1、考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 44 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 记 P -11ln d ，Q -11(3cose )d，R ，则( ) （A）PQR（B） QR P（C） QP R（D）RP Q2 (1)下列广义积分收敛的是( ) （A） 1 ed（B）（C）（D） -1e d3 下列广义积分发散的是( )（A）（B）（C）（D）二、填空题4 设封闭曲线 L 的极坐标方程为 rcos3( )，则 L 所围成的平面图形的面积为_5 区域 D：( 2y 2)22y 2 所围成的面积为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 计
2、算积分7 证明： 01m(1) nd 01n(1) md，并用此式计算 01(1) 50d8 设 f() ，求 02f()d 9 设 f() ，求 13f(2)d 10 设 f()arcsin(1) 2 且 f(0)0，求 I 01f()d11 设 f(u)是连续函数，证明： 0f(sin)d 0f(sin)d，并求12 设 f()在区间 0，1上可积，当 01 时，f()f(y) arctanarctany，又 f(1)0，证明： 01f()d ln213 证明： ，其中 a0 为常数14 证明：15 设 f()，g()为a，b 上连续的增函数(0ab)，证明： abf()dabg()d(b
3、a)abf()g()d16 设 f()在0，1上可导，且f()M，证明：17 设函数 f()在0 ，2上连续可微， f()0，证明：对任意正整数 n，有 02f()sinnd f(2)f(0) 18 设 f()在(，)上是导数连续的有界函数， f()f()1，证明：f()119 设 f()在a，b上二阶可导，且 f()0，证明： abf()d f(a)f(b)20 已知 f()在 0，2上二阶连续可微，f(1)0，证明： 02f()d ，其中 Mf() 21 计算曲线 y (0)的弧长22 设 D(，y)01，0y1 ，直线 l：y t(t0) ，S(t)为正方形区域 D 位于 l 左下方的面
4、积，求 0S(t)dt(0)23 求曲线 y2e (0)与 轴所围成的图形的面积24 设 f()是( ，)上的连续非负函数，且 f()0(t)dtsin 4，求 f()在区间0， 上的平均值25 设抛物线 ya 2bc(a 0) 满足：(1)过点(0，0)及(1，2)；(2)抛物线ya 2bc 与抛物线 y 22 所围图形的面积最小，求 a，b，c 的值26 设 f() 1 (1t)dt(1)，求曲线 yf()与 轴所围成的平面区域的面积27 求曲线 ye (0)绕 轴旋转一周所得延展到无穷远的旋转体的体积28 设由 y 轴、y 2(0)及 ya(0a1) 所围成的平面图形及由 ya ，y 2
5、 及1 所围成的平面图形都绕 轴旋转，所得旋转体的体积相等，求 a29 设曲线 ya (a0) 与曲线 y ln 在点( 0，y 0)处有公共的切线，求： (1)常数 a 及切点坐标； (2)两曲线与 轴所围成的平面图形绕 轴旋转所得旋转体的体积考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 44 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 A【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 B【知识模块】 一元函数积分学二、填空题4 【正确答案】 【试题解析】 曲线所围成的平面图形的面积为【知识模块】 一元函数积
6、分学5 【正确答案】 1【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 02f()d 02f()d() -f()d -0f()d 0f()d -0(1)d 0sind sind0【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 由 f(0)0 得 f() 0arcsin(t1) 2dt，则 01f()df() arcsin(1) 2d f(1) 01(1)1arcsin(1) 2d f(1) 01arcsin(1
7、) 2d(1) 2 01arcsin(1) 2d 01arcsin(1) 2d(1) 2 10arcsind 01arcsind 【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 I 0f(sin)d 0(t)f(sint)(dt) 0f(sint)dt 0tf(sint)dt 0f(sin)d 0f(sin)d 0f(sin)dI， 则 0f(sin)d 0f(sin)d【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 由f()f()f(1)arctanarctan1arctan 得【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 【知识模块】 一元
8、函数积分学15 【正确答案】 令 F(，y)f() f(y)g() g(y)，D (，y)ab ，ayb，因为 f()，g()在a，b 上为增函数，所以 F(，y)0，从而 abdabF(，y)dy0， 而abdabF(，y)dy abdabf()g()f()g(y)f(y)g()f(y)g(y)dy (ba) abf()g()d abf()dabg(y)dy abg()dabf(y)dy(ba) abf(y)g(y)dy 2(ba) abf()g()d2 abf()dabg()d， 故 abf()dabg()d(ba) abf()g()d【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 【知识
9、模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 因为 f()0，所以 f(0)f(2)，从而 f(2)f(0)0【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 因为 f()有界，所以 e f()0， 于是e f() e f()d， 即e f() e f()f()d ，两边取绝对值得 e f() e f()f()d e de ，故f() 1【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 令 () af(t)dt f()f(a)，(a)0，因为 f()0，所以f()单调递减，从而 ()0(a b) 由 得 ()0(ab) 于是 (b)0，故 abf()d f(a)f(b)【知识模块】 一元函数积分学20
10、 【正确答案】 由泰勒公式得 f()f(1)(1) (1) 2，其中 位于 1 与 之间，积分得 02f()d 02f()(1) 2d， 则【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 所围成的面积为 A 0 2e d2(1)2【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 0f(t)dt 0f(u)(du) 0f(u)du， 由 f()0f(u)dusin 4 得(0f(u)du)22sin 4， ( 0f(u)du)2 02sin4dC，取 0 得 C0，即( 0f(u)du)2 02sint
11、4dt 取 ，则从而 0f()d ，f()在0 ，上的平均值为【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 由 ya 2bc 过点(0，0)及(1，2)得 则ya 2(2 a) 令 a2(2a) 22 得 0 及 所围成的图形面积为得 a3， 且当 a3 时，S(a)0；当 a3 时，S(a)0， 故当 a3 时，所围成的面积最小，此时 a3，b5，c 0【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 当10 时，当 0 时， 故所求的面积为 A【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学29 【正确答案】 (1)由 得 a ，切点坐标为(e 2，1) (2)所求体积为 VV 1V 2，【知识模块】 一元函数积分学
