿 y 轴正向趋于无穷远时，有【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 F(x)=f(x)= 当 x0 时，用复合函数求导法则求导得 当 x=0 时(分段点)，用导数定义求导数得【知识模块】 一元函数微分学29 【正确答案】 设 则令 f(x)=0，得驻点为 x=0，由于 知 x=0 为极小值点，即最小值点f(x)的最小值为 f(0)=0，于是，对一切 x(一，+)，有 f(x)0，即有【知识模块】 一元函数微分学30 【正确答案】 令 f
17、(x)=2x3 一 9x2+12x 一 a，讨论方程 2x3 一 9x2+12x 一 a=0 实根的情况，即是讨论函数 f(x)零点的情况显然，所以，应求函数 f(x)=2x3 一 9x2+12x 一 a 的极值，并讨论极值的符号 由 f(x)=6x2 一 18x+12=6(x 一 1)(x 一 2)得驻点为x1=1， x2=2，又 f“(x)=12x 一 18，f“(1)0，f“(2) 0，得 x1=1 为极大值点，极大值为 f(1)=5 一 a；x 2=2 为极小值点，极小值为 f(2)=4-a (1)当极大值 f(1)=5 一a0，极小值 f(2)=4 一 a0，即 4a 5 时，f(x
18、)=2x 39x2+12xa 有三个不同的零点，即方程 2x3 一 9x2+12x 一 a=0 有三个不同的实根； (2)当极大值 f(1)=5 一 a=0或极小值 f(2)=4 一 a=0，即 a=5 或 a=4 时，f(x)=2x 39x2+12xa 有两个不同的零点，即方程 2x3 一 9x2+12xa=0 有两个不同的实根； (3)当极大值 f(1)=5 一 a0或极小值 f(2)=4 一 a0，即 a5 或 a4 时，f(x)=2x 3 一 9x2+12xa 有一个零点，即方程 2x39x2+12x 一 a=0 有一个实根【知识模块】 一元函数微分学31 【正确答案】 令 f(x)=
19、axex+b， 求函数f(x)=axex+b 的极值，并讨论极值的符号及参数 b 的值 f(x)=ae x+axex=aex(1+x)，驻点为 x=一 1， f“(x)=2ae x+axex=aex(2+x)，f“( 一 1)0，所以，x= 一 1 是函数的极小值点，极小值为 f(-1)= (1) 函数 f(x)无零点，即方程无实根；(2) 函数 f(x)有一个零点，即方程有一个实根； (3)函数 f(x)有两个不同的零点，即方程有两个不同的实根；(4)当 b0时，函数 f(x)有一个零点，即方程有一个实根【知识模块】 一元函数微分学32 【正确答案】 (1)f n(x)连续，且 fn(0)=
20、0，f n(1)=n1，由介值定理， (0，1)，使 fn(xn)=1，n=2 ，3，又 x0 时，f n(x)=1+2x+nxn-10，故 fn(x)严格单增，因此 xn 是 fn(x)=1 在0，+)内的唯一实根 (2) 由(1) 可得，x n(0，1)，n=2，3 ，所以 xn有界 又因为 fn(xn)=1=fn+1(xn+1)，n=2，3，所以 xn+xn2+xnn=xn+1+xn+12+xn+1n+xn+1n+1，即(x n+xn2+xnn)一(x n+1+xn+12+xn+1n)=xn+1n+10，因此 xnx n+1，n=2，3，即x n严格单调减少于是由单调有界准则知 由 xn
21、+xn2+xnn=1 得 =1因为0x n1，所以【知识模块】 一元函数微分学33 【正确答案】 由保号性知， 0，当 nN 时，有 由 fn(x)的单调减少性质知【知识模块】 一元函数微分学34 【正确答案】 先考查连续函数 f(x)= 令得 x=e，且有当 xe 时，f(x)0，f(x)单调增加；当 xe 时，f(x)0，f(x)单调减少 所以，f(e) 为 f(x)当 x0 时的最大值，而 2e3，于是所求的最大值必在 中取到，【知识模块】 一元函数微分学35 【正确答案】 令 f(x)=ln xx，则 f(x)在(0，+)上连续，且 f(1)=一 10，=+，故 ，当 xX 时，有 f
22、(x)M0，任取 x0X ，则 f(1)f(x0)0，根据零点定理，至少 (1，x 0)，使得 f()=0，即方程 x=ln x 在(0，+) 上至少有一实根又 ln x 在(0，+)上单调增加，因 0，一 x也单调增加，从而 f(x)在(0，+)上单调增加，因此方程 f(x)=0 在(0 ，+) 上只有一个实根，即方程 x=ln x 在(0，+)上只有一个实根【知识模块】 一元函数微分学36 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学37 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学38 【正确答案】 =一 nsinn(一 sin)=nsin n/sin，因为 =arccos x，当 x1 -时，0，所以【知识模块】 一元函数微分学39 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学40 【正确答案】 此题为用导数定义去求极限，关键在于把此极限构造为广义化的导数的定义式 =(x10)|x=2+(x10)|x=2=21029=10210【知识模块】 一元函数微分学41 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学
