1、考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 64 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)在区间(一 ，)内有定义，若当 x(一 ，)时，恒有|f(x)|x 2，则 x=0必是 f(x)的 ( )（A）间断点（B）连续，但不可导的点（C）可导的点，且 f(0)=0（D）可导的点，且 f(0)02 设 f(x)=f(一 x)，且在(0，+) 内二阶可导，又 f(x)0，f“(x)0，则 f(x)在(一，0)内的单调性和图形的凹凸性是 ( )（A）单调增加，凸（B）单调减少，凸（C）单调增加，凹（D）单调减少，凹3 曲线 当 x一时，它有斜渐近线 (
2、 )（A）y=x+1（B） y=一 x+1（C） y=一 x 一 1（D）y=x 一 14 当 x0 时，曲线 ( )（A）有且仅有水平渐近线（B）有且仅有铅直渐近线（C）既有水平渐近线，也有铅直渐近线（D）既无水平渐近线，也无铅直渐近线5 曲线 ( )（A）没有渐近线（B）仅有水平渐近线（C）仅有铅直渐近线（D）既有水平渐近线，也有铅直渐近线6 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且 f(0)=1，f(1)=0，则在(0，1)内至少存在一点 ，使 ( ) 7 f(x)=xex 的 n 阶麦克劳林公式为( ) 二、填空题8 曲线 的曲率及曲率的最大值分别为_9 曲线 的全部渐近线
3、为_10 曲线 上对应于点 处的法线方程是_11 设 则 y=_12 设 则 f“(0)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 设 T=cosn，=arccosx，求14 已知 y=x2sin2x，求 y(50)15 计算16 已知 f(x)是周期为 5 的连续函数，它在 x=0 的某邻域内满足关系式：f(1+sinx)一 3f(1 一 sinx)=8x+(x)，其中 (x)是当 x0 时比 x 高阶的无穷小，且 f(x)在 x=1 处可导，求 y=f(x)在点(6，f(6)处的切线方程17 设 其中 g(x)有二阶连续导数，且 g(0)=1，g(0)=一 1，求 f(x)
4、，并讨论 f(x)在(一 ，+) 内的连续性18 已知 f(x)=arctan x2，求19 设 f(t)具有二阶导数， 求 ff(x)，ff(x)20 设 求 y21 设函数 y=f(x)由参数方程 所确定，其中 (t)具有二阶导数，且已知 证明：函数 (t)满足方程22 设 求 y(n)(n1)23 设 y=sin4xcos4x，求 y(n)24 设 y=exsinx，求 y(n)25 设 求 y(n)(0)26 设 f(x)满足 求 f(x)27 设 试确定常数a，b，c，使 f(x)在=0 处连续且可导28 顶角为 60，底圆半径为口的正圆锥形漏斗内盛满水，下接底圆半径为 b(ba)的
5、圆柱形水桶(假设水桶的体积大于漏斗的体积)，水由漏斗注入水桶，问当漏斗水平面下降速度与水桶水平面上升速度相等时，漏斗中水平面高度是多少?29 防空洞的截面拟建成矩形加半圆(如图 121)，截面的面积为 5 平方米，问底宽 x 为多少时才能使建造时所用的边框材料最省? 考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 64 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由题意可知 f(0)=0， 故 f(0)=0【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 B【试题解析】 当 x0 时，f(x)0 f(x)在(0，+)内单调增加；f“(x) 0 f
6、(x)在(0，+) 内为凸曲线由 f(x)=f(一 x) f(x)关于 y 轴对称 f(x)在(一 ，0) 内单调减少，为凸曲线，选(B)【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 C【试题解析】 因此有斜渐近线 y=一 x1，应选(C)【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 A【试题解析】 由渐近线的求法可得正确选项【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 D【试题解析】 由渐近线的求法可得正确选项【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 A【试题解析】 设 F(x)=xf(x)，则 F(x)在0，1上满足罗尔定理的条件，故存在(0， 1)，使得 即 f()+f()=0，有
7、所以选(A) 选项(B)，(C)，(D)可用反例 f(x)=1 一 x 排除【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 B【试题解析】 因为 f(x)=xex，f(0)=0，f(x)=e x(1+x)，f(0)=1，f (n)(x)=ex(n+x)，f(n)(0)=n，f (n+1)(x)=ex(n+1+x)，f (n+1)(x)=ex(n+1+x)，依次代入到麦克劳林公式，即得(B) 【知识模块】 一元函数微分学二、填空题8 【正确答案】 【试题解析】 曲率故 k1，当 x=0 时，k max=k(0)=1【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 x=0； y=1【试题解析】 因为 则
8、 x=0 为铅直渐近线；则 为铅直渐近线； 则y=1 为水平渐近线【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 【试题解析】 由 知法线方程为整理可得【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 一 6【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 因为 =arccosx，当x1 -时，0，所以 【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 y (50)=(sin2xx2)(50) =(sin2x)(50)x2+50(sin2x)(49)(x2)+ (sin2x)
9、(48)x2“ 由于 所以 【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 此题为用导数定义去求极限，关键在于把此极限构造为广义化的导数的定义式 【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 求切线方程的关键是求斜率，因 f(x)的周期为 5，故在(6，f(6) 处和点(1 ，f(1) 处曲线有相同的斜率，根据已知条件求出 f(1) 则 4f(1)=8，f(1)=2，由 f(6)=f(1)=0，f(6)=f(1)=2，故所求切线方程为 y=2(x 一6)【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 当 x0 时，f(x)可导，且 显然，当 x0 时，f(x)连续 当 x=0时， 则 又因故
10、 f(x)在 x=0 处连续，从而 f(x)在(一 ，+) 内连续【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 由于故【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 令 则 f(t)=4t2，即 f(t)=4t2，f(x)=8x，由函数概念得 ff(x)=f(8x)=4(8x)2=256x2， ff(x)=ff(x)f(x)=8f(x)8x=32x 28x=256x3【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 两边取对数，得 两边同时对 x 求导，得 化简可得 x+yy=xy一 y，故【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 因为 【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 经
11、计算得 A=8B=一 1 故 【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 因 y=(sin2x+cos2x)(sin2xcos2x)=一 cos2x，则 【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 归纳可得 【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 当 x0 时，当 x=0 时，故对任意 x(一，+)，都有又 比较系数，得 【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 方程两边同时对 x 求导，得 原等式中x 换成 得 式两边同时对 x 求导，得 2 一，得【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 因为 又 f(0)=1，所以即 a=2， 及 c 为任意值时， f(x)在
12、 x=0 处连续 又因为 令 f-(0)=f+(0)，可得 时，f(0)存在 因此当 a=2， 时，f(x)在 x=0 处连续且可导【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 设在时刻 t，漏斗中水平面的高度为 h，水量为户，水桶中水平面的高度为 H，水量为 g(如图 121)，则 q=b2H 因为这两部分水量的总和应为开始漏斗盛满水时的水量，所以 两边对 t求导，得 因为下降的速度与上升的速度方向相反，所以 得 h2=3b2，故 时漏斗水平面下降速度与水桶水平面上升速度相等 【知识模块】 一元函数微分学29 【正确答案】 设截面周长为 S，矩形高为 y，则 由式解出 代入式，得 故唯一极值可疑点为 由问题的实际意义知，截面周长必有最小值，并且就在此驻点处取得，因此当底宽 x 为 米时，截面的周长最小，因而所用边框材料最省【知识模块】 一元函数微分学
