1、2013 年河北省专接本数学一（理工类）真题试卷及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 设函数 f(x 一 1)=x2+x+1，则 f(x)=( )（A）x 2 一 x+3（B） x2+3x+3（C） x23x+3（D）x 2 一 x 一 32 =( )（A）e -2（B） e2（C） 2e（D）一 2e3 函数 在 x=0 处连续，则 a=( )（A）e 2（B） e-1（C） 1（D）04 已知 y=f(x)是由方程 ex 一 ey=xy 所确定，则 =( )（A）（B）（C）（D）5 设有两个级数 和 则下列结果中正确的是( )（A）若 0anbn，且
2、收敛，则 一定收敛（B）若 anbn，且 收敛，则 一定收敛（C）若 anbn，且 发散，则 一定发散（D）若 0anbn，且 发散，则 一定发散6 已知向量 则 =( )（A）一 4（B）一 24（C） 4（D）247 设三为抛物线 y=x2 上从 O(0，0)到 A(1，1)的一段弧，则曲线积分 6xydx+x2dy=( )（A）1（B） 0（C） 2（D）一 18 若行列式 则 =( )（A）12（B）一 12（C） 6（D）一 69 用待定系数法求微分方程 y+2y=3 的特解时，应设特解为( )（A）y *=a（B） y*=ax2（C） y*=ax（D）y *=ax2+bx10 已知
3、矩阵方程 则 X=( )（A）（B）（C）（D）二、填空题11 =_.12 若 cosx 为 f(x)的一个原函数，则 xf(x)dx=_.13 由曲线 y=x3 与 所围成平面图形的面积为=_.14 一阶微分方程 的通解为=_.15 幂级数 的收敛半径为=_.三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。16 一圆柱形的储水桶高为 5 米，底半径为 2 米，桶内水深为 3 米，试问要把桶内的水全部吸出需做多少功?(其中水的密度为 克米 3)17 设函数 ,f 具有二阶导数，求 .18 己知线性方程组 当 取何值时，方程组有解? 并求出全部解19 计算二重积分 其中 D 是由 x=0，y=0 与 x2
4、+y2=1 所围成的位于第一象限内的图形四、综合题20 当 ba0，证明21 要做一个容积为 V 的圆柱形罐头桶，问怎样设计才能使用材料最省 ?2013 年河北省专接本数学一（理工类）真题试卷答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 B【试题解析】 令 x 一 1=t，得 f(t)=t2+3t+3，即 f(x)=x2+3x+32 【正确答案】 A【试题解析】 3 【正确答案】 C【试题解析】 根据连续义，可知极限值=函数值， 所以a=14 【正确答案】 B【试题解析】 e x 一 eyxy=0，5 【正确答案】 A【试题解析】 根据正项级数的比较判别
5、法6 【正确答案】 D【试题解析】 根据向量的点乘公式7 【正确答案】 C【试题解析】 8 【正确答案】 D【试题解析】 9 【正确答案】 C【试题解析】 特征方程是 r2+2r=0，r 1=0，r 2=一 2应设特解形式为 y*=Ax10 【正确答案】 A【试题解析】 二、填空题11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 一 xsinx-cosx+C【试题解析】 (cosx)=f(x)，即 f(x)=一 sinx，xf (x)dx=xdf(x)=xf(x)一f(x)dx=-xsinx-cosx+C.13 【正确答案】 【试题解析】 14 【正确答案】 e y=ex+2x2+C【试题
6、解析】 eydy=(ex+4x)dx=ey+2x2+C15 【正确答案】 1【试题解析】 根据幂级数的收敛半径公式三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。16 【正确答案】 以圆柱形储水桶上底面的圆心为坐标原点，垂直向下为 x 轴的正向建立坐标系。在x，x+dx 上水的体积为：2 2dx=4dx 吸此薄层的水所做的功为：dW=4pgdxx=4pgxdx(J)所做的功为：17 【正确答案】 18 【正确答案】 对增广矩阵(Ab)进行初等行变换2+ 一 2=0 时，即 1=1 或2=-2， 方程有无穷多解(1) 1=1 时，同解方程组 全部解 (c1 为任意常数)(2)2=一 2 时， 同解方程组
7、全部解 (C2为任意常数)19 【正确答案】 四、综合题20 【正确答案】 ，其中 ba0证明：设 f(x)=lnx，则 f(x)在a， b上连续，在(a，b)内可导，故 f(x)在区间a， b上满足拉格朗日中值定理条件，于是，至少存在一点 (a，b)，使得 又因为 0 从而有所以21 【正确答案】 要使材料最省，就是要罐头桶的总面积最小，设罐头桶的底半径为 r，高为 h，则它的侧面积为 2rh，底面积为 r2，因此总面积为：S=2r 2+2rh根据 V=r2h 得 所以 因为 ，V 都是正数，r0，所以 S0。因此， S 在点 ，处为极小值，也就是最小值，这时相应的高为 于是得出结论：当所做罐头桶的高和底直径相等时，所用材料最省。
