1、2010 年陕西省教师公开招聘考试（中学数学）真题试卷及答案与解析一、选择题1 将一副三角板按如图方式叠放，则 等于( )（A）30（B） 45（C） 60（D）752 为得到函数 的图像，只需将函数 y=sin2x 的图像( )（A）向左平移 个长度单位（B）向右平移 个长度单位（C）向左平移 个长度单位（D）向右平移 个长度单位3 在一个不透明的袋子中装有 4 个除颜色外完全相同的小球，其中白球 1 个，黄球1 个，红球 2 个，摸出一个球不放回，再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是( )4 方程 的解为( )（A）0（B） 1（C） 2（D）5 如图，数轴上 A、B 两点表示的数分别为-
2、1 和 ，点 B 关于点 A 的对称点为c，则点 C 所表示的数为( )6 设 则7 已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的一个动点，则点 P 到点 A(0，2) 的距离与点 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )8 定义两种运算： ，则函数为( ) （A）奇函数（B）偶函数（C）奇函数且为偶函数（D）非奇非偶函数9 有一圆柱形容器，底面半径为 8cm，里面装有足够的水，水面高为 12cm，有一块金属五棱锥掉进水里全被淹没，结果水面高为 15cm，若五棱锥的高为 3cm，则五棱锥的底面积为( ) （A）100cm 2（B） 182cm2（C） 192cm2（D）192cm 210 若 S
3、n 是等差数列 an的前 n 项和，且有 S8-S3=10，则 S11 的值为( )（A）12（B） 18（C） 22（D）44二、填空题11 已知数集0，1，lgx中有三个元素，那么 x 的取值范围为_12 ，则 z 的取值范围是_13 一名同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得 100 分、100 分、200 分，答错得 0 分，假设这位同学答对第一、二、三个问题的概率分别为 0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响，则这名同学得 300 分的概率为_；这名同学至少得 300 分的概率为_14 已知直线 l：x-y+6=0，圆 C：(
4、x-1)2+(y-1)2=2 ，则圆 C 上各点到直线的距离的最小值是_15 如图，边长为 a 的正ABC 的中线 AF 与中位线 DE 相交于 G，已知AED 是AED 绕 DE 放置过程中的一个图形，现给出下列命题，其中正确的命题有_(只需填上正确命题的序号) 动点 A在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上 三棱锥 AFED 的体积有最大值恒有平面AGF平面 BCED异面直线 AE 与 BD 不可能互相垂直 异面直线 FE 与 AD 所成角的取值范围是三、解答题16 一家医院某天出生了 3 个婴儿，假设生男生女的机会相同，那么这 3 个婴儿中，出现 1 个男婴、2 个女婴的概率是多少?1
5、7 已知数列a n是等比数列， a3=1，又 a4，a 5+1，a 6 成等差数列，数列 的前n 项和 Sn=(n-1)2n-2+1(nN*)，求数列a n，b n的通项公式17 如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 a 的正方形，E 、F 分别为PC、 BD 的中点，侧面 PAD底面 ABCD，且18 求证：EF平面 PAD；19 求证：平面 PAB平面 PCD20 一辆汽车从 A 地驶往 B 地，前 路段为普通公路，其余路段为高速公路，已知汽车在普通公路上行驶的速度为 60km/h，在高速公路上行驶的速度为 100km/h，汽车从 A 地到 B 地一共行驶了 2.2h请
6、你根据以上信息，就该汽车行驶的 “路程”或“时间”，提出一个用二元一次方程组解决的问题，并写出解答过程20 如图，F 是椭圆 的一个焦点，A 、B 是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为 ，点 C 在 x 轴上，BCBF ，B、C、F 三点确定的圆 M 恰好与直线 相切21 求椭圆的方程；22 过 F 作一条与两坐标轴都不垂直的直线 z 交椭圆于 P、Q 两点，在 x 轴上是否存在点 N，使得 NF 恰好为PNQ 的内角平分线，若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由23 试确定 t 的取值范围，使得函数 f(x)在-2 ，t上为单调函数；24 求证：nm；25 求证：对于任意的 t-2，总
7、存在 x0(-2，t)，满足 ，并确定这样的 x0 的个数2010 年陕西省教师公开招聘考试（中学数学）真题试卷答案与解析一、选择题1 【正确答案】 D2 【正确答案】 A【试题解析】 ，只需将y=sin2x 的图像向左平移 个单位即可得到函数 的图像3 【正确答案】 C【试题解析】 第一次摸到红球的概率是 ，第二次也摸到红球的概率是 ，故两次都模到红球的概率是 ，选 C4 【正确答案】 B【试题解析】 =0，(3x-3)(3x+2)=0，故 3x=3 或 3x=-2(舍去)，故 x=1，选 B5 【正确答案】 A【试题解析】 由于点 B 关于点 A 的对称点为 C，因此线段 AC 等于线段
8、AB 的长，即 线段 OA 长为 1，因此点 C 到点 O 距离为 ，点 C 在负轴上，故点C 所表示的数为6 【正确答案】 A【试题解析】 因为 ，所以，所以，故选 A7 【正确答案】 A【试题解析】 依题干 P 在抛物线准线的投影为 P，抛物线的焦点为 F，则 F 的坐标为 ，依抛物线的定义知 P 到该抛物线准线的距离为 |PP|=|PF|，则点 P 到点 A(0，2) 的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和8 【正确答案】 A【试题解析】 由 4-x20，x0 可得 x-2，0) (0，2 ，定义域关于原点对称，所以 f(x)为奇函数9 【正确答案】 D【试题解析】 五棱锥排开水的体积即
9、为五棱锥的体积 V=643=192，设五棱锥的底面积为 S，则 ，得 S=192cm210 【正确答案】 C【试题解析】 S 8-S3=a4+a5+a6+a7+a8=10 an是等差数列，a4+a8=a5+a7=2a6，5a 6=10，a 6=2，a 1+a11=2a6=4，二、填空题11 【正确答案】 (0，1) (1，10)(10，+)【试题解析】 x 应大于 0，且不等于 1 和 1012 【正确答案】 (-1，3)【试题解析】 ，从而有 x2-2x-30，(x-3)(x+1)0，则-1x3，即 x(-1，3)13 【正确答案】 0.228 0.564【试题解析】 令 A=答对第一个题，
10、B=答对第二个题，C=答对第三个题，则由题意知，P(A)=0.8 ，P(B)=0.7 ，P(C)=0.6 ，故该同学得 300 分的概率 P=0.80.30.6+0.20.70.6=0.228该同学至少得 300 分的概率为 P=P+P(ABC)=P+P(A)P(B)P(C)=0.228+0.80.70.6=0.56414 【正确答案】 【试题解析】 由数形结合知，所求最小值=圆心到直线的距离-圆的半径圆心(1，1)到直线 x-y+6=0 的距离 故最小值为15 【正确答案】 【试题解析】 ABC 为正三角形， ED 为中位线，AFBC，AFED，AGDE，DE 平面 AFG，正确当 AG平面
11、 ABC时，三棱锥 AFED 在底面积不变的情况下高度最高，此时体积能够取到最大值，正确由得正确当AEF 为直角三角形时，有 FEAE，即有 AE 与BD 互相垂直，故 不正确由 知异面直线 FE 与 AD 所成的角的取值范围为，故正确综上，得正确的命题序号为三、解答题16 【正确答案】 解 用对状图分析如下：P(1 个男婴、2 个女婴)= 答：出现 1 个男婴、2 个女婴的概率是17 【正确答案】 解 设a n的公比为q，a 3=1，a 4=q，a 5=q2， a6=q3a 4，a 5+1，a 6 成等差数列，2(q 2+1)=q+q3，解得q=2，a n=a3qn-3=2n-3，当 n=1
12、 时， 当 n2 时，18 【正确答案】 证明 连结 AC，则 F 是 AC 的中点， E 为 PC 的中点，故 EF 是CPA 的中位线，纸以 EFPA，且 PA 平面 PAD，EF 平面 PAD， EF平面 PA19 【正确答案】 证明 因为平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面ABCD=AD。又 CDAD， CD平面 PAD，CD PA,又 ，由勾股定理可得：PAD 是等腰直角三角形，且 ，即 PAPD，又CDPD=D，PA平面 PCD，又 PA 平面 PAB，平面 PAB平面 PCD20 【正确答案】 汽车在普通公路上行驶了 1h，高速公路上行驶了 1.2h本题答案不唯一，下列解
13、法供参考解法一 问题：普通公路和高速公路各有多少千米?解：设普通公路长为 xkm，高速公路长为 ykm根据题意，得 解得答：普通公路长为 60km，高速公路长为 120km解法二 问题：汽车在普通公路和高速公路上各行驶了多少小时?解：设汽车在普通公路上行驶了xh，高速公路上行驶了 yh根据题意，得 解得21 【正确答案】 由题意可知 F(-c，0)， ，即 B(0， )，过 B、F 两点的直线斜率 ，BCBF，过 B、C 两点直线斜率 ，C(3c ， 0)，圆 M 的圆心坐标为(c，0)，半径为 2C 由直线与圆 M 相切可知，圆心到直线的距离等于半径，即，c=1 ，a=2， 椭圆的方程为22
14、 【正确答案】 假设存在满足条件的点 N(x0，0)，由题意可设直线 l 的方程为y=k(x+1)(k0)，设 P(x1，y 1)，Q(x 2，y 2)NF 为PNQ 的内角平分线，K NP=-kNQ，即 又 (3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0存在满足条件的点 N，点 N 的坐标为(-4，0)已知函数 f(x)=(x22-3x+3).ex 定义域为-2，t(t-2)，设 f(-2)=m，f(t)=n 23 【正确答案】 解 因为 f(x)=(x2 3x+3).ex+(2x-3).ex=x.(x-1).ex由 f(x)0 1或 x0；由 f(x)0 x1，所以 f(x)在(-，0)，
15、(1，+)上递增，在(0，1)上递减欲使 f(x)在-2 ，t 上为单调函数，则-2t024 【正确答案】 证明 因为 f(x)在(-，0)，(1，+)上递增，在(0，1)上递减，所以 f(x)在 x=1 处取得极小值 e又 ，所以 f(x)在-2，+上的最小值为 f(-2)从而当 t-2 时，f(-2) f(t) ，即 mn25 【正确答案】 证明 因为 ，所以 即为 令 ，从而问题转化为证明方程 89 在(-2，t)上有解，并讨论解的个数因为(t-1)，所以 当 t4 或-2t1 时，g(-2).g(t)0，所以 g(x)=0 在(-2，t) 上有解，且只有一解当 1t4 时，g(-2)
16、0，g(t)0，但由于，所以 g(x)=0 在(-2，t)上有解，且有两解当 t=1 时，g(x)=x2-x=0 x=0 或 x=1，所以 g(x)=0 在(-2，t)上有且只有一解；当 t=4 时，g(x)=x2-x=0 x=-2 或 x=3，所以 g(x)=0 在(-2，4)上也有且只有一解综上所述，对于任意的 t-2，总存在 x0(-2，t)，满足 且当 t4 或-2t1 时，有唯一的 x0 适合题意；当 1t4 时，有两个 x0 适合题意(说明：第(3)题也可以令 (x)=x2-x，x(-2，t)，然后分情况证明 在其值域内，并讨论直线 与函数 (x)的图像的交点个数即可得到相应的 x0 的个数)
