1、考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 20 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在 x=a 的某个邻域内有定义，则 f(x)在 x=a 处可导的一个充分条件是( )2 设 f(0)=0，则 f(x)在点 x=0 处可导的充要条件为( )3 设函数 f(x)对任意 x 均满足等式 f(1+x)=af(x)，且有 f(0)=b，其中 a，b 为非零常数，则( )（A）f(x)在 x=1 处不可导（B） f(x)在 x=1 处可导，且 f(1)=a（C） f(x)在 x=1 处可导，且 f(1)=b（D）f(x)在 x=1 处可导，且 f(1)=
2、ab4 设 f(x)在 x=0 处连续，下列命题错误的是( )5 设函数 f(x)在 x=0 处可导，且 f(0)=0，则（A）-f(0)（B） f(0)（C） 2f(0)（D）3f(0)6 已知 f(x0)=一 1，则（A）1（B） -1（C） 3（D）-3 7 设函数 则 f(x)在 x=0 处的左、右导数 ( )（A）都存在且相等（B）都不存在（C）都存在但不相等（D）仅有一个存在8 设函数 f(x)在 x=a 处可导，则函数|f(x)|在点 x=a 处不可导的充分条件是( )（A）f(a)=0 且 f(a)=0 （B） f(a)=0 且 f(a)0（C） f(a)0 且 f(a)0（D
3、）f(a)0 且 f(a)09 设 f(x)可导，F(x)=f(x)(1+|sin x|)，则 f(0)=0 是 F(x)在 x=0 处可导的( )（A）充分必要条件（B）充分条件但非必要条件（C）必要条件但非充分条件（D）既非充分条件又非必要条件10 设 g(x)在 x=0 处二阶可导，且 g(0)=g(0)=0，并设 则 f(x)在 x=0 处( )（A）不连续（B）连续，但不可导（C）可导，导函数不连续（D）可导，导函数连续11 设 f(x)=(x)|x3 一 1|，其中 (x)在 x=1 处连续，则 (1)=0 是 f(x)在 x=1 处可导的( )（A）充分必要条件（B）必要但非充分
4、条件（C）充分但非必要条件（D）既非必要也非充分条件12 函数 f(x)=(x2 一 x 一 2)|x3 一 x|不可导点的个数是( )（A）3（B） 2（C） 1（D）013 设 f(x)=3x3+x2|x|，则使 f(n)(0)存在的最高阶数 n 为( )（A）0（B） 1（C） 2（D）3二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设 f(x)在 x=0 的某个邻域内连续，且 f(0)=0， 求：(1)f(0) ； (2)15 设 y=f(x)是由方程 sin(xy)+ln(yx)=x 所确定的隐函数，求16 求下列函数的导数：17 设函数 y=y(x)由方程 ln(x2+y
5、)=x3y+sinx 确定，求18 设函数 (x)=0sinxf(tx2)dt，其中 f(x)是连续函数，且 f(0)=2，求 (x)19 设函数 y=y(x)由参数方程 所确定，其中 f(u)可导，且 f(0)0，求20 设函数 x=x(t)由方程 tcosx+x=0 确定，又函数 y=y(x)由方程 ey-2-xy=1 确定，求复合函数 y=y(x(t)的导数21 设 f(x)=x(x-1)(x-2)(x 一 100)，求 f(50)22 设 y=x+lnx，求23 设函数 y=y(x)由参数方程24 设函数 y=y(x)是由方程 xy+ey=x+1 确定的隐函数，求25 设 f(x)=
6、求 f(n)(0)(n1)26 设 y=sin4x+cos4x，求 y(n)27 设 f(x)=x2sinxcos x，求 f(2007)(0)28 已知 f(x)=arctanx，求 f(n)(0)29 设函数 f(x)= 如果 f“(0)存在，求常数 a，b30 如果函数 f(x)= 在 x=0 处有连续导数，求 的取值范围31 设 f(x)连续，(x)= 01f(xt)dt，且 (A 为常数)，求 (x)并讨论 (x)在x=0 处的连续性32 已知函数 在 x=1 处可导，求曲线 y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程和法线方程33 设函数 y=f(x)由方程 e2x+y-cos(x
7、y)=e 一 1 确定，求曲线 y=f(x)在点(0，1)处的法线方程考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 20 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 对于(A) 选项，由于 h+，因此只能保证右导数 f+(a)存在又例如 则 f(x)在 x=a 处不连续，故也不可导，但显然满足(B)、(C) ，因此(B)、 (C)不正确，只有 (D)选项是正确的【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 B【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 D【试题解析】 由已知条件，令 x=0，得 f(1)=af(0)，从而故应选(D)【知识
8、模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 D【试题解析】 由于 f(x)在 x=0 处连续， 如果=f(0)=0于是 ，从而(A)、(B)选项都是正确的命题。因此选项(C)的命题也是正确的 ，但 f(0)显然不存在，综上，应选(D)【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 D【试题解析】 由于 f(x)在 x=0 处可导，且 f(0)=0，从而 f(0)=【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 A【试题解析】 故应选(A)【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 C【试题解析】 故应选(C)【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 B【试题解析】 由于 f(x)在 x=a 处可
9、导，因此 f(x)在 x=a 处必连续 如果 f(a)0，则在 x=a 的某个邻域内 f(x)0，此时|f(x)|=f(x)，|f(x)|在 x=a 处可导，由题意，(C)不正确类似可排除(D) 当 f(a)=0 时，设 (x)=|f(x)|，则有若 (x)在 x=a处可导，则需一|f(a)|=|f(a)|，故 f(a)=0，因此应选(B)【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 A【试题解析】 充分性因为 f(0)=0，所以F(x)在 x=0 处可导 必要性设 F(x)在 x=0 处可导，则 f(x)|sinx|在 x=0 处可导，由此可知即 f(0)=-f(0)，故 f(0)=0【知识
10、模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 A【试题解析】 如果 f(x)在 x=1 处可导，则需一 3(1)=3(1)，即 (1)=0，从而应选(A)【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 B【试题解析】 f(x)=(x+1)(x 一 2)|x|x+1|x1|，从而 f(x)的不可导点只可能为 x=一 1，x=0，x=1设 f(x)=g(x)|x|x+1|x1|，由于 g(一 1)=0，g(0)=一 20，g(1)= 一 20，故 f(x)在x=一 1 处可导，而在 x=0 和 x=1 处不可导，故应选(B)【知识模块】
11、一元函数微分学13 【正确答案】 C【试题解析】 在 x=0 处 f“(0)不存在，故应选 (C)注：一般地， xn|x|在 x=0 处存在的最高阶导数为 n(n1) 阶【知识模块】 一元函数微分学二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 由已知条件，当 x=0 时，y=1 ，从而将方程两端对 x 求导，有将 x=0 代入，得 y(0)=f(0)=1，故【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 (4)令 xt=u，则 y=x0f(u)(-du)=0xf(u)du，故 y=f(x)【知识模块】 一元函数微分学17
12、【正确答案】 当 x=0 时，y=1 ，对方程两边关于 x 求导，得故 y|x=0=cos 0=1【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 令 tx2=u，则当 x=0 时，(0)=0，从而【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 由参数方程所确定函数的求导法则，得【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 将方程 tcosx+x=0 两端对 t 求导，得将方程 ey-2 一 xy=1 两边对 x 求导，得【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 令 (x)=x(x-1)(x 一 49)(x 一 51)(x 一 100)，则 f(x)=(x-50)(x)，因此 f(x)=
13、(x)+(x-50)(x)，于是 f(50)=(50)=50!(一 1)5050!=(50!)2【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 由反函数求导法则，【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 方程两端对 x 求导，得 两端再对 x 求导，得【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 因为【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 先将 y 的表达式化简，得 y=(sin2 x+cos2 x)2 一 2sin2x cos2 x=由公式(coskx) (n)= 得，【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 f(x)=
14、根据莱布尼茨公式，有 f(2007)(x)= x2(sin 2x)(2007)+2C20071x(sin 2x)(2006)+2C20072(sin 2x)(2005)，由于故 f(2007)(0)=2007200622004【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 因为 f(x)= 即有 f(x)(1+x 2)=1，对上式两端关于 x 求 n 一 1阶导数，并利用求高阶导数的莱布尼茨公式，可得 f (n)(x)(1+x2)+2(n 一 1)xf(n-1)(x)+(n 一 1)(n 一 2)f(n-2)(x)=0令 x=0，则 f(n)(0)=一(n 一 1)(n 一 2)f(n-2)(
15、0)，依此递推下去，并注意 f(0)=1，f(0)=f (0)(0)=0，得 【知识模块】 一元函数微分学29 【正确答案】 由于 f(0)存在，从而b=1于是【知识模块】 一元函数微分学30 【正确答案】 由于 f(x)在 x=0 处可导，所以 f(x)在 x=0 处连续，从而因此 0由题意，f(x)在 x=0 处有连续的导数，所以 因此 一 20，综上 的取值范围为 2【知识模块】 一元函数微分学31 【正确答案】 由题设条件知，f(0)=0，(0)=0，令 u=xt，得当 x=0 时，由导数定义有从而 由于故 (x)在 x=0处连续【知识模块】 一元函数微分学32 【正确答案】 因为 f(x)在 x=1 处可导，所以 f(x)在 x=1 处连续，于是有=e=f(1)=a+b，即 a+b=e又此时切点为(1，e)，f(1)=一 e，故所求切线方程为 y-e=一 e(x-1)，即 ex+y-2e=0法线方程为 ，即 x 一 ey+e2 一 1=0【知识模块】 一元函数微分学33 【正确答案】 方程两端对 x 求导，有 e 2x+y(2+y)+(y+xy)sin(xy)=0，将x=0，y=1 代入得切线斜率为 y(0)=-2，于是法线斜率为 故所求法线方程为即 x-2y+2=0【知识模块】 一元函数微分学
