1、考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 55 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)= ，则 f(x)在(一 ， +)内( )（A）处处可导。（B）恰有一个不可导点。（C）恰有两个不可导点。（D）至少有三个不可导点。2 f(x)= 则 f(x)在 x=0 处( )（A）极限不存在。（B）极限存在，但不连续。（C）连续但不可导。（D）可导。3 设 F(x)=g(x)(x)，x=a 是 (x)的跳跃间断点，g (a)存在，则 g(a)=0，g (a)=0 是F(x)在 x=a 处可导的 ( )（A）充分必要条件。（B）充分非必要条件。（C）必要
2、非充分条件。（D）非充分非必要条件。4 设函数 y=f(x)具有二阶导数，且 f(x)0，f (x)0，x 为自变量 x 在点 x0，处的增量，y 与 dy 分别为 f(x)在点 x0 处对应的增量与微分，若x0，则( )（A）0dyy。（B） 0 ydy。（C） ydy0。（D）dyy0。5 设函数 f(x)在(一，+)存在二阶导数，且 f(x)=f(一 x)，当 x0 时有 f(x)0，f (x)0，则当 x0 时，有( )（A）f (x)0，f (x)0。（B） f(x)0，f (x)0。（C） f(x)0，f (x)0。（D）f (x)0，f (x)0。6 设 f(x)为可导函数，且满
3、足条件 =一 1，则曲线 y=f(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为 ( )（A）2。（B）一 1。（C） 。（D）一 2。7 设 f(x)=arctanx 一 (x1)，则( )（A）f(x)在1，+)单调增加。（B） f(x)在1，+)单调减少。（C） f(x)在1，+)为常数 。（D）f(x)在1，+)为常数 0。8 设 f(x)为可导函数，且 f(x)严格单调增加，则 F(x)= 在(a，b内( )（A）有极大值。（B）有极小值。（C）单调递减。（D）单调递增。9 已知 f(x)在 x=0 的某个邻域内连续，且 f(0)=0， =2，则在点 x=0 处f(x)( )（A）不可导。（B
4、）可导且 f(0)0。（C）取得极大值。（D）取得极小值。二、填空题10 f(x)= g(x)为奇函数且在 x=0 处可导，则 f(0)=_。11 设函数 f(x)= =_。12 设函数 f(x)在 x=2 的某邻域内可导，且 f(x)=ef(x)，f(2)=1，则 f(2)=_。13 设 y=y(x)是由方程 确定的隐函数，则 y=_。14 设 =_。15 曲线 处的切线方程为_。16 设 f(x)在 x=0 处连续，且 =2，则曲线 f(x)在点(0， f(0)处的切线方程为_。17 若曲线 y=x3+ax2+bx+1 有拐点(一 1，0)，则 b=_。18 曲线 y= 的斜渐近线方程为_
5、。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 设 y=xxx(x0)，求 。19 设函数 f(x)在(一，+)上有定义，在区间0，2上，f(x)=x(x 2 一 4)，若对任意的 x 都满足 f(x)=kf(x+2)，其中 k 为常数。20 写出 f(x)在一 2，2上的表达式；21 问 k 为何值时，f(x)在 x=0 处可导。22 设函数 f(x)在0，上连续，且 0f(x)sinxdx=0， 0f(x)cosxdx=0。证明在(0，)内 f(x)至少有两个零点。23 证明函数恒等式 arctanx= ，x (一 1，1)。23 设 f(x)为 一 a，a 上的连续偶函数，且
6、f(x)0，令 F(x)=a ax 一 tf(t)dt。24 证明 F(x)单调增加；25 当 x 取何值时，F(x)取最小值；26 当 F(x)的最小值为 f(a)一 a2 一 1 时，求函数 f(x)。27 求函数 y=(x 一 1) 的单调区间和极值，并求该函数图形的渐近线。28 设 0x1，证明： 4。考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 55 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 本题可以先求出 f(x)的表达式，再讨论其不可导点。可见 f(x)仅在 x=1 两点处不可导，故应选 C。【知识模块】 一元函数微分学2
7、【正确答案】 C【试题解析】 由 f (0)，f (0)都存在可得，f(x)在 x=0 右连续和左连续，所以 f(x)在 x=0 连续；但 f (0)f (0)，所以 f(x)在 x=0 处不可导。所以选 C。【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 A【试题解析】 因 (x)在 x=a 处不可导，所以不能对 F(x)用乘积的求导法则，需用定义求 F(a)。题设 (x)以 x=a 为跳跃间断点，则存在 ，A A 。当 g(a)=0 时，下面证明若 F(a)存在，则 g(a)=0。反证法，若 g(a)0，(x)= ，由商的求导法则，(x)在 x=a 可导，这与题设矛盾，则 g(a)=0，g
8、(a)=0 是 F(x)在 x=a 处可导的充要条件。故选 A。【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 A【试题解析】 根据函数单调性的判断 f(x)0 可知，f(x)严格单调增加，由 f(x)0 可知，f(x)是凹函数。作函数的图象如图 12-4 所示，显然x0 时，ydy=f (x0)dx=f(x0)x0，即知选择 A。【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(x)=f(一 x)可知，f(x)为偶函数，因可导偶函数的导数是奇函数，可导奇函数的导数是偶函数，即 f(x)为奇函数，f (x)为偶函数，因此当 x0 时，有 f(x)0，f (x)0；当 x0 时
9、，有 f(x)0，f (x)0。故选 C。【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 D【试题解析】 将题中等式两端同乘 2，得 由导数定义可知，f (1)=一 2，故选 D。【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 C【试题解析】 按选项要求，先求 f(x)。又 f(x)在1，+) 连续，则 f(x)=常数=f(1)= 。故选 C。【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 D【试题解析】 由导数运算法则及拉格朗日中值定理得，其中axb。因 f(x)严格单调增加，所以 f(x)一 f()0，从而 F(x)0，即 F(x)在(a，b内单调递增。【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案
10、】 D【试题解析】 因当 x0 时，1 一 cosx x2，故极限条件等价于 =2。从而可取 f(x)=x2，显然满足题设条件，而 f(x)=x2 在 x=0 处取得极小值，故选 D。【知识模块】 一元函数微分学二、填空题10 【正确答案】 2g (0)【试题解析】 由 g(x)在 x=0 处可导可知，g(x)在 x=0 处连续。又因为 g(x)是奇函数，所以 g(0)=0。根据导数的定义可得【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 4【试题解析】 由已知 =ff(x)f(x)， =f(一 1)f(0)，而 x1 时，f (x)=2，所以 f(一 1)=f(0)=2，代入可得 =4。【知
11、识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 2e 3【试题解析】 由题设知，f (x)=ef(x)，在此方程两边同时连续两次对 x 求导得 f (x)=ef(x)f(x)=e2f(x)， f (x)=2e2f(x)f(x)=2e2f(x)， 又 f(2)=1，故 f(2)=2e2f(2)=2e3。【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 【试题解析】 在方程两边对 x 求导得【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 y=一 x+【试题解析】 在点 处的切线的斜率为：k= ，在曲线方程两端分别对 x 求导，得【知识模块】
12、一元函数微分学16 【正确答案】 y= x+1【试题解析】 根据导数的定义可得 f(0)= ，所以曲线 f(x)在点(0， f(0)处的切线方程为 y= x+1。【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 3【试题解析】 根据题意 y=3x2+2ax+b，y =6x+2a。令 y=0，得 x= =一 1，所以 a=3。又因为曲线过点(一 1，0)，代入曲线方程，得 b=3。【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 y=【试题解析】 设所求斜渐近线方程为 y=ax+b。因为故所求斜渐近线方程为y= 。【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【
13、正确答案】 在 y=xxx 两端取对数得 lny=xxlnx，在该式两端同时对 x 求导，y=(xx)lnx+xx1 ，而(x x)=(elnxx)=elnxx(xlnx)=xx(lnx+1)，所以 =xx(lnx+1)lnx+xx1 xxx。【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 当一 2x0，即 0x+22 时，f(x)=kf(x+2)=k(x+2)(x+2) 2 一 4=kx(x+2)(x+4)。所以 f(x)在一 2，2上为 f(x)=【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 根据已知 f(0)=0。令 f (0)=f (0)，得k= 。即当
14、k= 时， f(x)在 x=0 处可导。【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 反证法，如果 f(x)在(0 ，)内无零点(或有一个零点，但 f(x)不变号，证法相同)，即 f(x) 0(或0)，由于在(0，)内，有 sinx0，因此，必有0f(x)sinxdx0(或0) 。这与假设相矛盾。 如果 f(x)在(0，)内有一个零点，而且改变一次符号，设其零点为 a(0，)，于是在(0，a)与(a，) 内 f(x)sin(x 一 a)同号，因此 0f(x)sin(x 一 a)dx0。但是，另一方面 0f(x)sin(x 一 a)dx=0f(x)(sinxcosa 一cosxsina)dx=
15、cosa0f(x)sinxdx 一 sina0f(x)cosxdx=0。 这个矛盾说明 f(x)也不可能在(0，) 内只有一个零点，因此它至少有两个零点。【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 要证明当 x(一 1，1) 时，arctanx= 恒成立，只需证明函数 f(x)=arctanx =0 在 x(一 1，1)上恒成立。分两步进行证明：(1)证明 f(x)为常值函数，即 f(x)=0，x( 一 1，1)；(2)在定义域内选取某一特殊点得到其常函数值。因为 f(x)=0，x(一 1，1)，故f(x)为常值函数。当 x=0 时，f(0)=0，即当 x(一 1，1)时，arctanx=
16、恒成立。【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 由已知 F(x)=a ax 一 tf(t)dt= a x(x 一 t)f(t)dt+xa(tx)f(t)dt =xa xf(t)dt 一 a xtf(t)dt+xatf(t)dt 一 xxaf(t)dt =xa xf(t)dt 一 a xtf(t)dt 一 axtf(t)dt+xaxf(t)dt， F (x)=a xf(t)dt+xf(x)一 xf(x)一 xf(x)+axf(t)dt+xf(x) =a xf(t)dtxaf(t)dt。 所以 f(x)=2f(x)0，因此 F(x)为单调增加的函数。【知识模块】
17、 一元函数微分学25 【正确答案】 因为 F(0)=a 0f(x)dx 一 0af(x)dx 且 f(x)为偶函数，所以 F(0)=0，又因为 f(0)0，所以 x=0 为 F(x)的唯一极小值点，也为最小值点，且最小值为 F(0)=a atf(t)dt=2 0atf(t)dt。【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 由 20atf(t)dt=f(a)一 a2 一 1，两边对 a 求导得 2af(a)=f(a)一 2a，于是 f (x)一 2xf(x)=2x，解得 f(x)= ，在 20atf(t)dt=f(a)一 a21 中，令 a=0，得 f(0)=1，则 C=2，于是 f(x)=
18、2ex2 一 1。【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 由已知得，令 y=0，得驻点x1=0， x2=一 1。列表由上表可知 f(0)= 为极小值，f(一 1)= 为极大值。以下求渐近线。由于=，所以此函数无水平渐近线；同理，函数图形也没有铅直渐近线。因此令综上知，函数图形的渐近线为 y=a1x+b1=e(x 一 2)及 y=a2x+b2=x 一 2，共两条。【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 在 4 两边同时取对数得2ln2。令 F(x)= 一 2ln2，则 F(1)=0。原命题等价于当 0x1 时，F(x)0 恒成立。对 F(x)求导，得当 0x1 时，(x)(0)=0，即 F(x)0，于是 F(x)F (1)=0，从而有 F(x)F(1)=0。命题得证。【知识模块】 一元函数微分学
