1、考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 48 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f()连续，且 F() f(t)dt，则 F()( )（A）（B）（C）（D）2 当 0，1时，f() 0，则 f(0)，f(1)，f(1) f(0)的大小次序为( )（A）f(0)f(1)f(0)f(1)（B） f(0) f(1)f(1)f(0)（C） f(0) f(1)f(1)f(0)（D）f(0)f(1)f(0)f(1)3 设 f()在0，)上连续，在(0，) 内可导，则 ( )（A）若 f()0，则 f()0（B）若 f()0，则 f()0（C）若 f()，则
2、f()（D）若 f()A0，则 f()4 设 f()，g()(a b)为大于零的可导函数，且 f()g()f()g()0，则当ab 时，有( ) （A）f()g(b)f(b)g()（B） f()g(a)f(a)g()（C） f()g()f(b)g(b)（D）f()g() f(a)g(a)5 设 f()在 0 的某邻域内连续，若 2，则 f()在 0 处( )（A）不可导（B）可导但 f(0)0（C）取极大值（D）取极小值6 设 f()连续，且 f(0)0，则存在 0，使得( )（A）f()在(0，)内单调增加（B） f()在(，0) 内单调减少（C）对任意的 (，0)，有 f()f(0)（D）
3、对任意的 (0，) ，有 f()f(0)二、填空题7 设 f()ln(2 2 1)，则 f(n)()_8 设 () (2t)f(t)dt，其中 f 连续，则 ()_9 设 f()连续，则 tf(t)dt_10 曲线 y 的斜渐近线为_11 曲线 y 的斜渐近线为 _12 ye 在 0 处的曲率半径为 R_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 证明：当 1 时，14 证明：当 0 时，arctan 15 证明：当 0 1 时，16 当 0 时，证明： sin17 设 f()在0，1上连续，且 f()1，证明：2 0f(t)dt1 在(0，1)有且仅有一个根18 求曲线 y 的上
4、凸区间19 求曲线 y 的斜渐近线20 求 yf() 的渐近线21 证明：当 0 时， 22 设 0a 1，证明：方程 arctana 在(0 ，)内有且仅有一个实根23 设 f()在a，b上连续，在(a ，b)内可导(a0)，证明：存在 (a，b)，使得 f(b)f(a)f()ln 24 设 f()，g()在a，b 上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)f(b)0，证明：存在(a， b)，使得 f()f()g()025 设 f()在0，3上连续，在(0，3)内二阶可导，且 2f(0) 02f(t)dtf(2)f(3) 证明：(1)存在 1， 2(0，3)，使得 f(1)f( 2)0 (2)
5、存在 (0，3)，使得 f()2f() 026 设 f()在1，2上连续，在(1，2)内可导，且 f()0(12)，又存在且非零，证明： (1)存在 (1，2)，使得 (2)存在 (1，2)，使得 12f(t)dt( 1)f()ln2 27 设 f()在a，b上二阶可导且 f()0，证明： f()在(a，b)内为凹函数28 设 f()在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 01f(t)dt0 证明：存在 (0，1)，使得 f() 0f(t)dt考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 48 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 F
6、()f(ln).(ln) ，应选 A【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 D【试题解析】 由拉格朗日中值定理得 f(1)f(0) f(c)(0 c 1)，因为 f()0，所以 f()单调增加，故 f(0)f(c)f(1) ，即 f(0)f(1)f(0)f(1)，应选 D【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 D【试题解析】 取 f() ，显然 f()0，但 ，A 不对； 取 f()cos，显然 0，但 10，B 不对； 取 f()，显然 f()，但 f()1，C 不对，应选 D【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 A【试题解析】 由 f()g()f()g() 得 0， 即
7、0，从而 为单调减函数 由 ab 得 ，故 f()g(b)f(b)g()，应选 A【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 D【试题解析】 由 2 得 f(0)0， 由极限保号性，存在 0，当0 时， 0，从而 f()0f(0)， 由极值的定义得 f(0)为极小值，应选 D【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f(0) 0， 所以由极限的保号性，存在0，当 0 时， 0， 当 (，0)时，f()f(0) ；当(0，) 时，f() f(0)，应选 D【知识模块】 一元函数微分学二、填空题7 【正确答案】 (1) n-1(n1)【试题解析】 f()ln21)(1
8、ln(2 1) ln(1)，【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 2 f(t)dt4 2f(2)【试题解析】 () f(t)dt tf(t)dt ()2 f(t)dt2 3f(2)2 3f(2)2 f(t)dt ()2 f(t)dt4 2f(2)【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 f()【试题解析】 0tf(t)dt 0(u)f(u)(du) 0(u)f(u)du 0f(u)du 0uf(u)du， 于是 tf(t)dt 0f(u)du，故 tf(t)dtf()【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 y 3【试题解析】 则斜渐近线为 y3【知识模块】 一元函数微分学1
9、1 【正确答案】 y【试题解析】 由0，得曲线y 的斜渐近线为 y【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 2【试题解析】 y(0) 1，y(0) 1，则曲线 ye 在 0 处的曲率为 k，则曲率半径为 R2 【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 令 f()(1)ln(1) ln ，f(1)2ln2 0， 因为 f()ln(1)1ln1ln(1 )0(1) ， 所以 f()在1，)上单调增加， 再由 f(1)2ln20 得当 1 时，f() 0，即【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 令 f()arctan ， 因为
10、f() 0(0)，所以f()在(0 ，)内单调递减， 又因为 ，所以 f() ，即 arctan【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 令 f()(1)ln(1) arcsin，f(0)0， f()ln(1) arcsin0(01)， 由 得当01 时， f()0，故【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 令 f()sin，f(0) 0 f() 1cos0(0 )， 由得 f()0(0 )，即当 0 时，sin ； 令 g()sin ，g(0)0，g( )0 由 g()sin0(0 )得 g()在(0， )内为凸函数 由 得 g()0(0 )，即当0 时， sin， 故当 0
11、时， sin【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 令 ()2 0f(t)dt1，(0)1，(1)1 01f(t)dt， 因为f()1，所以 01(t)dt1，从而 (0)(1)0， 由零点定理，存在 c(0，1)，使得(c)0 因为 ()2f()0，所以 ()在0，1上单调增加，故方程2 0f(t)dt1 有且仅有一个根【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 由 y0 得(3) 210，解得 24， 故曲线 y 的上凸区间为(2， 4)【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 由 11得 曲线 y 的斜渐近线为 y211【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 因
12、为 f() ，所以 yf()没有水平渐近线， 由 f()得 0 为铅直渐近线， 由 f()得 2 为铅直渐近线，得 y3 为斜渐近线【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 令 (t)ln(t)，由拉格朗日中值定理得 ln(1 )ln(1)ln(1)(0)() (01)， 由【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 令 f()arctan a ，由 f() a0 得 ， 由f() 0 得 为 f()的最大值点， 由 f()，f(0)0 得方程 arctana 在(0，)内有且仅有唯一实根，位于(，)内【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 令 F()ln ，F() 0， 由
13、柯西中值定理，存在 (a，b)，使得 即 ，整理得 f(b)f(a)f()ln 【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 令 ()f()e g()， 由 f(a)f(b) 0 得 (a)(b)0，则存在(a， b)，使得 ()0， 因为 ()e g()f()f()g()且 eg()0，所以 f()f()g()0【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 (1)令 F() 0f(t)dt，F()f()， 02f(t)dtF(2)F(0) F(c)(20)2f(c)，其中 0c2 因为 f()在2，3上连续，所以 f()在2 ，3上取到最小值 m 和最大值 M， m M 由介值定理，存在
14、 02，3，使得f(0) ，即 f(2)f(3) 2f( 0)， 于 f(0)f(c)f( 0)， 由罗尔定理，存在 1(0，c) (0，3)， 2(c， 0) (0，3)，使得 f(1)f( 2)0 (2) 令 ()e 2 f()，( 1)( 2)0， 由罗尔定理，存在 (1， 2) (0，3)，使得 ()0， 而 ()e 2 f()2f()且 e2 0，故 f()2f()0【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 (1)令 h()ln，F() 1f(t)dt，且 F()f()0， 由柯西中值定理，存在 (1，2)，使得 ， 即 (2)由存在得 f(1)0， 由拉格朗日中值定理得 f(
15、)f()f(1)f()(1) ，其中 1 ， 故 12f(t)dt( 1)f()ln2【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 对任意的 1， 2(a，b)且 12，取 0 ，由泰勒公式得 f()f( 0)f( 0)( 0) ( 0)2，其中 介于 0 与 之间 因为 f()0，所以 f()f(0)f( 0)( 0)，“ ”成立当且仅当“ 0。”， 从而两式相加得 f(0)，即 ， 由凹函数的定义，f()在(a ，b)内为凹函数【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 令 ()e 0(t)dt， 因为 (0)(1)0，所以存在 (0，1) ，使得 ()0， 而 ()e f() 0f(t)dt且 e 0，故 f() 0f(t)dt【知识模块】 一元函数微分学
