1、考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 60 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)= 则 f(x)在 x=0 处( )（A）极限不存在。（B）极限存在但不连续。（C）连续但不可导。（D）可导。2 设 f(x)可导，F(x)=f(x)(1+sin)，则 f(0)=0 是 F(x)在 x=0 处可导的( )（A）充分必要条件。（B）充分条件但非必要条件。（C）必要条件但非充分条件。（D）既非充分条件也非必要条件。3 设函数 f()可导，y=f(x 2)当自变量 x 在 x=一 1 处取得增量 x=一 01 时，相应的函数增量y 的线性主部为
2、01，则 f(1)等于( )（A）一 1。（B） 01。（C） 1。（D）05。4 对任意的 x(一，+) ，有 f(x+1)=f2(x)，且 f(0)=f(0)=1，则 f(1)=( )（A）0。（B） 1。（C） 2。（D）以上都不正确。5 设函数 f(x)在 R 上有界且可导，则( )6 设 f(x)在(0，+)二阶可导，且满足 f(0)=0，f (x)0(x0)，又设 ba 0，则axb 时恒有 ( )（A）af(x) xf(a)。（B） bf(x) xf(b)。（C） xf(x) bf(b)。（D）xf(x)af(a)。7 曲线 y=(x 一 1)2(x 一 3)2 的拐点个数为(
3、)（A）0。（B） 1。（C） 2。（D）3。8 设 f(x)具有二阶连续导数，且 f(1)=0， ，则( )（A）f(1)是 f(x)的极大值。（B） f(1)是 f(x)的极小值。（C） (1，f(1)是曲线 f(x)的拐点。（D）f(1)不是 f(x)的极值，(1，f(1)也不是曲线 f(x)的拐点。9 若 f(x)不变号，且曲线 y=f(x)在点(1，1)处的曲率圆为 x2+y2=2，则函数 f(x)在区间(1， 2)内( )（A）有极值点，无零点。（B）无极值点，有零点。（C）有极值点，有零点。（D）无极值点，无零点。二、填空题10 已知 y= ，则 y=_。11 设函数 f(x)=
4、1 x dt，则 y=f(x)的反函数 x=f1 (y)在 y=0 处的导数 y=0=_。12 设可导函数 y=f(x)由方程 0xy et2 dt=0xxsin2tdt 确定，则 =_。13 设 y=y(x)是由 =_。14 函数 y=ln(12x)在 x=0 处的 n 阶导数 y(n)(0)=_。15 曲线 tan(x+y+ )=ey 在点(0 ，0)处的切线方程为_。16 设 f(x)=0x2et2 dt，则 f(x)的极值为_，f(x)的拐点坐标为_。17 曲线 y= 的斜渐近线方程为_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 设 g(x)= 其中 f(x)在 x=0
5、处二阶可导，且 f(0)=f(0)=1。18 a、b 为何值时， g(x)在 x=0 处连续。19 a、b 为何值时， g(x)在 x=0 处可导。20 设 f(x)在( 一，+)内有定义，且对于任意 x 与 y 均有 f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，又设 f(0)存在且等于 a(a0)，试证明对任意的 x(一 ，+)，f (x)都存在，并求 f(x)。21 求函数 f(x)=x2ln(1+x)在 x=0 处的 n 阶导数。22 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 上可导，且 f(a)=f(b)=1，证明：必存在， (a，b)，使得 e f()+f()=1。22 已知曲线 L
6、的方程 。23 讨论 L 的凹凸性；24 过点(一 1，0) 引 L 的切线，求切点 (x0，y 0)，并写出切线的方程；25 求此切线与 L(对应于 xx0 的部分)及 x 轴所围成的平面图形的面积。26 设函数 y=y(x)由方程 ylny 一 xy=0 确定，试判断曲线 y=y(x)在点(1，1)附近的凹凸性。27 设 =1，且 f(x)0，证明 f(x)x(x0)。考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 60 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 显然 f(0)=0，对于极限是无穷小量， 为有界变量，故由无穷小量的运算性
7、质可知， =0。因此f(x)在 x=0 处连续，排除 A、B。又因为不存在，所以 f(x)在 x=0 处不可导，故选 C。【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 A【试题解析】 令 (x)=f(x)sinx，显然 (0)=0。由于 (0)=f(0)， (0)=一 f(0)。而由 (x)在 x=0处可导的充分必要条件是 (0)与 (0)都存在且相等可知，若 f(0)=0，则必有 (0)= (0)；若 (0)= (0)，即有 f(0)=一 f(0)，从而 f(0)=0。因此 f(0)=0 是(x)在 x=0 处可导的充分必要条件，也是 F(x)在 x=0 处可导的充分必要条件。故选A。【知识
8、模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 D【试题解析】 由微分的定义可知，函数 f(x)在 x0 点处的增量y 的线性主部即为函数 f(x)在该点处的微分 dy x=x0 =f(x0)x，所以有 01=y (一 1)x=一 01y (一 1)，即有 y (一 1)=一 1。 而且 y(一 1)=f(x2) x=1 =f(x2)2x x=1 =一 2f(1)， 因此f(1)=05，故选 D。【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(0)=1 可知 f(x)在 x=0 处连续。令 x=0，则 f(1)=f2(0)=1，且由导数的定义可得【知识模块】 一元函数微分学5 【
9、正确答案】 B【试题解析】 可以用反证法证明选项 B 是正确的。假设 f(x)=a0，则由拉格朗日中值定理可知，存在 ，使得 x 2x，所以当 x+ 时，+，有 f(2x)一 f(x)=f()x(x+)，但这与 f(2x)一 f(x)f(2x)+ f(x)2M 矛盾(f(x)M)。【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 B【试题解析】 将选项 A、B 分别改写成 于是，若能证明 或 xf(x)的单调性即可。 令 g(x)=xf(x)一 f(x)，则 g(0)=0，g (x)=xf(x)0(x0)，因此 g(x)0(x0)，所以有 0(x0)，故在(0 ，+) 内单调减小。因此当 axb
10、时， ，故选 B。【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 C【试题解析】 对于曲线 y，有 y=2(x 一 1)(x 一 3)2+2(x 一 1)2(x 一 3)=4(x 一 1)(x 一2)(x 一 3)，y =4(x 一 2)(x 一 3)+(x 一 1)(x 一 3)+(x 一 1)(x 一 2)=4(3x2 一 12x+11)，令 y=0，得 。又由 y=24(x 一 2)，可得 y(x1)0，y (x2)0，因此曲线有两个拐点，故选 C。【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 B【试题解析】 选取特殊函数 f(x)满足：f (x)= (x 一 1)2，取 f(x)= (x
11、 一 1)4，则f(x)满足题中条件，且 f(x)在 x=1 处取极小值，而其余均不正确。故选 B。【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 B【试题解析】 根据题意，f(x)是一个凸函数，因此 f(x)0，在点(1，1)处的曲率= ，而 f(1)=一 1，由此可得， f(1)=一 2。在闭区间1，2上，f(x)f(1)=一 10，即 f(x)单调减少，没有极值点。根据拉格朗日中值定理，对于f(2)一 f(1)=f()一 1，(1，2)，则 f(2)0，而 f(1)=10。由零点定理知，在1，2上，f(x)有零点。故应选 B。【知识模块】 一元函数微分学二、填空题10 【正确答案】 【试题
12、解析】 等式两边取对数，则有 lny= lnx+lnsinx+ ln(1 一 ex)，等式两边分别对 x 求导，有 整理得 y=【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 【试题解析】 由反函数的求导法则可知【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 一 1【试题解析】 0xy et2 dt=x0xsin2tdt，令 x=0，则 y(0)=0。方程两端同时对 x 求导，得 =0xsin2tdtxsin 2x，将 x=0，y(0)=0 代入上式，得 1+ =0。故 =一 1。【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 【试题解析】 由隐函数求导法则【知识模块】 一元函数微分学14 【
13、正确答案】 一 2n(n1)！(n=1 ，2，3，)【试题解析】 将 ln(1+t)按照泰勒公式展开成级数的形式 ln(1+t)=t 一，令 t=2x，可得 ，故 y=ln(12x)在 x=0 处的 n 阶导数为 y(n)(0)=一 2n(n 一 1)！(n=1，2，3，)。【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 y=一 2x【试题解析】 方程两边对 x 求导，可得 sec2(x+y+ )(1+y )=eyy ，即(0，0)点切线的斜率为一 2。因此点(0，0)处的切线方程为 y 一 0=(一 2)(x 一 0)，即 y=一 2x。【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 0；【
14、试题解析】 对 f(x)求导，f (x)=ex4 2x=0，得 x=0。当 x0 时，f (x)0；当x0 时，f (x)0。所以极小值点为 x=0，极小值为 f(0)=0。又因 f(x)=2ex4 (14x4)=0，可得 x= 。【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 y=x+【试题解析】 设所求斜渐近线为 y=ax+b，因为故所求斜渐近线方程为y=x+ 。【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 由题意 若要 g(x)在 x=0 处连续，必须 =g(0)，即 b=一 1。故 b=一 1，a 为任意实
15、数时，g(x)在 x=0 处连续。【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 若要 g(x)在 x=0 处可导，则必须 g(x)在 x=0 处连续(b=一 1)，且g (0)=g (0)，所以所以当 a= f(0)一 1，b=一 1 时，g(x)在 x=0 处可导。【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 将 x=y=0 代入 f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，得 f(0)=0，为证明 f(x)存在，则由导数定义，=f(x)+f(0)ex=f(x)+aex。所以对任意 x(一，+)，f (x)都存在，且 f(x)=f(x)+aex。解此一阶线性方程，得 f(x)= =ex(a
16、x+C)。又因 f(0)=0，得 C=0，即 f(x)=axex。【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 当 n=1 时，f (x)=2xln(1+x)+ ，则 f(0)=0；当 n=2 时，f (x)=2ln(1+x)+ ，则 f(0)=0；当 n2 时，利用莱布尼茨公式(x)(x)(n)= Cnk(k)(x)(nk) (x)。令 (x)=x2，(x)=ln(1+x)，则 =2x， =2， (n)=0(n3)，(n)= ，所以 f(n)(0)=Cn2(0)(n2) (0)= 2( 一1)n1 (n 一 3)！= 。【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 设 F(x)=exf(
17、x)，由已知 f(x)及 ex 在a，b上连续，在(a，b)内可导，均满足拉格朗日中值定理条件，因此存在 ，(a，b)，使得 F(b)一 F(a)=ebf(b)一eaf(a) =F()(ba) =ef()+f()(ba) 及 eb 一 ea=e(ba)。 将以上两式相比，且由f(a)=f(b)=1，整理后有 e f()+f()=1。【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 。当 t0 时，0，所以曲线 L 在 t0 时是凸函数。【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 切线方程为 y0=( 一 1)(x+1)。设 x0=t02+1，y 0=4t0 一 t
18、02，则4t0t 02=( 一 1)(t02+2)，即 4t02t 03=(2t 0)(t02+2)，整理得 t02+t0 一 2=0 或者(t 0 一1)(t0+2)=0，解之得 t0=1 或 t0=一 2，因为 t00，所以 t0=1。此时对应的点为(2，3)，进而可得切线方程为 y=x+1。【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 设 L 的方程为 x=g(y)，则 S=03g(y)一(y 一 1)dy。根据 t2 一4t+y=0 解得 。由于(2，3)在 L 上，因此可知 x= +1=g(y)。S= 03(9 一 y 一 )一(y 一 1)dy=03(10 一2y)dy 一 40
19、3 dy=(10yy2) 03+403 d(4 一 y)【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 要判断曲线 y=y(x)在点(1，1)附近的凹凸性，只需判断 y(x)在点(1，1)附近的正负。在方程 ylny 一 x+y=0 两边对 x 求导得 ylny+y一 1+y=0，上式两边对 x 求导得 ylny+ (y)2+2y=0，于是解得 y= ，显然(y )20，在点(1，1)附近，可选择一个合适的范围，如 ye 2 ，使得 y(2+lny)0，则在点(1，1)附近有 y0，所以曲线 y=y(x)在点(1，1) 附近是凸的。【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 由 =0，所以 f(0)=0(因为 f(x)存在，则f(x)一定连续)。且 f(0)= =1，f(x)在 x=0 展成一阶麦克劳林公式 f(x)=f(0)+f(0)x+ f()。因为 f(x)0，则 f()0，故 f(x)f(0)+f (0)x=x(x0)。【知识模块】 一元函数微分学
