1、考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 66 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)与 g(x)在(a，b)上可导，考虑下列叙述：若 f(x)g(x)，则 f(x)g(x)；若 f(x)g(x)，则 f(x)g(x) 则 ( )（A），都正确（B） ，都不正确（C） 正确，但不正确（D）正确，但 不正确2 两曲线 与 y=ax2+b 在点 处相切，则 ( ) 3 关于函数 y=f(x)在点 x0 的以下结论正确的是 ( )（A）若 f(x0)=0，则 f(x0)必是一极值（B）若 f“(x0)=0，则点(x 0，f(x 0)必是曲线 y=f
2、(x)的拐点（C）若极限 存在(n 为正整数)，则 f(x)在 x0 点可导，且有 （D）若 f(x)在 x0 处可微，则 f(x)在 x0 的某邻域内有界4 设函数 则 f(x)在 x=0 处 ( )（A）不连续（B）连续，但不可导（C）可导，但导数不连续（D）可导，且导数连续5 设 f(x)可导，F(x)=f(x)(1+|sinx|)，若使 F(x)在 x=0 处可导，则必有( )（A）f(0)=0（B） f(0)=0（C） f(0)+f(0)=0（D）f(0)一 f(0)=06 设 a 为常数， 则 f(x)在区间(一，+) 内的零点个数情况为 ( )（A）当 a 0 时 f(x)无零点
3、，当 a0 时 f(x)恰有一个零点（B）当 a0 时 f(x)恰有两个零点，当 a0 时 f(x)无零点（C）当 a0 时 f(x)恰有两个零点，当 a0 时 f(x)恰有一个零点（D）当 a 0 时 f(x)恰有一个零点，当 a0 时 f(x)无零点二、填空题7 落在平静水面的石头，产生同心波纹，若最外一圈波半径的增大率总是 6 ms ，问在 2 s 末扰动水面面积的增大率为_m 2s8 p(x)为二次三项式，要使得 ex=p(x)+o(x2)(x0) ，则 p(x)=_9 设 则10 设函数 y=y(x)由方程 ex+y+cosxy=0 确定，则11 设 则三、解答题解答应写出文字说明、
4、证明过程或演算步骤。12 设 f(x)，g(x) 在a，b 上二阶可导，且 f(a)=f(b)=g(a)=0，证明：存在 (a，b)，使 f“()g()+2f()g()+f()g“()=013 若 x一 1，证明：当 01 时，有(1+x) 1+x13 设 x(0，1)，证明：14 (1+x)ln2(1+x)x 2；15 16 求证：当 x0 时，(x 2 一 1)lnx(x 一 1)217 证明： 其中18 设函数 f(x)在(一，+)内二阶可导，且 f(x)和 f“(x)在(一，+) 内有界，证明：f(x)在(一， +)内有界19 证明：函数 f(x)在 x0 处可导的充要条件是存在一个关
5、于x 的线性函数 L(x)=ax，使19 已知 f(x)二阶可导，且 f(x)0，f(x)f“(x)一f(x) 20(xR)，证明：20 f(x1)f(x2)21 若 f(0)=1，则 f(x)ef(0)x22 设 f(x)在闭区间0，c上连续，其导数 f(x)在开区间(0，c)内存在且单调递减，f(0)=0试证明：f(a+b)f(a)+f(b)，其中常数 a， b 满足条件 0aba+bc23 证明：当 x0 时，有24 证明：当 0a b 时，bsin b+2cos b+nbasina+2cosa+a25 证明：当 x0 时，不等式 成立26 证明：当 时，不等式 成立27 若函数 f(x
6、)在(0，+)上有定义，在 x=1 处可导，且对于任意的正数 a，b 总有f(ab)=f(a)+f(b)，证明：f(x)在(0，+) 上处处可导，且27 设 f(x)在 x0 处 n 阶可导，且 f(m)(x0)=0(m=1，2，n 一 1)，f (n)(x0)0(n2)，证明：28 当 n 为偶数且 f(n)(x0) 0 时，f(x)在 x0 处取得极大值；29 当 n 为偶数且 f(n)(x0) 0 时，f(x)在 x0 处取得极小值30 设 f(x)在 x0 处 n 阶可导，且 f(m)(x0)=0(m=1，2，n 一 1)，f (n)(x0)0(n2)，证明：当 n 为奇数时，(x 0
7、，f(x 0)为拐点考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 66 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 考虑 f(x)=e-x 与 g(x)=一 e-x，显然 f(x)g(x)，但 f(x)=一 e-x，g(x)=e -x，f(x)g(x) ，不正确将 f(x)与 g(x)交换可说明不正确【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 A【试题解析】 因两曲线相切于点 故相交于该点将 x=2， 代入y=ax2+b 中得 又因为相切于该点，故切线斜率相等，即导数相等，所以 得 故【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 D【试题
8、解析】 (A) 不一定，反例： f(x)=x3，f(0)=0 ，但=0 是非极值点；(B)不一定，需加条件：f“(x)在 x0 点两侧异号；(C)项所给的只是必要条件，即仅在子列上收敛，这是不充分的【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 C【试题解析】 由知 则不存在【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 A【试题解析】 由于 同理，要求 F+(0)=F-(0)，可得(A) 【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查一元函数微分学的应用，讨论函数的零点问题 令由于 e-x0，故 g(x)与 f(x)的零点完全一样，又当且仅当 x=0 时等号成立，故 g(
9、x)严格单调递增，所以 g(x)至多有一个零点，从而 f(x)至多有一个零点 当 a0 时，f( 一 co)0，f(+)0，由连续函数零点定理，f(x)至少有一个零点，所以 f(x)恰有一个零点 当 a0 时，f(x)无零点【知识模块】 一元函数微分学二、填空题7 【正确答案】 144【试题解析】 设在 t 时刻最外圈波的半径为 r(t)，扰动水面面积为 s(t)，则 s(t)=r2(t)，故 s(t)=2r(t)r(t)，由题知 r(t)=6，r(t)=6t，所以 s(2)=2r(2)6=144(m 2s)【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 【试题解析】 设 p(x)=ax2+bx
10、+c，由题意知，当 x0 时，e x 一 p(x)=o(x2)，由于ex=1+x+ +o(x2)于是 ex-p(x)=(1-c)+(1-b)x+ +o(x2)故有 1 一 c=0，1 一b=0， 即 b=1c=1 于是【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 0【试题解析】 因为 所以【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 【试题解析】 方程两边同时对 x 求导，得 解得【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 【试题解析】 故【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 令 F(x)=f(x)g(x)，在 x=a 处利用泰
11、勒公式展开，有 F(x)=F(a)+F(a)(x 一 a)+ F“()(x 一 a)2(ax) 令 x=b，代入式 ，得 F(b)=F(a)+F(a)(b 一a)+ F“()(b 一 a)2(a b) 因 f(a)=f(b)=g(a)=0，则 F(a)=F(b)=0，且 F(a)=0，代入式，得 F“()=0，即 f“()g()+2f()g()+f()g“()=0 【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 令 f(x)=(1+x)则有 f(x)=(1+x)-1，f“(x)=( 一 1)(1+x)-2，由 f(x)的泰勒展开式 可知当 x-1 ，0 1 时， ( 一 1)0，1+0，故 所
12、以 f(x)f(0)+f(0)x，即 (1+x) 1+x【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 令 (x)=x2 一(1+x)ln 2(1+x)，有 (0)=0，且 (x)=2xln 2(1+x)一2ln(1+x)，(0)=0 当 x(0，1)时， 则 (x)单调递增从而 (x)(0)=0 ，则 (x)单调递增，则 (x)(0)=0，即(1+x)ln2(1+x)2【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 令 x(0，1，则有 由(1)得，当 x(0，1)时，f(x)0，知 f(x)单调递减，从而 又因为 且 f(x)单调递减，则 所以 【知识模块】 一
13、元函数微分学16 【正确答案】 设 f(x)=(x2 一 1)lnx 一(x 一 1)2，所以 f(1)=0 又因为f(1)=0，且 当 0x1 时，f“(x)0，知f“(x)单调递减，则 f“(x)f“(1)=20，从而 f(x)单调递增，故 f(x)f(1)=0，所以f(x)单调递减，知 f(x)f(1)=0原式成立 当 x1 时，f“(x)0，知 f(x)单调递增，则 f(x)f(1)=0，从而 f(x)单调递增，故 f(x)f(1)=0原式成立【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 要证 成立即证明令 只需证明 f(x)1由 f(0)=1，只需证 设 有 g(0)=0，且 因此
14、，当 时，g(x) 0，g(x) 0，即 f(x)0，f(x)1，得证【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 存在正常数 M0，M 2，使得对任意的 X(一，+)，恒有 |f(x)|M0，|f“(x)|M 2 由泰勒公式，有 其中 介于 x 与 x+1 之间，整理得 所以 |f(x)|f(x+1)|+|f(x)|+ |f“()|2M0+ 因此函数 f(x)在(一 ，+)内有界【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 必要性 若 f(x)在点 x0 处可导，则 f(x)在点 x0 处可微，由可微的定义知， f(x 0+x)一 f(x0)=x+o(x)(其中 为常数 )，取 L(x)
15、=x，则 充分性 若存在 L(x)=x(其中 为常数)使 则故有 f(x0+x)一 f(x0)一 L(x)=o(x)即 f(x0+x)一 f(x0)=x+o(x)，所以 f(x)在点 x0 处可导【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 记 g(x)=lnf(x)，则故 即【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 由泰勒展开式，有即 f(x)ef(0)x【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 方法一 用拉格朗日中值定理 当 a=0 时，等号成立 当 a0 时，因 f(x)在区间0，a及b，a+b上满足拉格朗日中值定理，所以存在 1(0，a)， 0
16、(b， a+b)， 1 2，使得 |f(a+b) 一 f(b)一f(a)一 f(0)=af(2)一 af(1) 因为 f(x)在(0， c)内单调递减，所以 f(2)f(1)，于是 f(a+b)一 f(b)一f(a)一 f(0)0， 即f(a+b)f(a)+f(b) 方法二 用函数的单调性 将 f(a+b)一 f(b)一 f(a)中的 b 改写为x，构造辅助函数 F(x)=f(a+x) 一 f(x)一 f(a)，x0， b， 显然 F(0)=0，又因为 f(x)在(0，c)内单调递减，所以 F(x)=f(a+x) 一 f(x)0， 于是有 F(b)F(0)=0，即 f(a+b)一f(b)一 f
17、(a)0，即 f(a+b)f(a)+f(b)【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 方法一 用拉格朗日中值定理 函数 f(t)=lnt 在x，1+x上满足拉格朗日中值定理，所以存在 (x，1+x)，使得 因为 0 于是有 即 方法二 用函数的单调性 令 因为 所以 F(x)在(0，+)上单调递减，又 因此对一切 x(0，+)，恒有 F(x)0，即【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 令 F(x)=xsinx+2cosx+x，只需证明 F(x)在(0，)上单调递增F(x)=sinx+xcosx 一 2sinx+=+xcosxsinx，由此式很难确定 F(x)在(0，)上的符号，
18、为此再求二阶导，有F“(x)=一 xsinx0，x(0，) ，即函数 F(x)在(0 ，)上单调递减，又 F()=0，所以F(x)0，x (0，) ，于是 F(b)F(a) ，即bsin b+2cos b+basin a+2cos a+a【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 构造辅助函数 则 f(0)=0，且 由题设条件很难确定的符号，但是 所以从而，当 x0 时， 即【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 当 而 cosx0，所以不等式成立 当 时，构造辅助函数 则 上式中，当时，但是 2xcosx2sinx+x3 的符号无法直接确定为此，令 g(x)=2xcosx 一 2
19、sinx+x3，则 g(0)=0，且 g(x)=x2+2x(xsinx)0，所以，当时， g(x)=2xcosx 一 2sinx+x30 从而，当 时，又 所以，当时， 即【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 由于 f(ab)=f(a)+f(b)，令 a=b 一 1，则 f(1)=0于是 即 对于任意的正数 x，在 f(ab)=f(a)+f(b)中，取 a=x，ab=x+，也就是取 于是 这就证明了 f(x)在(0，+)上处处可导，且有【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 n 为偶数，令 n=2k，构造极限 当 f(2k)(x0)0 时，由极限保号性可得 即 f(x)f(x 0)，故 x0 为极大值点；【知识模块】 一元函数微分学29 【正确答案】 当 f(2k)(x0)0 时，由极限保号性可得 即 f(x)f(x 0)，故 x0 为极小值点【知识模块】 一元函数微分学30 【正确答案】 n 为奇数，令 n=2k+1，构造极限 当 f(2k+1)(x0)0 时， 则 xx +时，f“(x)0；xx -时，f“(x)0，故(x 0，f(x 0)为拐点当 f(2k+1)(x0)0 时，同理可得 (x0，f(x 0)为拐点【知识模块】 一元函数微分学
