1、考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 31 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 曲线 y= 的渐近线有 ( )（A）1 条（B） 2 条（C） 3 条（D）4 条2 设函数 f(x)=(ex 一 1)(e2x 一 2)(enx 一 n)，其中 n 为正整数，则 f(0)= ( )（A）(一 1)n 一 1(n 一 1)!（B） (一 1)n(n1)!（C） (一 1)n 一 1n!（D）(一 1)nn!3 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且 f(0)=1，f(1)=0，则在(0，1)内至少存在一点 ，使 ( )4 f(x)=xen 一
2、 1 的 n 阶麦克劳林公式为 ( )5 若 f(x)在开区间(a，b)内可导，且 x1，x 2 是(a，b)内任意两点，则至少存在一点，使下列诸式中成立的是 ( )（A）f(x 2)一 f(x1)=(x1 一 x2)f()，(a ，b)（B） f(x1)一 f(x2)=(x1 一 x2)f()， 在 1x，x 2 之间（C） f(x1)一 f(x2)=(x2 一 x1)f()，x 1 x 2（D）f(x 1)一 f(x1)=(x2 一 x1)f()，x 1x 26 在区间0 ，83 内，对函数 f(x)= ，罗尔定理 ( )（A）不成立（B）成立，并且 f(2)=0（C）成立，并且 f(4)
3、=0（D）成立，并且 f(8)=07 给出如下 5 个命题： (1)若不恒为常数的函数 f(x)在(一，+)内有定义，且 x00是 f(x)的极大值点，则一 x0 必是一 f(一 x)的极大值点； (2) 设函数 f(x)在a ，+)上连续，f“(x)在(a，+)内存在且大于零，则 F(x)= 在(a，+) 内单调增加；(3)若函数 f(x)对一切 x 都满足 xf“(x)+3xf(x)2=1 一 e 一 x，且 f(x0)=0，x 00，则f(x0)是 f(x)的极大值； (4)设函数 y=y(x)由方程 2y3 一 2y2+2xy 一 x2=1 所确定，则y=y(x)的驻点必定是它的极小值
4、点； (5)设函数 f(x)=xex，则它的 n 阶导数 f(n)(x)在点 x0=一 (n+1)处取得极小值 正确命题的个数为 ( )（A）2（B） 3（C） 4（D）5二、填空题8 设 y=cos x2sin2 ，则 y=_9 设 y= ，则 y x=0=_10 设 y= ，则 y x=0=_11 y=sin4x+cos4x，则 y(n)=_(n1)12 落在平静水面的石头，产生同心波纹，若最外一圈波半径的增大率总是 6 ms，问在 2 s 末扰动水面面积的增大率为 _m2s三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 利用导数证明：当 x1 时， 。14 设 x(0，1)，证明
5、下面不等式： (1)(1+x)ln 2(1+x)x 2；(2)15 求证：当 x0 时，(x 2 一 1)ln x(x一 1)216 证明： 17 求使不等式 对所有的自然数 n 都成立的最大的数 和最小的数 。18 设函数 f(x)在(一，+)内二阶可导，且 f(x)和 f“(x)在(一，+) 内有界，证明：f(x)在(一， +)内有界19 设 n 为自然数，试证： 20 证明：函数 f(x)在 x0 处可导的充要条件是存在一个关于x 的线性函数 L(x)=x，使 =021 已知 f(x)二阶可导，且 f(x)0，f(x)f“(x)一f(x) 20(xR) (1)证明：f(x 1)f(x2)
6、f2 x1，x 2R)； (2) 若 f(0)=1，证明：f(x)e f(0)xx(xR)22 设 f(x)在闭区间0，c上连续，其导数 f(x)在开区间(0，c)内存在且单调减少，f(0)=0试应用拉格朗日中值定理证明：f(a+b)f(a)+f(b)，其中常数 a， b 满足条件 0aba+bc23 证明：当 x0 时，有 24 证明：当 0a b 时，bsin b+2cos b+basin a+2cos a+a25 设 ba e，证明：a bb a26 证明：当 x0 时，不等式 1+x 成立27 证明：当 x cos x 成立28 (1)证明：当 x充分小时，不等式 0tan2x 一 x
7、2x4 成立； (2)设 xn=。29 若函数 f(x)在(0，+)上有定义，在 x=1 点处可导，且对于任意的正数 a，b 总有f(ab)=f(a)+f(b)，证明：f(x)在(0，+) 上处处可导，且 f(x)= 30 设 f(x)和 g(x)是对 x 的所有值都有定义的函数，具有下列性质：(1)f(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x)；(2)f(x)和 g(x)在 x=0 处可微，且当 x=0 时，f(0)=0，g(0)=1 ，f(0)=1，g(0)=0 证明：f(x)对所有 x 都可微，且 f(x)=g(x)31 用导数定义证明：可导的偶函数的导函数是奇函数，而可导的奇函数的导
8、函数是偶函数32 用导数定义证明：可导的周期函数的导函数仍是周期函数，且其周期不变考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 31 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 曲线 y=f(x)无斜渐近线【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 A【试题解析】 用导数定义【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 A【试题解析】 设 F(x)=xf(x)，则 F(x)在0，1上满足罗尔定理的条件，故存在(0， 1)，使得xf(x) x=0，即 f()+f()=0，有 f(=一 ，所以选(A) 选项(B)， (C)，(D)可用反例 y
9、=1 一 x 排除【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 B【试题解析】 因为 f(x)=xex，f(x)=0，f(x)=e x(1+x)，f(0)=1，f (n)(x)=ex(n+x)，f(n)(0)=n，f (n+1)(x)=ex(n+1+x)，f (n+1)(x)=ex(n+1+x)，依次代入到泰勒公式，即得(B)【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 B【试题解析】 由拉格朗日中值定理易知(A)，(C) 错， (B)正确，又由未知 x1 与 x2 的大小关系，知(D) 不正确【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)在0 ，8上连续，在(0
10、，8)内可导，且 f(0)=f(8)，故 f(x)在0，8上满足罗尔定理条件 令 f(x)= =0，得 f(4)=0，即定理中 可以取为 4。【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 B【试题解析】 对上述 5 个命题一一论证 对于(1)，只要注意到：若 f(x)在点 x0 取到极大值，则一 f(x)必在点 x0 处取到极小值，故该结论错误； 对于(2)，对任意xa，由拉格朗日中值定理知，存在 (a，x)使 f(x)一 f(a)=f()(x 一 a)，则 由 f“(x)0 知，f(x)在(a，+) 内单调增加因此，对任意的 x 与 ，ax，有 f(x)f()，从而由上式得 F(x)0，所以
11、函数 F(x)在(a，+)内单调增加，该结论正确； 对于(3)，因f(x0)=0，故给定的方程为 f“(x0)= ，显然，不论 x00，还是 x00，都有f“(x0)0，于是由 f(x0)=0 与 f“(x0)0 得 f(x0)是 f(x)的极小值，故该结论错误； 对于(4)，对给定的方程两边求导，得 3y2y一 2yy+xy+y 一 x=0， 再求导，得 (3y2 一 2y+x)y“+(6y 一 2)(y)2+2y=1 令 y=0，则由式得 y=x，再将此代入原方程有 2x3 一 x2=1，从而得 y=y(x)的唯一驻点 x0=1，因 x0=1 时 y0=1，把它们代入式得 y“ (1,1)
12、0，所以唯一驻点 x=1 是 y=y(x)的极小值点，该结论正确； 对于(5)，因为是求 n 阶导数 f(n)(x)的极值问题，故考虑函数 f(x)=xex 的 n+1 阶导数f(n+1)(x)，由高阶导数的莱布尼茨公式得 f (n)(x)=x(ex)(n)+n(ex)(n 一 1)=(x+n)ex， f (n+1)(x)=x+(n+1)ex；f (n+2)(x)=x+(n+2)ex 一(n+1) 令 f(n+1)(x)=0，得 f(n)(x)的唯一驻点 x0=一(n+1)；又因 f(n+2)(x0)=e 一(n+1) 0，故点 x0=一(n+1)是 n 阶导数 f(n)(x)的极小值点，且其
13、极小值为 f(n)(x0)=一 e 一(n+1) ，该结论正确 故正确命题一共 3 个，答案选择(B)【知识模块】 一元函数微分学二、填空题8 【正确答案】 一 2xsinx2sin2 cosx2【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 一【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 4 n 一 1cos(4x+ )【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 144【试题解析】 设在 t 时刻最外圈波的半径为 r(t)，扰动水面面积为 s(t)，则 s(t)=r2(t)，故 s(t
14、)=2r(t)r(t)，由题知 r(t)=6，r(t)=6t，所以 s(2)=2r(2)6=144(m 2s)【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 设 f(x)=(1+x)ln(1+x)一 xln x，有 f(1)=2ln 20 由 f(x)=ln(1+ )0(x 0)知， f(x)单调递增，且当 x1 时， f(x) f(1)=2ln 20，ln x0，从而得，其中 x1【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 (1)令 (x)=x2 一(1+x)ln 2(1+x)，有 (0)=0，且 (x)=2x ln2(1+x)一 2ln
15、(1+x)，(0)=0 当 x(0，1)时，“(x)= x 一 ln(1+x)0。则 (x)单调递增从而 (x)(0)=0 ，则 (x)单调递增，则 (x)(0)=0，即(1+x)ln 2(1+x)x 2【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 设 f(x)=(x2 一 1)ln x 一(x1) 2，所以 f(1)=0所以当 x1时，f“(x)0，知 f(x)单调递增，则 f(x)f(1)=0，从而 f(x)单调递增，故 f(x)f(1)=0原式成立 当 0x1 时，f“(x)0，知 f“(x)单调递减，则 f“(x)f“(1)=20，从而 f(x)单调递增，故 f(x)f(1)=0，所
16、以 f(x)单调递减，知 f(x)f(1)=0原式成立【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 令 g(x)=(1+x)ln2(1+x)一 x2，x0，1，则 g(0)=0，且 G(x)=ln2(1+x)+2ln(1+x)一 2x，g(0)=0 ，故 g(x)在0，1上严格单调递减，所以 g(x)g(0)=0同理，g(x) 在0，1上也严格单调递减，故 g(x)g(0)=0，即 (1+x)ln2(1+x)一 x20，从而 f(x)0(0x1)，因此 f(x)在(0，1上也严格单调递减【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 存在正常数
17、 M0，M 2，使得 z(一，+)，恒有 f(x)M 0，f“(x) M 2由泰勒公式，有因此函数 f(x)在(一 ，+)内有界【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 右端不等式等价于证明从而，当 x0 时，f(x)单调增，且当 x+ 时，f(x)趋于零，所以，当 x0 时，f(x)0进而可知当 x0 时，f(x)单调减，且当 x+时，f(x)趋于零，于是，当x0 时，f(x)0所以，对一切自然数 n，恒有 f(n)0，故有从而右端不等式成立 类似地，引入辅助函数类似可证明：当 x0 时，g(x)0，从而对一切自然数 n，左端不等式成立【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 必
18、要性 若 f(x)在 x0 点可导，则 f(x)在 x0 点可微，由可微的定义知，f(x0+x)一 f(x0)=x+o(x)(其中 为常数)，取 L(x)=x，即 f(x0+x)一 f(x0)=x+o(x)，所以 f(x)在 x0 点可导【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 即 f(x)ef(0)x【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 用拉格朗日中值定理 当 a=0 时，等号成立 当 a0 时，由于f(x)在区间0，a及b，a+b上满足拉格朗日中值定理，所以，存在 1(0，a)，2(b， a+b)， 1 2，使得 f(a+b) 一 f(b)一f(a) 一 f(0)=af(2
19、)一 af(1) 因为 f(x)在(0， c)内单调减少，所以 f(2)f(1)，于是 f(a+b)一 f(b)一f(a)一 f(0)0， 即f(a+b)f(a)+f(b)【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 用拉格朗日中值定理【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 令 F(x)=xsin x+2cos x+x，只需证明 F(x)在(0，)上单调递增F(x)=sin x+xcos x 一 2sin x+=+xcos xsin x，由此式很难确定 F(x)在(0，)上的符号，为此有F“(x)=一 xsin x0，x(0，) ，即函数 F(x)在(0 ，)上单调递减，又 F()=
20、0，所以F(x)0，x(0，)，于是 F(b)F(a) ，即bsin b+2cos b+basina+2cos a+a 【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 设 f(x)= ，其中 ln xln e=1，所以，f(x)0，即函数 f(x)单调递减所以，当 ba e 时， 即 bln aaln b，则有 ln aaln b b，因此 abb a【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 但是，2xcos x 一2sin x+x3 的符号无法直接确定，为此，令 g(x)=2xcos x 一 2sin x+x3，则 g(0)=0，且g(x
21、)=x2+2x(xsin x)0，所以，当 x(0， )时， g(x)=2xcos x 一 2sin x+x30【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 (1)因为【知识模块】 一元函数微分学29 【正确答案】 令 a=b=1，由于 f(ab)=f(a)+f(b)，则 f(1)=0于是【知识模块】 一元函数微分学30 【正确答案】 由于 f(x)，g(x) 在 x=0 处可微，所以有【知识模块】 一元函数微分学31 【正确答案】 由 f(一 x)=f(x)，而故 f(x)为偶函数【知识模块】 一元函数微分学32 【正确答案】 设 f(x)的周期为 T，即 f(x+T)=f(x)，所以 f(x)仍是周期为 T 的周期函数【知识模块】 一元函数微分学
