1、考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 17 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 (x)在a ，b上连续，且 (x)0，则函数 y=(x)=ab|x 一 t|(t)dt 的图形 ( )（A）在(a，b)内为凸（B）在 (a， b)内为凹（C）在 (a， b)内有拐点（D）在(a，b)内有间断点2 f(x)= F(x)=-1xf(t)dt，则 ( )（A）F(x)为 f(x)的一个原函数（B） F(x)在(一，+)上可微，但不是 f(x)的原函数（C） F(x)在(一，+)上不连续（D）F(x)在(一，+) 上连续，但不是 f(x)的原函数3 则在(一
2、，+)内，下列正确的是 ( )（A）f(x)不连续且不可微， F(x)可微，且为 f(x)的原函数（B） f(x)不连续，不存在原函数，因而 F(x)不是 f(x)的原函数（C） f(x)和 F(x)均为可微函数，且 F(x)为 f(x)的一个原函数（D）f(x)连续，且 F(x)=f(x)4 设 F(x)=xx+2esintsintdt，则 F(x) ( )（A）为正常数（B）为负常数（C）恒为零（D）不为常数5 设 f(x)是以 l 为周期的周期函数，则 a+kla+(k+l)lf(x)dx 之值 ( )（A）仅与 a 有关（B）仅与 a 无关（C）与 a 及 k 都无关（D）与 a 及
3、k 都有关二、填空题6 0+xe-xdx=_7 设 f(x)连续，则 (0xsin20tf(u)dudt)=_8 设两曲线 y=f(x)与 y=0arctanx 在点(0 ，0)处有相同的切线，则=_9 10 设 f(x)是连续函数，且 f(t)dt=x，则 f(7)=_11 设 f(3x+1)= 则 01f(x)dx=_12 设 =-atetdt，则 a=_13 设 是 f(x)的一个原函数，则 1exf(x)dx=_14 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 已知 I()= 求积分 -32I()d16 求不定积分17 求不定积分(arcsin x)2dx18 设函数 f(
4、x)连续，且 0xtf(2xt)dt= arctan x2已知 f(1)=1，求 12f(x)dx 的值19 设 f(x)具有二阶导数，且 f“(x)0又设 u(t)在区间0，a( 或a，0)上连续，试证明：20 设 f(x)在闭区间a，b上具有连续的二阶导数，且 f(a)=f(b)=0，当 x(a，b)时，f(x)0试证明：21 设 f(x)在0，1上连续，且 01f(x)dx=0， 01xf(x)dx=1试证明： (1)存在 x10，1使得|f(x 1)|4； (2) 存在 x20，1使得| f(x2)|=422 设 f(x)在a，b上存在二阶导数试证明：存在 ，(a ，b)，使23 (1
5、)设 f(x)是以 T 为周期的连续函数，试证明： 0xf(t)dt 可以表示为一个以 T 为周期的函数 (x)与 kx 之和，并求出此常数 k；(2)求(1)中的 (3)以x 表示不超过 x 的最大整数，g(x)=x 一x，求24 设在区间e，e 2上，数 p，q 满足条件 px+qln x，求使得积分 I(p，q)= (px+qln x)dx 取得最小值的 p，q 的值25 设 f(x)在区间1，+)上单调减少且非负的连续函数 一 0nf(x)dx(n=1，2，)(1)证明： (2)证明：反常积分 1+f(x)dx 与无穷级数同敛散26 设 xOy 平面上有正方形 D=(x，y)|0x1
6、，0y1) 及直线 l：x+y=t(t0)若 S(t)表示正方形 D 位于直线 l 左下方部分的面积，试求 0xS(t)dt(x0)27 设 f(x)在0，+)上连续，0ab，且 收敛，其中常数 A0试证明：28 求曲线 的一条切线 l，使该曲线与切线 l 及直线 x=0，x=2 所围成图形的面积最小29 设 D 是由曲线 y=sin x+1 与三条直线 x=0，x=，y=0 所围成的曲边梯形，求 D绕 z 轴旋转一周所围成的旋转体的体积考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 17 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 先将 (
7、x)利用 |xt|的分段性分解变形，有 (x)= ax(x 一 t)(t)dt+xb(t一 x)(t)dt=sax(t)dt 一 axt(t)dt+xbt(t)dtxxb(t)dt 因为 (t)在a，b 上连续，所以 (x)可导，因而答案不可能是(D)为讨论其余三个选项，只需求出 “(x)，讨论 “(x)在 (a，b)内的符号即可因 (x)=ax(t)dt 一 xb(t)dt， “(x)=2(x)0，xa，b，故 y=(x)的图形为凹直选(B)【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 D【试题解析】 请看通常的解法： 求积分并用连续性确定积分常数，可得所以F+(0)F-(0) 根据原函数定
8、义，F(x) 不是 f(x)在(-，+)上的原函数 请考生看看，我们还有更好的方法解决这个问题吗?事实上，由于 f(x)有第一类间断点，所以 F(x)必然不是其原函数，而变限积分存在就必连续，所以答案自然选择(D) 【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 A【试题解析】 可以验证 x=0 为 f(x)的第二类间断点，因为：故 x=0 为 f(x)的第二类振荡间断点，可能存在原函数通过计算 故 F(x)可微即 F(x)=f(x)，故(A)正确【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 A【试题解析】 因 esinxsin x 是以 2 为周期的周期函数，所以又 esinxcos2x0，故
9、选(A) 【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)是以 l 为周期的周期函数，所以 a+kla+(k+1)lf(x)dx=kl(k+1)lf(x)dx=0lf(x)dx，故此积分与 a 及 k 都无关【知识模块】 一元函数积分学二、填空题6 【正确答案】 1【试题解析】 原积分=一 0+xde-x=xe-x|0+0+e-xdx=0+e-xdx=一 e-x|0+=1【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 sin 20xf(u)du【试题解析】 0xsin20tf(u)dudt 是形如 0x(t)dt 形式的变上限积分，由【知识模块】 一元函数积分学8 【
10、正确答案】 2【试题解析】 由已知条件知 f(0)=0，f(0)= =1，故得【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 0【试题解析】 显然 积分难以积出考虑积分中值定理，其中 x 介于 a，a+a 之间所以【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 【试题解析】 要从变上限积分得到被积函数，可以对变限积分求导等式两边对x 求导得 f(x3 一 1).3x2=1， f(x3 一 1)= 令 x=2，即得 f(7)=【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 【试题解析】 令 3x+1=t， 所以【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 2【试题解析】 所以 ea=(a一 1)
11、ea，a=2 【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 【试题解析】 1exf(x)dx=1exdf(x)=xf(x)|1e 一 1ef(x)dx【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 ln 3【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 (1)当 0，1 时，(2)当 =1 时，(3)当 =一 1时， (4)当 =0 时， I()= 0sin xdx=2综上，【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 令 u=2x
12、 一 t，则 t=2x 一 u，dt=一 du当 t=0 时，u=2x；当 t=x时，u=x 故 0xtf(2x 一 t)dt=一 2xx(2x-u)f(u)du=2xx2xf(u)du 一 x2xuf(u)du，由已知得2xx2xf(u)dux2xuf(u)du= arctan x2，两边对 x 求导，得 2 x2xf(u)du+2x2f(2x)一 f(x)一2xf(2x).2 一 xf(x)= ，【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 由条件 f“(x)0，想到将 f(x)在某 x0 处展成拉格朗日余项泰勒公式，然后丢弃 f“()得到一个不等式以处理之 由泰勒公式 f(x)=f(x
13、0)+f(x0)(x-x0)+ f“()(xx0)2 f(x0)+f(x0)(x 一 x0)， 介于 x 与 x0 之间以 x=u(t)代入并两边对 t从 0 到 a 积分，其中暂设 a0，于是有 0af(u(t)dtaf(x0)+f(x0)(0au(t)dt-x0a)若 a0，则有 0af(u(t)dtaf(x0)+f(x0)(0au(t)dt-x0a)【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 取 x0(a，b)如分析中所说，有 在区间a，x 0与x 0，b 上对 f(x)分别用拉格朗日中值公式，有记 (x)=(b-x)(x-a)=-x2+(a+b)x 一 ab，axbmax(x)=
14、所以【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 (1)若|f(x)|M，由 f(x)的连续性知要么 f(x)M，要么 f(x)一 M 均与 01f(x)dx=0 不符故必存在 x00，1使|f(x 0)|M 所以从而知M4由于|f(x)|在0，1上连续，故至少存在一点 x10，1使|f(x 1)|=M4 (2)若对一切 x0，1均有|f(x)|4由连续性知，要么一切 x0，1均有 f(x)4，要么f(x)一 4均与 01f(x)dx=0 不符故知至少存在一点 x30，1使|f(x 3)|4，从而知存在 x20，1使|f(x 2)|=4【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 将 ab
15、f(t)dt 看成变限函数，用泰勒公式，设法消去式中不出现的项即可(1)令 将 (x)在 x=x0 处展开成泰勒公式至 n=2，有因 f(x)在a ，b上存在二阶导数， (f“(1)+f“(2)介于 f“(1)与 f“(2)之间，故知存在1， 2(或 2， 1)使 于是知存在 (a，b)使(2)用常数 k 值法，令有 F(a)=0，F(b)=0 ，所以存在 1(a，b)使 F(1)=0，即化简为 f()一 f(a)一 f(1)(1 一 a)一 6K(1 一 a)2=0.又由泰勒公式有 f(a)=f( 1)+f(1)(a 一 1)+ f“()(a一 1)2，a 1由上述两式即可得，存在 (a，b
16、)使即(2)成立【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 (1)证明能取到常数 k 使 0xf(t)dt 一 kx 为周期 T 即可(1) 得到的表达式去求 即可得(2)但请读者注意，一般不能用洛必达法则求此极限，除非 f(x)恒为常数对于(3) ，由于 g(x)不连续，如果要借用(1)的结论，需要更深一层的结论(见下面的 注) 由于 g(x)可以具体写出它的分段表达式，故可直接积分再用夹逼定理即得 (1)令 (x)=0xf(t)dtkx，考察 (x+T)一 (x)=0x+Tf(t)dt一 k(x+T)一 0xf(t)dt+kx =0Tf(t)dt+Tx+Tf(t)dt0xf(t)dtk
17、T对于其中的第二个积分，作积分变量代换，命 t=u+T，有 Tx+Tf(t)dt=0xf(u+T)du=0xf(u)du， 于是 (x+T)-(x)=0Tf(t)dt 一 kT 可见，(x)为 T 周期函数的充要条件是 即证明了 0xf(t)dt 可以表示成 其中 (x)为某一周期 T 的函数 (2)由(1)， 因 (x)为连续的周期函数，故 (x)在(一，+)上有界，从而 (3)设 nxn+1，由 nxn+1，有由夹逼定理知【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 要使 最小，直线 y=px+q 应与曲线y=ln x 相切，从而可得到 p，q 的关系，消去一个参数通过积分求出 I(p)
18、后再用微分方法求 I(p)的极值点 p0，然后再求出 q 的值或将 p，q 都表示成另一个参数t 的函数形式，求出 I(t)的极值点后，再求出 p，q 的值设直线 y=px+q 与曲线y=ln x 相切于点 (t，lnt)，则有【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 (1)由 f(x)单调减少，故当 kxk+1 时， f(k+1)f(x)f(k)两边从k 到 k+1 积分，得 kk+1f(k+1)dxkk+1f(x)dxkk+1f(k)dx，即 f(k+1) kk+1f(x)dxf(k)即a n有下界又 a n+1 一an=f(n+1)一 nn+1f(x)dx0，即数列a n单调减少，
19、所以 存在(2)由于 f(x)非负，所以 1xf(t)dt 为 x 的单调增加函数当 nxn+1 时， 1nf(t)dt1xf(t)dt1n+1f(t)dt，所以【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 由题设知 所以，当 1x2 时， 0xS(t)dt=1xS(t)dt+1xS(t)dt= 当 x2 时， 0xS(t)dt=02S(t)dt+2xS(t)dt=x 一 1因此，0xS(t)dt=【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 又 S“(1)0，故t=1 时， S 取最小值，此时 l 的方程为【知识模块】 一元函数积分学29 【正确答案】 V= 0(sin x+1)2dx=【知识模块】 一元函数积分学
