1、考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 18 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设则 ( )（A）NPM（B） MPN（C） NM P（D）PM N2 设 f(x)是以 T 为周期的可微函数，则下列函数中以 T 为周期的函数是 ( )（A） 0xf(t)dt（B） 0xf(t2)dt（C） 0xf(t2)dt（D） 0xf(t)f(t)dt3 下列反常积分收敛的是 ( )4 以下 4 个命题，正确的个数为 ( ) 设 f(x)是(一，+)上连续的奇函数，则 -+f(x)dx 必收敛，且 -+(x)dx=0； 设 f(x)在(一，+)上连续，若 -+f(
2、x)dx 与 -+g(x)dx 都发散，则 -+f(x)+g(x)dx 未必发散；若 -+f(x)dx 与0+f(x)dx 都发散，则 -+f(x)dx 未必发散（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个二、填空题5 设 f(x)有一个原函数6 7 8 0tsintdt=_9 10 设 f(sin2x)=cos 2x+tan2x(0x1)，则 f(x)=_11 设 y=y(x)，如果 ，y(0)=1 ，且当 x+ 时，y0，则y=_12 设 f(x)连续，则 =_13 (0xsin(x-t)2dt)=_14 设 n 是正整数，则三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15
3、如图 131，设曲线方程为 ，梯形 OABC 的面积为 D，曲边梯形OABC 的面积为 D1，点 A 的坐标为(a，0)，a 0，证明：16 设函数 f(x)在闭区间0，1上连续，在开区间(0 ，1) 内大于零，并且满足 xf(x)=(a 为常数)，又曲线 y=f(x)与 x=1，y=0 所围的图形 S 的面积值为 2求函数 y=f(x)，并问 a 为何值时，图形 S 绕 x 轴旋转一周所得的旋转体的体积最小17 设函数 y(x)(x0)二阶可导且 y(x)0，y(0)=1过曲线 y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及 x 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S
4、1，区间 0，x上以 y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S2，并设 2S1 一 S2 恒为 1，求此曲线 y=y(x)的方程18 设有一正椭圆柱体，其底面的长、短轴分别为 2a，2b，用过此柱体底面的短轴且与底面成 角 的平面截此柱体，得一楔形体(如图 132)，求此楔形体的体积 V。19 计算曲线 y=ln(1-x2)上相应于 0x 的一端弧的长度20 求心形线 r=a(1+cos)的全长，其中 a0 是常数21 求极限22 设 f(x)在( 一，+)内连续，以 T 为周期，则(1) aa+Tf(x)dx=0Tf(x)dx(a 为任意实数)；(2) 0xf(t)dt 以 T 为周期 0T
5、f(x)dx=0；(3)f(x)dx(即 f(x)的全体原函数)周期为 T0Tf(x)dx=023 计算不定积分24 计算不定积分25 计算不定积分x|sinx|dx 如(x0)，其中x表示不大于 x 的最大整数26 求定积分的值27 设常数 0a 1，求28 29 设 a，b 均为常数， a一 2，a0，求 a，b 为何值时，使30 直线 y=x 将椭圆 x2+3y2=6y 分为两块，设小块面积为 A，大块面积为 B，求 的值31 设 f(x)= 求曲线 y=f(x)与直线 所围成平面图形绕 Ox 轴所旋转成旋转体的体积32 设 g(x)= f(x)=0xg(t)dt (1)证明： y=f(
6、x)为奇函数，并求其曲线的水平渐近线， (2)求曲线 y=f(x)与它所有水平渐近线及 Oy 轴围成图形的面积考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 18 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 是奇函数，所以，M=0【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 D【试题解析】 当 g(x+T)=g(x)时，因为 0x+Tg(t)dt=0xg(t)dt+xx+Tg(t)dt=0xg(t)dt+0Tg(t)dt，若 0x+Tg(t)dt=0xg(t)dt，则 0Tg(t)dt=0反之，若 0Tg(t)dt=0，则0x+Tg(t)dt
7、=0xg(t)dt因为 f(x)是以 T 为周期的函数，所以 4 个选项中的被积函数都是以 T 为周期的周期函数，但是仅因此，只有 0xf(t)f(t)dt 是以T 为周期的函数【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 C【试题解析】 选项(A) 中，【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 A【试题解析】 -+f(x)dx 收敛 存在常数 a，使 -af(x)dx 和 a+f(x)dx 都收敛，此时 -+f(x)dx=-af(x)dx+a+f(x)dx设 f(x)=x，则 f(x)是(一，+)上连续的奇函数，且 但是 -0f(x)dx=-0xdx=， 0+f(x)dx=0+xdx=，
8、故 -+f(x)dx 发散，这表明命题 ， 都不是真命题设 f(x)=x，g(x)=一 x，由上面讨论可知 -+f(x)dx 与 -+g(x)dx 都发散，但 -+(f(x)+g(x)dx 收敛，这表明命题是真命题故应选(A) 【知识模块】 一元函数积分学二、填空题5 【正确答案】 一 2+2+6【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 【试题解析】 0tsintdt=一 0td(cos t)=一 tcos t|0+0
9、costdt=.【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 2(e 2+1)【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 一 ln(1 一 x)一 x2+C，其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 e -x【试题解析】 由已知得 由不定积分定义有【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 xf(x 2)【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 sin x 2【试题解析】 令 xt=u，则原式= =sin x2【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 【试题解析】 当 f(x)+f(a-x)便于积分时可简化
10、定积分 0af(x)dx 的计算当 f(x)+f(a+b 一 x)便于积分时可简化定积分 abf(x)dx 的计算【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 由题设，当 x0 时， 据此并由f(x)在点 x=0 处的连续性，得【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 曲线 y=y(x)上点 P(x，y)处的切线方程为 Y-y=y(X-x)它与 x 轴的交点为 由于 y(x)0，y(0)=1，从而 y(x)0，于是又 S2=0xy(t)dt，由条件 2S1 一 S2=1 知两边对 x 求导
11、并化简得yy”=(y)2令 P=y，则上述方程可化为注意到 y(0)=1，并由式得 y(0)=1由此可得 C1=1，C 2=0，故所求曲线的方程是 y=ex【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 底面椭圆的方程为 以垂直于 y 轴的平行平面截此楔形体所得的截面为直角三角形，两直角边长分别为【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 r()=一 asin ，由对称性得【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 (1) aa+Tf(x)dx=f(a+T)一 f(a)=0aa+Tf(x)d
12、x=aa+Tf(x)dx|a=0=0Tf(x)dx.(2)0xf(t)dt 以 T 为周期 0x+Tf(t)dt-0xf(t)dt=xx+Tf(t)dt 0Tf(t)dt=0(3) 只需注意f(x)dx= 0xf(t)dt+C,0xf(t)dt 是 f(x)的一个原函数.【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 设原函数为 F(x)，分别求出在区间 0，1)，1，2)，2，3)，x，x)上满足 F(0)=0 的原函数 F(x)的增量如下： 在0 ，1)上，0 sinxdx=C1,F(1)一 F
13、(0)=0；从而，对于 x0，得到 xsinx|dx=F(x)+C=(F(1)一 F(0)+(F(2)一 F(1)+(F(3)一 F(2)+(F(x)一 F(x)+C【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学29 【正确答案】 若 b 一a0，上述极限不存在，所以要使原等式成立，必须 a=b，那么【知识模块】 一元函数积分学30 【正确答案】 直线与椭圆的交点为(0，0)， 则令 y 一1=sint，则【知识模块】 一元函数积分学31 【正确答案】 先求 f(x)的表达式，注意到函数 ex 在 x+与 x一 的极限，可知所以所求旋转体体积其中，令x=tant 得，【知识模块】 一元函数积分学32 【正确答案】 显然，g(0)=1，而当 x0 时由“1 ”型极限得(2)由所考虑的平面图形的对称性及分部积分法得所求的面积为【知识模块】 一元函数积分学
