1、考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 34 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 曲线 的渐近线有( )（A）1 条（B） 2 条（C） 3 条（D）4 条2 设 f(x)= ，其中 g(x)为有界函数，则 f(x)在 x=0 处( )（A）极限不存在（B）极限存在，但不连续（C）连续，但不可导（D）可导3 设函数 f(x)二阶可导，且 f(x)0，f(x)0，y=f(x+x)-f(x)，其中x0，则( )（A）ydy0（B） ydy0（C） dyy0（D）dyy04 设 f(x)= 则在 x=1 处 f(x)( )（A）不连续（B）连续但不可导（C）可
2、导但不是连续可导（D）连续可导5 设曲线 y=x2+ax+b 与曲线 2y=xy3-1 在点(1，-1) 处切线相同，则 ( )（A）a=1 ，b=1（B） a=-1，b=-1（C） a=2，b=1（D）a=-2，b=-16 设 f(x)连续，且 F(x)= ，则 F(x)=( )二、填空题7 y= ，则 y=_8 设函数 y=f(x)由方程 xy+2lnx=y4 所确定，则曲线 y=f(x)在(1，1) 处的法线方程为_9 设 f(a)存在且不等于零，则 =_10 设 f(u)可导，y=f(x 2)在 x0=-1 处取得增量x=0 05 时，函数增量 的线性部分为015，则 f(1)=_11
3、 曲线 r=e在 = 处的切线方程为_12 设 (x)= (x2-t)f(t)dt，其中 f 连续，则 (x)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 设 f(x)连续，且对任意的 x，y (-，+) 有 f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy，f(0)=1，求f(x)14 设 f(x)= 讨论函数 f(x)在 x=0 处的可导性15 设 f(x)二阶连续可导，且 f(0)=f(0)=0，f(0)0，设 u(x)为曲线 y=f(x)在点(x，f(x)处的切线在 x 轴上的截距，求16 设 f(x)在 x=a 处二阶可导，证明：17 设 f(x)连续，f(0)=0，f(0)=
4、1，求18 设19 设 f(x)连续，且 g(x)= ，求 g(x)20 证明：连续函数取绝对值后函数仍保持连续性，举例说明可导函数取绝对值不一定保持可导性21 举例说明函数可导不一定连续可导21 设 f(x)在a，b上有定义，M0 且对任意的 x，ya，b，有f(x)-f(y)M x-y k22 证明：当 k0 时，f(x)在a ，b上连续；23 证明：当 k1 时，f(x)三常数24 设 f(x)= 处处可导，确定常数 a，b，并求 f(x)25 设对一切的 x，有 f(x+1)=2f(x)，且当 x0，1时 f(x)=x(x2-1)，讨论函数 f(x)在x=0 处的可导性26 设 f(x
5、)= 求 f(x)并讨论其连续性27 设27 设 f(x)二阶可导，f(0)=0，令 g(x)=28 求 g(x)29 讨论 g(x)在 x=0 处的连续性考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 34 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由 =-得 x=0 为铅直渐近线；由为水平渐近线，显然该曲线没有斜渐近线，又因为 x1及 x-2 时，函数值不趋于无穷大，故共有两条渐近线，应选(B)【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f(0+0)= =0，所以 f(x)在 x=0 处连续； 因为 f2(0)=
6、f-(0)=0，所以 f(x)在 x=0 处可导，应选(D)【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 D【试题解析】 根据微分中值定理，y=f(x+ x)-f(x)=f()x0(x+xx)，dy=f(x)x 0，因为 f(x)0，所以 f(x)单调增加，而 x，所以 f()f(x)，于是 f()xf(x)x，即 dyy0，选(D)【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 D【试题解析】 因为 =3=f(1)，所以 f(x)在 x=1 处连续因为 ，所以 f(x)在 x=1 处可导当 x1 时，f(x)=2x+1，因为 =3=f(1)，所以 f(x)在 x=1 处连续可导，选(D)【知识
7、模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 B【试题解析】 由 y=xv+ax+b 得 y=2x+a，2y=xy 3-1 两边对 x 求导得2y=y3+3xy2y，解得 y= 因为两曲线在点(1，-1)处切线相同，所以，应选(B)【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 A【试题解析】 F(x)=f(lnx).(lnx)- ，应选(A)【知识模块】 一元函数微分学二、填空题7 【正确答案】 lntanx-【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 y=-x+2【试题解析】 xy+2lnx=y 4 两边对 x 求导得 将 x=1，y=1代入得 故曲线 y=f(x)在点(1，1) 处的法线为 y
8、-1=-(x-1)，即 y=-x+2【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 【试题解析】 由 dy=2xf(x2)x 得 dy x=-1=-2f(1)005=-0 1f(1)，因为y 的线性部分为 dy，由 -01f(1)=015 得 f(1)=【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 当 x=y=0 时，f(0)=2f(0)，于是 f(0)=0 对
9、任意的 x(-，+) ，则 f(x)=x2+x+C，因为 f(0)=0，所以 C=0，故 f(x)=x+x2【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 因为 0f(x)= =0=f(0)，故f(x)在 x=0 处连续因为 f-(0)f+(0)，所以 f(x)在 x=0 处不可导【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 曲线 y=f(x)在点(x，f(x)的切线为 Y-f(x)=f(x)(X-x)，【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 方程 两边对 x 求导数得【知识模块】 一元函
10、数微分学19 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 设 f(x)在a ，b上连续，令 g(c)=f(x)， 对任意的 x0a，b，有 0g(x)-g(x 0)=f(x)- f(x 0)f(x)-f(x 0)，因为 f(x)在a，b上连续，所以 =f(x0)，由夹逼定理得 即f(x) 在 x=x0处连续，由 x0 的任意性得f(x)在a ，b上连续设 f(x)=x，则 f(x)在 x=0 处可导，但f(x)=x在 x=0 处不可导【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 令 f(x)=因为 不存在，而 f(0)=，所以 f(x)在 x=0 处可导，但 f(x)在 x
11、=0 处不连续【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 (1)对任意的 x0a，b，由已知条件得 0f(x)-f(x 0)M x-x0 =f(x0)，再由 x0 的任意性得 f(x)在a ， b上连续(2) 对任意的x0a，b，因为 k1，0f(x)-f(x 0)Mx-x 0 =f(x0)，再由 x0 的任意性得 f(x)在a，b上连续【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 对任意的 x0a，b，因为 k1，所以0 M x-x0 k-1，由夹逼定理得 f(x0)=0，因为 x0 是任意一点，所以 f(x)0，故 f(x)常数【知识模块】 一元函数微分学
12、24 【正确答案】 由 f(x)在 x=0 处连续，得 b=0由 f(x)在 x=0 处可导，得a=2，所以 f(x)=【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 当 x-1，0时，f(x)=因为 f-(0)f+(0)，所以 f(x)在 x=0 处不可导【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 当 x0 时，f(x)=【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 因为 =f(0)=g(0)，所以 g(x)在 x=0 处连续【知识模块】 一元函数微分学29 【正确答案】 因为所以 g(x)在 x=0 处连续【知识模块】 一元函数微分学
