1、考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 36 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在 x=0 的邻域内有定义，f(0)=1，且 ，则 f(x)在 x=0 处( )（A）可导，且 f(0)=0（B）可导，且 f(0)=-1（C）可导，且 f(0)=2（D）不可导2 设 f(x)具有二阶连续导数，且 ，则( )（A）x=1 为 f(x)的极大点（B） x=1 为 f(x)的极小点（C） (1，f(1)为 y=f(x)的拐点（D）x=1 不是 f(x)的极值点，(1，f(1)也不是 y=f(x)的拐点3 设函数 f(x)在0，a上连续，在(0，a)
2、 内二阶可导，且 f(0)=0，f(x) 0，则=在(0，a上( )（A）单调增加（B）单调减少（C）恒等于零（D）非单调函数4 f(x)在(-，+) 内二阶可导，f(x)0， ，则 f(x)在(-，0)内( )（A）单调增加且大于零（B）单调增加且小于零（C）单调减少且大于零（D）单调减少且小于零5 设 f(x0)=f(x0)=0，f(x 0)0，则下列正确的是( )（A）f(x 0)是 f(x)的极大值（B） f(x0)是 f(x)的极大值（C） f(x0)是 f(x)的极小值（D）(x 0，f(x 0)是 y=f(x)的拐点6 设 f(x)在0，+)上连续，在(0，+)内可导，则( )二
3、、填空题7 y= ，则 y=_8 设周期为 4 的函数 f(x)处处可导，且 ，则曲线y=f(x)在(-3，f(-3)处的切线为_9 设 f(x)= ，且 f(0)存在，则a=_，b=_，c=_10 设 =_11 设函数 y=y(x)由方程 ex+y+cos(xy)=0 确定，则 =_12 曲线 的斜渐近线为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 证明：当 x0 时，x 2(1+x)In 2(1+x)14 证明不等式：xarctanx ln(1+x2)15 求 y= 的极值16 设 PQ 为抛物线 y= 的弦，它在此抛物线过 P 点的法线上，求 PQ 长度的最小值17 证明：
4、当 0x1 时，(1+x)ln 2(1+x)x 218 证明：对任意的 x，yR 且 xy，有19 设 ba 0，证明：20 证明：21 证明方程 x+p+qcosx=0 有且仅有一个实根，其中 p，q 为常数，且 0q1 22 证明方程 在(0，+)内有且仅有两个根23 设 k0，讨论常数 k 的取值，使 f(x)=xlnx+k 在其定义域内没有零点、有一个零点及两个零点24 设 f(x)= ，讨论 f(x)的单调性，凹凸性，拐点，水平渐近线25 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导(a0)，且 f(a)=0证明：存在 (a，b)，使得 f()=25 设 f(x)在a，b上连续，
5、在(a，b) 内可导，且 f(a)=f(b)=0，证明：26 存在 (a，b) ，使得 f()=2f()27 存在 (a，b)，使得 f()+f()=028 设 f(x)在1，2上连续，在 (1，2)内可导，证明：存在 (1，2) ，使得 f()-f()=f(2)-2f(1)29 设 f(x)在1，2上连续，在 (1，2)内可导，且 f(x)0，证明：存在， (1，2)，使得考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 36 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 C【试题解析】 由 =2
6、及 f(x)二阶连续可导得 f(1)=0；因为，所以由极限保号性，存在 0，当 0x-1 时，故(1，f(1)是曲线 y=f(x)的拐点，应选(C)【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 B【试题解析】 令 h(x)=xf(x)f(x)，h(0)=0，h(x)=xf(x)0(0xa)，由 得 h(x)0(0xa)，于是在(0，a上为单调减函数，选(B)【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 B【试题解析】 由 ，得 f(0)=0，f(0)=1，因为 f(x)0，所以 f(x)单调减少，在(-，0)内 f(x) f(0)=10，故 f(x)在(-，0)内为单调增函数，再由 f(0)=
7、0，在(- ， 0)内 f(x)f(0)=0，选(B) 【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f(x0)0，所以存在 0，当 0x-x 0 时，从而当 x(x0-，x 0)时，f(x)0；当 x(x0，x 0+)时，f(x)0，即(x 0，f(x 0)是 y=f(x)的拐点，选(D) 【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 D【试题解析】 取 f(x)=，(A)不对；取 f(x)=cosx，显然 (B)不对；取f(x)=x，显然 (C)不对，应选事实上，取，所以存在 X0，当 xX 时，【知识模块】 一元函数微分学二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 l
8、ny=【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 y=-2x-4【试题解析】 由 得 f(1)=2，再由得 f(1)=-2，又 f(-3)=f(-4+1)=f(1)=2，f(-3)=f(-4+1)=f(1)=-2，故曲线 y=f(x)在点(-3，f(-3) 处的切线为 y-2=-2(x+3)，即 y=-2x-4【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 2，2，-2【试题解析】 F(0+0)= =a，f(0)=2，f(0-0)=c，因为 f(x)在 x=0 处连续，所以 f(0+0)=f(0)=f(0-0)，从而 a=2，c=2，即 f(x)=因为 f(x)在 x=0 处可导，即 f+(0
9、)=f-(0)，故 b=-2【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 【试题解析】 方程两边对 x 求导，得【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 y=x+3【试题解析】 则斜渐近线为 y=x+3【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 令 f(x)=x2-(1+x)ln2(1+x)，f(0)=0； f(x)=2x-ln 2(1+x)-2ln(1+x)，f(0)=0； 得f(x)0(x0)，即 x2(1+x)ln 2(1+x)(x0)【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案
10、】 令 f(x)=xarctanx-=arctanx=0，得x=0，因为 f(x)= 0，所以 x=0 为 f(x)的极小值点，也为最小值点，而 f(0)=0，故对一切的 x，有 f(x)0，即 xarctanax ln(1+x2)【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 令 y=(1-x)arctanx=0，得 x=0 或 x=1，y=-arctanx+ ，因为y(0)=10，y(1)= 0，所以 x=0 为极小值点，极小值为 y=0；x=1 为极大值点，极大值为 y(1)【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 令 关于 y 轴对称，不妨设 a0PQ 的长度的平方为 L(a)=
11、(b-a)2+ 由 L(a)=为唯一驻点，从而为最小点，故 PQ 的最小距离为【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 令 f(x)=x2-(1+x)ln2(1+x)，f(0)=0； f(x)=2x-ln 2(1+x)-2ln(1+x)，f(0)=0； 故当 0x1时，(1+x)ln 2(1+x)x 2【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 令 f(t)=et，因为 f(t)=et0，所以函数 f(t)=et 为凹函数，根据凹函数的定义，对任意的 x，yR 且 xy，有【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 (a+b)(lnb-lna)-2(b-a)0令 (x)=(a+x
12、)(lnx-lna)-2(x-a)，(a)=0 ，(x)=lnx-lna+由，原不等式得证【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 令 f(x)=1+ 方法一【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 令 f(x)=x+p+qcosx，因为 f(x)=1-qsinx0，所以 f(x)在(-，+)上单调增加，又因为 ，所以 f(x)有且仅有一个零点，即原方程有且仅有一个实根【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 ，得 x=e，因为 f(e)=所以 f(x)=0 在(0，+)内有且仅有两个实根【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 f(x)的定义域为(0 ，+)， 由f(
13、x)=lnx+1=0，得驻点为 x= 为 f(x)的极小值点，也为最小值点，最小值为 (1)当 k 时，函数 f(x)在(0，+)内没有零点；(2)当 k= 时，函数 f(x)在(0，+) 内有唯一零点 x= (3)当 0k 时，函数 f(x)在(0，+)内有两个零点，分别位于 内【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 因为 f(x)= 0，所以 f(x)在(-，+)上单调增加因为 f(x)=- ，当 x0 时，f(x)0；当 x0 时，f(x)0，则 y=f(x)在(-，0)的图形是凹的，y=f(x)在(0，+)内是凸的，(0 ，0)为 y=f(x)的拐点因为 f(-x)=-f(x)
14、，所以 f(x)为奇函数由为曲线 y=f(x)的两条水平渐近线【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 令 (x)=(b-x)af(x)，显然 (x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，因为 (a)=(b)=0，所以由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 ()=0，由 (x)=(b-x)a-1(b-x)f(x)-af(x)得(b-) a-1(b-)f()-af()且(b-) a-10，故 f()=【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 令 (c)= ，因为 f(a)=f(b)=0，所以 (a)=(b)=0， 由罗尔定理，存在 (a，b) ，使得 ()=0，
15、 而 (x)= f(x)-2xf(x)且 0，故 f()=2f()【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 令 (x)=xf(x)，因为 f(a)=f(b)=0，所以 (a)=(b)=0，由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 ()=0，而 (x)=xf(x)+f(x)，故 f()+f()=0【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 令 (x)= 则 (x)在1，2上连续，在(1，2)内可导，且 (1)=(2)=f(2)-f(1)，由罗尔定理，存在 (1，2)，使得 ()=0，而 (x)= ，故 f()-f()=f(2)-2f(1)【试题解析】 由 xf(x)-f(x)=f(2)-2f(1)得【知识模块】 一元函数微分学29 【正确答案】 令 F(x)=lnx，F(x)= 0，由柯西中值定理，存在 (1，2)，使得由拉格朗日中值定理得 ，其中 (1，2)，f(2)-f(1)=f()(2-1)=f()，其中 (1，2)，故【知识模块】 一元函数微分学
