1、考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 65 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若 f(x)在开区间(a，b)内可导，且 x1，x 2 是(a，b)内任意两点，则至少存在一点，使下列诸式中成立的是 ( )（A）f(x 2)一 f(x1)=(x1 一 x2)f()，(a ，n)（B） f(x1)一 f(x2)=(x1 一 x2)f()， 在 x1，x 2 之间（C） f(x1)一 f(x2)=(x2 一 x1)f()，x 1 x 2（D）f(x 2)一 f(x1)=(x2 一 x1)f()，x 1x 22 在区间0 ，8 内，对函数 罗尔定理 ( )（A
2、）不成立（B）成立，并且 f(2)=0（C）成立，并且 f(4)=0（D）成立，并且 f(8)=03 函数 在 x= 处的 ( )（A）右导数（B）导数（C）左导数（D）右导数4 设函数 f(x)具有任意阶导数，且 f(x)=f(x)2，则 f(n)(x)= ( )（A）nf(x) n+1（B） n!f(x)n+1（C） (n+1)f(x)n+1（D）(n+1)!f(x) n+15 函数 ( )（A）只有极大值，没有极小值（B）只有极小值，没有极大值（C）在 x=一 1 处取极大值，x=0 处取极小值（D）在 x=一 1 处取极小值， x=0 处取极大值6 若 f(x)在 x0 点至少二阶可导
3、，且 则函数 f(x)在 x=x0处 ( )（A）取得极大值（B）取得极小值（C）无极值（D）不一定有极值7 设周期函数 f(x)在(一，+)内可导，周期为 4，又则曲线 y=f(x)在点 (5，f(5) 处的切线斜率为 ( )（A）（B） 0（C）一 1（D）一 2二、填空题8 设 y=ln(1+3-x)，则 dy=_9 设 其中 f 可导，且 f(0)0，则10 11 设 则 y=_12 设 则三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 试证明：曲线 恰有三个拐点，且位于同一条直线上14 求曲线 的斜渐近线15 求极坐标系下的曲线 的斜渐近线16 作函数 的图形17 求函数 y
4、=excosx 的极值18 设 f(x)可导，证明：f(x)的两个零点之间一定有 f(x)+f(x)的零点18 设函数 f(x)在(a，b上连续，在(a ，b)内可导，且 f(a)=f(b)=0求证：19 存在 (a，b) ，使 f()+f()=0；20 存在 (a，b)，使 f()+f()=021 设函数 f(x)在一 2，2上二阶可导，且|f(x)|1，又 f2(0)+f(0)2=4试证：在(一2，2)内至少存在一点 ，使得 f()+f“()=022 设函数 f(x)在闭区间a，b上连续(a，b0) ，在(a ，b) 内可导试证：在(a ，b)内至少有一点 ，使等式 成立23 设 f(x)
5、在 上具有连续的二阶导数，且 f(0)=0证明：存在 ，使得24 设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 上可导且 f(a)f(b)试证：存在 ,(a，b)，使得25 求曲线 y=ex 上的最大曲率及其曲率圆方程26 设一质点在单位时间内由点 A 从静止开始做直线运动至点 B 停止，A，B 两点间距离为 1，证明：该质点在(0，1)内总有某一时刻的加速度的绝对值不小于 427 设 f(x)在a，b上连续，ax 1x 2x nb，试证：在 (a，b)内存在 ，使得 28 设函数 f(x)在0，3上连续，在 (0，3)内可导，且 f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1试证：存在 (0
6、，3)，使 f()=028 设 f(x)，g(x) 在a，bk-阶可导，g“(x)0 ，f(a)=f(b)=g(n)=g(b)=0，证明：29 在(a，b)内，g(x)0 ；30 在(a，b)内至少存在一点 ，使考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 65 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由拉格朗日中值定理易知(A)，(C) 错， (B)正确，又由 x1 与 x2 的大小关系未知，故(D) 不正确【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)在0 ，8上连续，在(0，8)内可导，且 f(0)=
7、f(8)，故 f(x)在0，8上满足罗尔定理条件 令 得 f(4)=0，即定理中 可以取为 4【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 D【试题解析】 f(x)在 x= 处的左、右导数为： 因此 f(x)在 x= 处不可导，但有【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 B【试题解析】 由 f(x)=f(x)2 得 f“(x)一f(x)=f(x) 2=2f(x)f(x)=2f(x)3， 当n=1，2 时，f (n)=n!f(x)n+1 成立 假设 n=k 时，f (k)(x)=k!f(x)k+1 成立则当n=k+1 时，有 f(k+1)(x)=k!f(x)k+1=(k+1)!f(x)kf
8、(x)=(k+1)!f(x)k+2， 由数学归纳法可知，结论成立，故选(B)【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 C【试题解析】 令 f(x)=0，得 x=一 1，f(x)在 x=一 1 左侧导数为正，右侧导数为负，因此在 x=一 1 处取极大值；当 x=0 时，f(x)不存在，在 x=0 左侧导数为负，右侧导数为正，因此在 x=0 处取极小值【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 A【试题解析】 由于 则存在 0，当 01|x-x0| 时， 由于(xx 0)20，于是 f(x)一 f(x0)0，所以 f(x0)f(x)，x 0 为极大值点，故选(A) 【知识模块】 一元函数微分
9、学7 【正确答案】 D【试题解析】 因为函数 f(x)周期为 4，所以曲线在点(5，f(5) 处的切线斜率与曲线在点(1 ，f(1) 处的切线斜率相等，根据导数的几何意义，曲线在点(1，f(1) 处的切线斜率即为函数 f(x)在点 x=1 处的导数又 即f(1)=一 2【知识模块】 一元函数微分学二、填空题8 【正确答案】 【试题解析】 复合函数求导故 【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 2263【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 【试
10、题解析】 【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 令 y“=0，得 x1=一 1， 于是可列表如下 所以 A(一 1，一 1)， 均为此曲线的拐点，又因 所以这三个拐点在一条直线上【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 当 t1，t一 1 或 t时，都有 x 当 t1 时， 当 t一 1 时， 当 t时， 所以曲线 有三条斜渐近线，分别是 【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 写为参数方程形式 当且仅当 时，才有x，所以曲线至多有一条斜渐近线由于 所以曲线有斜渐近线【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 定义域
11、为 (一 ，0)(0，+)，无周期性无奇偶性 y=0 的根为 y“=0 的根为 x=一 1 列表 由表可知函数的极小值点在 处取得，拐点为(一 1，0) 铅直渐近线：无斜渐近线 作图(如图 122) 【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 y=e x(cosx 一 sinx)= 极值可疑点n=0，1，(均为驻点) 又 y“=一 2exsinx，当 时，y“ 0，所以 xk=2kn+ 为极大值点，极大值为 k=0，1，2，； 当 时，y“0，所以 为极小值点，极小值为 k=0，1，【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 构造辅助函数 F(x)=f(x)ex，由于 f(x)可导，故
12、 F(x)可导，设 x1 和x2 为 f(x)的两个零点，且 x1x 2，则 F(x)在x 1，x 2上满足罗尔定理条件，由罗尔定理，至少存在一点 (x1，x 2)，使得 F()=0，即 f()e+f()e=ef()+f()=0由于e0，因此必有 f()+f()=0所以 f(x)的两个零点之间一定有 f(x)+f(x)的零点【试题解析】 f(x)的两个零点 x1，x 2(不妨设 x1x 2)之间有 f(x)+f(x)的零点问题，相当于在(x 1，x 2)内有 f(x)+f(x)=0 的点存在的问题若能构造一个函数 F(x)，使F(x)=f(x)+f(x)(x)，而 (x)0，则问题可以得到解决
13、由(e x)=ex 可以得到启发，令 F(x)=f(x)ex【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 设 (x)=xf(x)，则 (x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 (a)=(b)=0，由罗尔定理得，存在 (a，b)，使 ()=0，即 f()+f()=0【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 设 则 F(x)在a，b)上连续，在(a，b)内可导，且 F(a)=F(b)=0，由罗尔定理得，存在 (a，b)，使即 f()+f()=0【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 根据拉格朗日中值定理有 f(0)一 f(-2)=2f(1)，一 2
14、10， f(2)一 f(0)=2f(2)，0 22 由|f(x)|1 知令 (x)=f2(x)+f(x)2，则有 (1)2，( 2)2 因为 (x)在 1， 2上连续，且 (0)=4，设(x)在 1， 2上的最大值在点 1， 2 (一 2，2)处取到，则 ()4，且 在1， 2上可导，由费马定理有 ()=0，即 2f()f()+2f()f“()=0 因为|f(x)|1，且 ()4，所以 f()0，于是有 f()+f”()=0，(一 2，2)【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 令 F(x)与 G(x)在区间a，b上连续，在(a ，b)内可导，且 满足柯西中值定理的三个条件于是在(a，
15、 b)内至少有一点 ，使得 【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 因 f(x)和 g(x)=cos2x 在 上连续，在 内可导，且 g(x)=(cos 2x)=一 2sin 2x0， 故由柯西中值定理知，存在使得 即 因 f(x)在上具有连续的二阶导数，故存在 使得 再由 f(0)=0 知 由式和式知 取则 式可以写成 其中， ，【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 由拉格朗日中值定理知 f(b)一 f(a)=f()(b 一 a)， (a，b)，又由柯西中值定理知 所以则 即【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 由 y=ex，y“=e x 得曲线 y=ex 上任意
16、点 P(x，y)处的曲率 令 得唯一的驻点因当 时， 当 时，故 为曲率 K=K(x)的极大值点，亦是最大值点，且其最大曲率为 其中，当 时，且曲线 y=ex 上具有最大曲率的点(x0，y(x 0)处的曲率圆的曲率半径 则曲率圆的圆心( ，) 为 所以它的曲率圆方程为【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 设质点运动的距离 y 关于时间 t 的函数为 y=y(t)，0t1 ，则有 y(0)=0，y(1)=1，y(0)=0，y(1)=0 在 t=0 与 t=1 处的一阶泰勒展开式分别为 若 则由上述式得 y“(1)4；若 由上述式得 y“(2)一 4证毕【知识模块】 一元函数微分学27
17、【正确答案】 因为 f(x)在a ，b上连续，所以 mf(x)M，其中 m，M 分别为f(x)在a，b上的最小值和最大值则对于任意 xa，b有 mf(x 1)M， mf(x 2)M， +mmf(x1)+f(x2)+f(xn)nM，故由介值定理可知存在 (a，b)，使得 【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 函数 f(x)在0 ，3上连续，则 f(x)在0，2上连续，那么其在0，23 上必有最大值 M 和最小值 m，于是 mf(0)M，mf(1)M，mf(2)M， 由介值定理知，至少存在一点 (0，2)，使得 于是便有 f()=1=f(3)，满足罗尔定理条件，于是存在 (，3) (0，
18、3)，使 f()=0【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学29 【正确答案】 反证法设存在一点 c(a，b)，且 g(c)=0 由 g(a)=g(c)=g(b)=0，g(x) 在a，c，c，b上分别运用罗尔定理可得 g()=g()=0， 其中 1(a，c)，2(c， b)对 g(x)在 1， 2上运用罗尔定理，可得 g“(3)=0，其中 3(1， 2)，与已知 g“(x)0 矛盾，故得证【知识模块】 一元函数微分学30 【正确答案】 令 F(x)=f(x)g(x)一 f(x)g(x)，则有 F(a)=0，F(b)=0F(x) 在a，b上运用罗尔定理，可知存在 (a，b)，使【知识模块】 一元函数微分学
