1、考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 51 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f()连续，且 2，则( )（A）f()在 0 处不可导（B） f()在 0 处可导且 f(0)0（C） f()在 0 处取极小值（D）f()在 0 处取极大值2 设 f()具有二阶连续导数，且 2，则( )（A）1 为 f()的极大值点（B） 1 为 f()的极小值点（C） (1，f(1)为 yf() 的拐点（D）1 不是 f()的极值点，(1，f(1)也不是 yf()的拐点3 设 f()二阶连续可导， f(0)0，且 1，则( )（A）0 为 f()的极大值点（B）
2、 0 为 f()的极小值点（C） (0，f(0)为 yf() 的拐点（D）0 不是 f()的极值点，(0，f(0)也不是 yf()的拐点4 设 yy()由 0 确定，则 f(0)等于 ( )（A）2e 2（B） 2e-2（C） e21（D）e -215 设函数 f()二阶可导，且 f()0，f () 0，yf() f()，其中0，则( )（A）ydy0（B） ydy0（C） dyy0（D）dyy06 设 f ()连续， f(0)0， 1，则( )（A）f(0)是 f()的极大值（B） f(0)是 f()的极小值（C） (0，f(0)是 yf() 的拐点（D）f(0)非极值，(0，f(0)也非
3、yf()的拐点7 设函数 f()在0 ，a 上连续，在(0，a) 内二阶可导，f(0) 0，f() 0，则 在(0，a上( ) （A）单调增加（B）单调减少（C）恒等于零（D）非单调函数二、填空题8 _9 设周期为 4 的函数 f()处处可导，且 ，则曲线 yf()在(3， f(3) 处的切线为_ 10 设 f()为偶函数，且 f(1)2，则 _11 设 f()在 a 处可导，则 _12 设 f(a)存在且不等于零，则 _13 设 f()为奇函数，且 f(1)2，则 f(3) 1 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设 f() ，求 f(n)()15 设 f() 01ys
4、in dy(01) ，求 f()16 设 f()连续，且对任意的 ，y(，)有 f(y)f()(y)2y ，f(0)1，求 f()17 设 f() 讨论函数 f()在 0 处的可导性18 设 f()二阶连续可导，且 f(0)f(0) 0，f(0)0 ，设 u()为曲线 yf()在点(， f()处的切线在 z 轴上的截距，求 19 设 f()在 a 处二阶可导，证明 f(a)20 设 f()连续， f(0)0，f(0) 1，求 -aaf(a)d -aaf(a)d21 设 ，求 22 设 f()连续，且 g() 02(t)dt，求 g()23 证明：连续函数取绝对值后函数仍保持连续性，举例说明可导
5、函数取绝对值不一定保持可导性24 举例说明函数可导不一定连续可导25 设 f()在a，b上有定义，M0 且对任意的 ，y a，b，有f()f(y)M y k (1)证明：当 k0 时，f()在a，b上连续； (2)证明：当k1 时，f()常数26 设 f() 处处可导，确定常数 a，b，并求 f()27 设对一切的 ，有 f(1)2f()，且当 0，1时 f()( 21)，讨论函数 f()在 0 处的可导性28 设 f() 求 f()并讨论其连续性29 设 0cos(t) 2dt 确定 y 为 的函数，求 30 设 f()二阶可导， f(0)0，令 g() (1)求 g()； (2)讨论 g(
6、)在 0 处的连续性31 设 f() 求 f()考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 51 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 2 得 f(0)1， 由极限的保号性，存在 0，当0 时， 0，即 f()1f(0)， 故 0 为 f()的极大值点，应选 D【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 C【试题解析】 由 2 及 f()二阶连续可导得 f(1)0； 因为20，所以由极限保号性，存在 0，当 01 时，0， 从而 故(1，f(1)是曲线 yf() 的拐点，应选 C【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 A【试
7、题解析】 因为 10， 所以由极限的保号性，存在 0，当 0 时， 0， 注意到 3o()，所以当 0 时，f()0， 从而 f()在(，) 内单调递减，再由 f(0)0 得故 0 为 f()的极大值点，应选 A【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 A【试题解析】 当 0 时，由 1y dt0 得 y1， dt0 两边对 求导得 1 0， 解得 ，且 e1， 由 得 y(0) 2e 2 应选 A【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 D【试题解析】 根据微分中值定理，yf( )f()f()0()，dyf()0，因为 f ()0，所以 f()单调增加，而 ，所以 f()f()，于是
8、 f()f()，即 dyy0，选 D【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 B【试题解析】 1 及 f()的连续性，得 f(0)0，由极限的保号性，存在 0，当 0 时， 0，从而 f()0，于是 f()在(，)内单调增加，再由 f(0)0，得当 (，0)时，f()0，当 (0，)时，f()0，0 为 f()的极小值点，选 B【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 B【试题解析】 令 h()f() f()，h(0)0，h()f() 0(0 a)， 由 得 h()0(0 a)， 于是 0(0a)，故 在(0，a上为单调减函数，选 B【知识模块】 一元函数微分学二、填空题8 【正确答案
9、】 【试题解析】 由 得【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 y24【试题解析】 由 得 f(1)2， 再由得 f(1)2， 又 f(3)f( 4 1)f(1)2，f( 3)f(41)f(1)2， 故曲线yf()在点( 3，f(3) 处的切线为 y22(3)，即 y24【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 8【试题解析】 因为 f()为偶函数，所以 f()为奇函数，于是 f(1)2，【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 10f(a)f(a)【试题解析】 因为 f()在 a 处可导，所以 f()在 a 处连续，于是【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 【试题
10、解析】 【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 6【试题解析】 因为 f()为奇函数，所以 f()为偶函数， 由 f(3)3 2f(3)得f(3) 1 3f(1)3f(1) 6【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 令 f()由 A(21)B(2)4 3 得 ， 解得 A1，B2， 即 f()故 f(n)()【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 则 f()【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 当 y 0 时，f(0) 2f(0)，于是 f(0)0 对任意的(，)，则f() 2C，因为 f(0)0，所以 C0，
11、故 f() 2【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 因为 0f(). 得 f()0f(0)，故f()在 0 处连续 由 1 得 f (0)1， 再由 0 得 f+(0)0， 因为 f (0)f+(0)，所以 f()在 0 处不可导【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 曲线 yf()在点(，f()的切线为 Yf()f()(X) ， 令Y0，则 u()X ，则【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 a af(a)d a af(a)d a af(a)d( A) a af(a)d( a) 02af()d 2a 0f()d 02
12、a()d 0-2af()d， 又由 ln(1a)a o(a 2)得 a0 时 aln(1a) ，于是【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 方程 两边对 求导数得【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 g() 20f(t)d(t) 20f(u)du 20f(u)du， g()2 0f(u)du 2f()【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 设 f()在a，b上连续，令 g()f()， 对任意的 0a，b，有 0g()g( 0)f()f( 0)f()f( 0)， 因为 f()在a ，b上连续，所以 f()f( 0)， 由迫敛定理得 f()f( 0)， 即f()在 0 处
13、连续，由 0 的任意性得f() 在a ，b上连续 设 f()，则 f()在0 处可导，但 f()在 0 处不可导【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 令 f() 当 0 时，f()，当 0 时，f(0) 0， 即因为 f()不存在，而 f(0)0，所以 f()在 0处可导，但 f()在 0 处不连续【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 (1)对任意的 0a，b，由已知条件得 0f()f( 0)M 0 k， f()f( 0)， 再由 0 的任意性得 f()在a，b上连续 (2)对任意的0a，b ，因为 k1， 所以 0 M 0 k-1 由夹逼定理得f(0)0，因为 0 是任意
14、一点，所以 f()0，故 f()常数【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 由 f()在 0 处连续，得 b0由 f()在 0 处可导，得 a2， 所以 f() 则 f()【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 当 1，0时，f() f(1) (1)( 22) ，因为 f (0)f+(0)，所以 f()在 0 处不可导【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 当 0 时，f() ，当 0 时，f()cos，由 f (0)1，f +(0) 1 得 f(0)1，则容易验证 1f(0)，所以f()连续【知识模块】 一元函数微分学29 【正确答案】 0cos(t) 2dt 0co
15、su2(du) 0cost2dt， 等式 0cost2dt 两边对 求导，得 cos 2， 于是【知识模块】 一元函数微分学30 【正确答案】 (1)因为 f(0)g(0)， 所以 g()在 0 处连续 当 0 时，g() ； 当 0时，由 得g(0) f(0) ，即 (2)由题意得：所以 g()在 0 处连续【知识模块】 一元函数微分学31 【正确答案】 当 1 时，f() ； 当 1 时，f()1；当 1 时，f()1； 又 2，0，则 f()在 1 处不连续，故也不可导 由f(10)f(1 0)f(1)得 f()在 1 处连续 因为所以 f()在 1 处也不可导， 故 f()【知识模块】 一元函数微分学
