1、考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 53 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f()连续可导， g()在 0 的邻域内连续，且 g(0)1，f()sin2 0g(t)dt，则 ( )（A）0 为 f()的极大值点（B） 0 为 f()的极小值点（C） (0，f(0)为 yf() 的拐点（D）0 非极值点， (0，f(0)非 yf()的拐点2 设 f()二阶连续可导，且 1，则( )（A）f(0)是 f()的极小值（B） f(0)是 f()的极大值（C） (0，f(0)是曲线 y f()的拐点（D）0 是 f()的驻点但不是极值点3 设函数 f()
2、满足关系 f() f 2()，且 f(0) 0，则( ) （A）f()是 f()的极小值（B） f(0)是 f()的极大值（C） (0，f(0)是 yf() 的拐点（D）(0 ，f(0) 不是 yf()的拐点4 下列说法正确的是( ) （A）设 f()在 0 二阶可导，则 f()在 0 处连续（B） f()在a，b上的最大值一定是其极大值（C） f()在(a，b)内的极大值一定是其最大值（D）若 f()在a，b 上连续，在(a ，b)内可导，且 f()在(a ，b) 内有唯一的极值点，则该极值点一定为最值点5 设 f()在a，) 上二阶可导，f(a) 0，f(a)0，且 f()k(ko)，则
3、f()在(a，) 内的零点个数为( )（A）0 个（B） 1 个（C） 2 个（D）3 个6 设 k0，则函数 f()ln k 的零点个数为( )（A）0 个（B） 1 个（C） 2 个（D）3 个7 曲线 y 的渐近线的条数为( )（A）0 条（B） 1 条（C） 2 条（D）3 条8 设函数 f()在( ，)内连续，其导数的图形如图，则 f()有( ) （A）两个极大值点，两个极小值点，一个拐点（B）两个极大值点，两个极小值点，两个拐点（C）三个极大值点，两个极小值点，两个拐点（D）两个极大值点，三个极小值点，两个拐点二、填空题9 设函数 yy()由 确定，则 yy()在 ln2 处的法线
4、方程为_10 设 f() ，在 1 处可微，则 a_，b_11 设 F() 0(2t 2)f(t)dt，其中 f()在 0 处连续，且当 0 时，F() 2，则f(0)_12 设 f()在( ，)上可导， f()e 2，又 f()f(1)，则 a_13 设 f(，y)可微，f(1，2)2，f (1，2)3，f y(1，2)4，()f，f( ，2)，则 (1)_14 曲线 y 的斜渐近线为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 就 k 的不同取值情况，确定方程 330 k0 根的个数16 设是为常数，方程 k 0 在(0，)内恰有一根，求 k 的取值范围17 设 f()在 1，
5、1上可导，f()在 0 处二阶可导，且 f(0)0，f(0)4求18 设 f()二阶连续可导且 f(0)f(0) 0，f() 0曲线 yf()上任一点(，f()(0)处作切线，此切线在 轴上的截距为 u，求 19 设函数 f() 其中 g()二阶连续可导，且 g(0)1 (1)确定常数 a，使得 f()在 0 处连续； (2) 求 f()； (3)讨论 f()在 0 处的连续性20 设 f()在a，b上连续，在(a ，b)内可导，且 f+(a)f (b)0证明：存在(a， b)，使得 f()021 设 f()在0，2上三阶连续可导，且 f(0)1，f(1)0，f(2) 证明：存在(0， 2)，
6、使得 f()222 设 f()是在 a，b上连续且严格单调的函数，在 (a，b)内可导，且 f(a)abf(b) 证明：存在 i(a，b)(i 1，2，n)，使得 123 设函数 yf() 二阶可导，f()0 ，且与 (y)互为反函数，求 (y)24 设 f()在 0 的邻域内连续，在 0 的去心邻域内可导，且 f()M 证明：f( 0)M25 设 f()在0，1上二阶可导，且 f(0)f(1) 0证明：存在 (0，1)，使得 f()26 设 f()在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)0，f(1) 1，证明：对任意的a0，b0，存在 ， (0，1)，使得 ab27 设 f()在a，
7、b上连续，在(a ，b)内可导，且 f(a)f(b)0， abf()d0证明： (1)存在 c(a， b)，使得 f(c)0； (2)存在 i(a，b)(i1，2)，且 12，使得 f(i)f( i)0(i1，2)； (3)存在 (a，b)，使得 f()f()； (4) 存在 (a，b)，使得f()3f()2f()028 设 a1a 2a n，且函数 f()在a 1，a n上 n 阶可导，c a1，a n且 f(a1)f(a 2)f(a n) 0证明：存在 (a1，a n)，使得 f(c) f(n)()29 设 f()二阶连续可导，且 f()0 又 f(h)f()f(h)h(0 1)证明30
8、设 f()在0，1连续可导，且 f(0)0证明：存在 0，1，使得 f()2 01f()d31 求 的最大项32 设 33yy 33 确定隐函数 yy()，求 yy()的极值考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 53 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由 0g(t)dt 0g(u)du 得 f()sin2 0g(u)du，f(0)0，所以 0 为 f()的极大值点，应选 A【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 C【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(0)0 得 f(0)0，f()12
9、f()f()，f(0)10，由极限保号性，存在 0，当 0 时，f()0，再由 f(0)0，得故(0，f(0)是曲线 yf() 的拐点，选 C【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 D【试题解析】 令 f() f(0)0，但 f()不存在，所以 A 不对； 若最大值在端点取到则不是极大值，所以 B 不对； C 显然不对，选 D【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 B【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 C【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 D【试题解析】 因为 ，所以曲线 y 无水平渐近线； 由，得曲线 y 有两条铅直渐近线； 由0，得曲线 y 有一条斜渐近线
10、y，选 D【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 C【试题解析】 设当 0 时，f()与 轴的两个交点为( 1，0)，( 2，0)，其中1 2；当 0 时，f()与 轴的两个交点为( 3，0)，( 4，0)，其中 3 4 当 1 时，f()0，当 (1， 2)时，f()0，则 1 为 f()的极大点； 当(2，0)时，f()0，则 2 为 f()的极小值点；当 (0， 3)时，f()0，则0 为 f()的极大值点；当 (3， 4)时，f()0，则 3 为 f()的极小值点；当 4 时，f()0，则 4 为 f()的极大值点，即 f()有三个极大值点，两个极小值点，又 f() 有两个零点，
11、根据一阶导数在两个零点两侧的增减性可得，yf()有两个拐点，选 C【知识模块】 一元函数微分学二、填空题9 【正确答案】 y (ln2)【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 2；1【试题解析】 因为 f()在 1 处可微，所以 f()在 1 处连续， 于是 f(10)f(1)1f(1 0) ab，即 ab 1由 f()在 1 处可微得 a2，所以 a2，b1【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 【试题解析】 F() 20f(t)dt 0t2f(t)dt，F() 20f(t)dt， 因为当 0 时，F() 2 故 f(0)【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 1【试
12、题解析】 由 f()f(1)f() ，其中 介于 1 与 之间，令 ，由 f()e 2， f()f(1) ()e 2，即 e2ae 2，所以 a1【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 47【试题解析】 因为 () f，f( ，2)f y，f(，2)f z(，2)2f y(，2)， 所以 (1)f 1，f(1，2)f y1，f(1 ，2)f (1，2)2f y(1，2) 34(38)47【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 y2 4【试题解析】 曲线 y 的斜渐近线为 y24【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 令
13、f() 33k， f()， f() 由 f()3 230，得驻点为 11， 21f() 6 ，由 f( 1)6，f(1)6，得 1 1， 21 分别为 f()的极大值点和极小值点，极大值和极小值分别为 f(1)2k，f(1)k2 (1)当 k2 时，方程只有一个根； (2)当 k2时，方程有两个根，其中一个为 1，另一个位于(1，)内； (3)当2k2 时，方程有三个根，分别位于(，1)，(1，1)，(1，)内； (4)当 k2 时，方程有两个根，一个位于(，1)内，另一个为 1； (5)当忌2时，方程只有一个根【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 令 f()k f()k ，(0，)
14、 (1)若 k0，由f()， f()，又 f()k 0，所以原方程在(0，)内恰有一个实根； (2)若 k0， 10，又 f() 0，所以原方程也恰有一个实根； (3)若 k0， 令 f() ， 又 f() 0，所以 f(0)12 为 f()的最大值， 令 12 0，得 k ， 所以 k 的取值范围是kk 或 k0【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 对 0，有 ln(1) 1，同理1，所以原式2【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 曲线 yf()在点(，f()处的切线方程为 Yf()f()(X) ， 令 Y0 得 u ，由泰勒公式得 f(u) f( 1)u2 其中 1 介
15、于 0 与 u 之间，f() f( 2)2 其中 2 介于 0 与 u 之间，【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 (1)当 ag(0)时，f()在 0 处连续因为 f()f(0)，所以 f()在 0 处连续【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 不妨设 f (a)0，f (b)0，根据极限的保号性，由 f (a)0，则存在 0(ba)，当 0a 时，0，即 f()f(a) ， 所以存在 1(a，b)，使得 f(1)f(a) 同理由f (b)0，存在 2(a，b)，使得 f(2)f(b) 因为 f()在a，b上连续，且 f(1)f(a)，f( 2)f(b)，所以 f()的最大
16、值在(a，b)内取到，即存在 (a，b)，使得 f()为 f()在a ，b上的最大值，故 f()0【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 由泰勒公式，得两式相减，得，而 f()C0，2，所以存在 (0，2)，使得 f() 2【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 令 h ，因为 f()在a，b上连续且单调增加，且 f(a)abf(b)， 所以 f(a) aaha(n1)hbf(b)，由端点介值定理和函数单调性， 存在 ac 1c 2c n-1b，使得 f(c1)ah，f(c 2)a2h， ，f(c n-1)a (n1)h ，再由微分中值定理，得 f(c 1)f(a)f( 1)(
17、c1a)，1(a， c1)， f(c 2)f(c 1)f( 2)(c2c 1)， 2(c1，c 2)， f(b)f(c n-1)f( n)(bc n-1)，n(cn-1，b)， 从而有【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 因为函数的一阶导数与其反函数的一阶导数互为倒数，所以 (y) 于是【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 由微分中值定理得 f()f( 0)f()( 0)，其中 介于 0 与 之间，即 f(0)M【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 令 ()( 1) 2f()，显然 ()在0，1上可导由 f(0)f(1)0，根据罗尔定理，存在 c(0，1)，使得
18、f(c)0，再由 (c)(1)0，根据罗尔定理，存在 (c，1) (0，1) ，使得 ()0，而 ()2( 1)f()(1) 2f()，所以 2(1)f()(1) 2f()0，整理得 f() 【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 因为 f()在0，1上连续，f(0)0，f(1)1，且 f(0) f(1)，所以由端点介值定理，存在 c(0，1)，使得 f(c) 由微分中值定理，存在 (0，c)，(c ，1)，使得【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 (1)令 F() af(t)dt，则 F()在a， b上连续，在(a ，b)内可导，且F()f() 故存在 c(a，b)，使得
19、abf()dF(b) F(a)F(c)(ba)f(c)(ba)0，即 f(c) 0 (2)令 h()e f()，因为 h(a)h(c)h(b)0，所以由罗尔定理，存在 1(a，c)， 2(c，b)，使得 h(1)h( 2)0， 而 h()e f()f()且e0，所以 f(i)f( i)0(i1，2) (3)令 ()e f()f()，( 2)( 2)0，由罗尔定理，存在 (1， 2) (a，b)，使得 ()0， 而 ()e f()f()且 e 0，所以 f ()f() (4)令 g()e f()，g(a) g(c)g(b)0， 由罗尔定理，存在 1(a，c)， 2(c，b)，使得 g(1)g(
20、2)0， 而 g()e f()f()且 e 0，所以 f(1)f( 1)0，f( 2)f( 2)0 令 P(z)一 e-2X Ef(z)一厂(z)，P(7，)一垆(孕)一 0， 由罗尔定理，存在 (1， 2) (a，b)，使得 ()0， 而 ()e 2 f()3f()2f()且 e2 0， 所以 f() 3f()2f()0【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 当 ca i(i1，2，n)时，对任意的 (a1，a n)，结论成立； 设 c 为异于 a1，a 2，a n 的数，不妨设 a1c a 2a n 令 k构造辅助函数 ()f() k(a 1)(a 2)(a n)，显然 ()在a
21、1，a n上 n 阶可导，且 (a1)(c)(a 2)(a n)0， 由罗尔定理，存在 1(1)(a1，c) ， 2(1)(c，a 2)， n(1)(an-1，a n)，使得 (1(1)( 2(1)( n(1)0，() 在 (a1，a n)内至少有 n 个不同零点，重复使用罗尔定理，则(n-1)()在(a 1，a n)内至少有两个不同零点，设为 c1，c 2(a1，a n)，使得 (n-1)(c1) n-1(c2)0， 再由罗尔定理，存在 (c1，c 2) (a1，a 2)，使得 (n)()0 而 n()f (n)()n!k，所以 f(n)()n!k，从而有【知识模块】 一元函数微分学29 【
22、正确答案】 由泰勒公式得 f(h)f() f()h h2，其中 介于 与 h 之间 由已知条件得 f(h)hf()h ，或 f(h) f()， 两边同除以 h，得两边取极限得 ，而 f()0，故 【知识模块】 一元函数微分学30 【正确答案】 因为 f()在区间0，1上连续，所以 f()在区间0，1上取到最大值 M 和最小值 m，对 f()f(0)f(c)(基中 c 介于 0 与 之间)两边积分得 01f()d 01f(c)d， 由 mf(c)M 得 m01d01f(c)dM01d， 即 m201f(c)dM或 m201f()dM， 由介值定理，存在 0，1，使得 f()2 01f()d【知识模块】 一元函数微分学31 【正确答案】 令 f() (1)， 由 f() 得 f() ，令f()0 得 e 当 (0，e)时，f()0；当 (e，)时，f()0，则 e 为f()的最大点，于是 ( )的最大项为 或 ， 因为 ，所以最大项为 【知识模块】 一元函数微分学32 【正确答案】 33yy 33 两边对 求导得 323y3y 3y 2y0，因为 y(1)10，所以 1 为极小值点，极小值为 y(1) 1； 因为 y( )10，所以 为极大值点，极大值为【知识模块】 一元函数微分学
