1、考研数学二（中值定理与一元函数微分学的应用）模拟试卷 3 及答案与解析一、填空题1 设函数 yf() 由方程 y2lny 4 所确定，则曲线 yf() 在(1 ，1)处的法线方程为_2 设周期为 4 的函数 f()处处可导，且 ，则曲线yf()在( 3，f( 3)处的切线为_3 设曲线 yln 与 yk 相切，则公共切线为_4 曲线 在点(0，1)处的法线方程为_5 曲线 re 在 处的切线方程为 _二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 设 ba0 ，证明：7 证明：8 证明方程 pqcos 0 有且仅有一个实根，其中 p，q 为常数，且 0q19 证明方程 ln 在(0，)内
2、有且仅有两个根10 设 k0，讨论常数 k 的取值，使 f()ln k 在其定义域内没有零点、有一个零点及两个零点11 设 f() ，讨论 f()的单调性，凹凸性，拐点，水平渐近线12 设 f()在a，b上连续，在(a ，b)内可导(a0)，且 f(a)0证明：存在 (a，b)，使得 f() f()13 设 f()在a，b上连续，在(a ，b)内可导，且 f(a)f(b)0，证明：(1)存在 (a，b)，使得 f()2()(2)存在 (a，b) ，使得 f()f() 014 设 f()在1，2上连续，在(1，2)内可导，证明：存在 (1，2)，使得 f()f() f(2) 2f(1)15 设
3、f()在1，2上连续，在(1，2)内可导，且 f()0，证明：存在， (1，2)，使得16 证明：当 1 时，17 证明：当 0 时，arctan 18 证明：当 0 1 时，19 当 0 时，证明： sin 20 设 f()在0，1上连续，且 f()1，证明：2 0f(t)dt1 在(0，1)有且仅有一个根21 求曲线 y 的上凸区间22 求曲线 y 的斜渐近线23 求 yf() 的渐近线24 证明：当 0 时，25 设 0a 1，证明：方程 arctana 在(0 ，)内有且仅有一个实根26 设 f()在a，b上连续，在(a ，b)内可导(a0)，证明：存在 (a，b)，使得 f(b)f(
4、a)f()ln 考研数学二（中值定理与一元函数微分学的应用）模拟试卷 3 答案与解析一、填空题1 【正确答案】 y 2【试题解析】 y2lny 4 两边对 求导得 将1，y1 代入得 1， 故曲线 yf()在点(1，1)处的法线为y1(1)，即 y2【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用2 【正确答案】 y24【试题解析】 由 得 f(1)2， 再由得 f(1)2， 又 f(3)f( 4 1)f(1)2，f( 3)f(41)f(1)2， 故曲线yf()在点( 3，f(3) 处的切线为 y22(3)，即 y24【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用3 【正确答案】 y 1【试题解析】
5、 设当 a 时，两条曲线相切，由 得 ae 2 两条曲线的公其切线为 ylne 2 (e 2)，整理得切线为 y 1【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用4 【正确答案】 y21【试题解析】 在点(0，1)处 t0，则对应点处法线的斜率为2 所以法线方程为 y12(0)，即 y21【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用5 【正确答案】 y 【试题解析】 当 时，0，y k 1，所求切线方程为 y【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 【正确答案】 (ab)(lnb lna) 2(ba) 0令 ()(a )(ln lna)2(
6、 a)，(a)0， ()lna 1，(a) 0， ()0(a) 由 得 ()0(a) ， 再由 得 ()0( a)，所以 (b)0，原不等式得证【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用7 【正确答案】 令 f()ln( )0，得 0，因为 f() 0，所以 0 为 f()的最小值点，最小值为 f(0)0，所以有 1ln【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用8 【正确答案】 今 f()pqcos，因为 f()1qsin0，所以 f()在(， )上单调增加 又因为 f() ， f() 所以 f()有且仅有一个零点，即原方程有且仅有一个实根【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用9 【
7、正确答案】 ， 令 f()ln ， 令f() 0， 得 e，因为 f(e) ，所以 f(e) 0 为 f()的最大值 又因为 f() ， f()， 所以 f()0 在(0，)内有且仅有两个实根【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用10 【正确答案】 f() 的定义域为(0，)， f()k， f() 由 f()ln10，得驻点为 ，由 f() 0，得 为 f()的极小值点，也为最小值点，最小值为 (1)当 k 时，函数 f()在(0，)内没有零点； (2)当 k 时，函数 f()在(0，)内有唯一零点 ； (3)当 0k，函数 f()在(0 ，)内有两个零点，分别位于(0， )与( ，)内
8、【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用11 【正确答案】 因为 f() 0，所以 f()在(，) 上单调增加 因为f() ，当 0 时，f()0；当 0 时，f() 0，则 yf()在(， 0)的图形是凹的，yf()在(0，) 内是凸的， (0，0)为 yf()的拐点 因为 f() f()，所以 f()为奇函数 由为曲线 yf() 的两条水平渐近线【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用12 【正确答案】 令 ()(b) af()，显然 ()在 a，b上连续，在(a，b)内可导，因为 (a)(b)0，所以由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 ()0， 由 ()(b )a-1(b)f()
9、af()得 (b) a-1(b)f()af() 且(b) a-10，故 f()f()【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用13 【正确答案】 (1)令 () f()，因为 f(a)f(b) 0，所以 (a)(b)0， 由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 ()0， 而 () f()2f() 且0，故 f()2f() (2)令 ()f() ，因为 f(a)f(b) 0，所以 (a)(b)0， 由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 ()0， 而 ()f() f()，故 f()f()0【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用14 【正确答案】 令 () ， 则 ()在1，2上连续，在(1，2)
10、内可导，且 (1)(2)f(2) f(1)， 由罗尔定理，存在 (1，2) ，使得 ()0， 而 () ，故 f()f()f(2)2f(1)【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用15 【正确答案】 令 F()ln ，F() 0，由柯西中值定理，存在 (1，2)，使得 由拉格朗日中值定理得 ln2lnl .(21) ，其中 (1，2)， F(2)F(1)f()(21)f()，其中 (1，2)， 故【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用16 【正确答案】 令 f()(1)ln(1) ln ，F(1)2ln2 0， 因为 f()ln(1)1ln1ln(1 )0(1) ， 所以 f()在1
11、，)上单调增加， 再由 f(1)2ln20 得当 1 时，f() 0，即【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用17 【正确答案】 令 f()arctan ， 因为 f() 0(0)，所以f()在(0 ，)内单调递减， 又因为 ，所以 f() ，即 arctan【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用18 【正确答案】 令 f()(1)ln(1) arcsin，f(0)0， f()ln(1) arcsin0(01)， 由 得当01 时， f()0， 故【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用19 【正确答案】 令 f()sin，f(0) 0 f()1cos0(0 )， 由得 f()
12、0(0 即当 0 时，sin ； 令g()sin ，g(0)0，g( )0 由 g()sin0(0 )得 g()在(0，)内为凸函数 由 得 g()0(0 )，即当0 时， sin， 故当 0 时， sin【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用20 【正确答案】 令 ()2 01，(0)1，(1)1 01f(t)dt， 因为 f()1，所以 01f(t)dt1，从而 (0)(1)0， 由零点定理，存在 c(0，1)，使得 (c)0 因为 ()2f()0，所以 ()在0，1上单调增加，故方程 2 0f(t)dt1 有且仅有一个根【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用21 【正确答案】
13、 由 y0 得(3) 210，解得 24， 故曲线 y 的上凸区间为(2， 4)【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用22 【正确答案】 由 11得 曲线 y 的斜渐近线为 y211【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用23 【正确答案】 因为 f() ，所以 yf()没有水平渐近线， 由 f()得 0 为铅直渐近线， 由 f()得 2 为铅直渐近线，得 y3 为斜渐近线【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用24 【正确答案】 令 (t)ln(t)，由拉格朗日中值定理得 ln(1 )ln(1)ln(1)(0)() (01)，【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用25 【正确答案】 令 f()arctan a ，由 f() a0 得 ， 由 f() 0 得 f()的最大值点， 由 f()，f(0)0 得方程 arctana 在(0，)内有且仅有唯一实根，位于(，)内【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用26 【正确答案】 令 F()ln ，F() 0， 由柯西中值定理，存在 (a，b)，使得 即 ，整理得 f(b)f(a)f()ln 【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用
