1、中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 30及答案与解析一、单项选择题1 设 f()连续， F() f(t2)dt，则 F()等于( )。（A）f( 4)（B） 2f(4)（C） 2f(4)（D）2f( 2)2 设 1， 2， 3 是三维向量，则对任意常数 k，l ，向量组 1k 3， 2l 3 线性无关是向量组 1， 2， 3 线性无关的( )。（A）必要非充分条件（B）充分非必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分也非必要条件3 设直线 l： 二平面 为 42yz 20，则( )。（A）l 平行于 （B） l 在 上（C） l 垂直于 （D）l 与 斜交4 设级数 (1
2、) nan2n 收敛，则级数 an( )。（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）收敛性不确定5 设 A，B，AB，A -1B -1 均为 n 阶可逆矩阵，则(A -1B -1)-1( )。（A）A -1B -1（B） AB（C） A(AB) -1B（D）(AB) -16 设随机变量 XN(0，1)，X 的分布函数为 ()，则 P(X2)的值为( )。（A）21 (2)（B） 2(2)1（C） 2(2)（D）12(2)7 以“万物皆数 ”为信条的古希腊数学学派是 ( )。（A）爱奥尼亚学派（B）伊利亚学派（C）诡辩学派（D）毕达哥拉斯学派8 在新一轮的数学教育改革中，逐渐代替了数学教学大纲
3、，成为数学教育指导性文件的是( ) 。（A）数学教学方案（B）数学课程标准（C）教学教材（D）数学教学参考书二、简答题9 求 arctan。10 试求通过点眠(1，0，4)，垂直于平面 ：34yz100，且与直线 l：平行的平面方程。11 设 P()为多项式， 为 P()0 的，r 重根，证明： 必定是 P()0 的 r1 重根。12 高中课程的基本理念有哪些?13 简述当前中学数学教学评价的基本理念。三、解答题14 设 f()，g()在0 ，1上的导数连续，且 f(0)0，f()0，g()0。证明：对任何 a0，1，有 0ag()f()d 01f()g()df(a)g(1)。四、论述题15
4、在考试中不考建模，是不是就没必要学习建模了?结合新课程标准的相关要求，谈谈你对此观点的看法。五、案例分析题15 案例：阅读下列三位教师关于“直线与平面垂直的判定” 的教学片段。教师甲的引入：教师甲：同学们，空间直线与平面有哪几种位置关系?学生边演示边叙述，得到直线与平面的三种位置关系。教师：直线在平面内，直线与平面的平行已研究过，直线与平面相交成为今天要研究的问题。在日常生活中你见过哪些情景可以抽象成直线与平面相交?举例说明。学生：目光灯的掉线与天花板相交：房子的柱子与天花板相交；插在碗里的筷子与平的碗底相交。教师：想象力丰富。生活中确实有很多例子。例如，墙角与地面(图片展示)，小区的建筑，竹
5、竿与水平面以及古诗词中的自然景观“大漠孤烟直” ，“一行白鹭上青天”。在直线与平面相交的模型中，你认为哪种相交最特殊?学生：直线与平面垂直。教师：今天我们就研究这种关系。(板书课题)教师乙的引入：教师：(用 PPT 呈现龙卷风图片 )同学们刚进教室看到这样的壮丽图片，联想起“大漠孤烟直 ”的美景，大家欣赏完之后是否想到立体几何中什么与什么的关系?学生：线面垂直。教师：很好，那生活中有没有这样的例子?学生：看电视时，视线与画面；电线杆与地面垂直。教师：这样的例子很多。比如，大桥桥柱与水面。正因为生活中有很多线与面垂直关系所以几何中有必要对此进行研究。这堂课就学习直线与平面垂直。(板书课题)教师丙
6、的引入：教师：前面我们研究了直线与平面平行的判定与性质，今天我们要研究直线与平面的其他位置关系。(展示天安门广场上的国旗与旗杆)先请大家看一幅图：天安门广场的红旗迎风飘扬。再看另一幅图：一桥飞架南北，天堑变通途。请大家回答下面的问题。问题：请同学们观察图片，说出旗杆与地面，大桥桥柱与水平面是什么位置关系?学生：垂直。教师：从教学的角度看，就是什么与什么垂直。学生：线与面。教师：你还能举出一些类似的例子吗?想一想。(同时出示课题)学生 1：箱的边缘与地面。学生 2：立竿见影，竿与地面垂直。教师又展示跨栏跳高架的图片，说明跨栏的支架与地面，跳高架立竿与地面是垂直关系，请大家参照旗杆与地面这种关系画
7、出相应的几何图形。学生画图，教师在黑板上画出图。教师：为什么画成这样呢?这样直观性强，将直线画得与表示平面的平行四边形的一边垂直。教师：接着前面的内容的学习，下面我们要学习直线与平面垂直的定义、判定与性质。问题：16 三种引入方式各有什么特点?17 在(1)的基础上，给出你对课题引入的观点。六、教学设计题18 普通高中数学课程标准(实验)关于等比数列前 n 项和的教学要求是：通过学习公式的推导发现公式的特点进而掌握公式的运用。请基于该要求。完成下列教学设计任务：(1)设计等比数列前 n 项和的教学目标；(2)等比数列前 n 项和的教学重点以及难点；(3)设计等比数列前 n 项和的教学流程，使学
8、生领悟教学过程中的数学思想方法。中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 30答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 C【试题解析】 F()( 2).f(4)2f( 4)。2 【正确答案】 A【试题解析】 设向量组 1， 2， 3 线性无关，假设存在实数 m，n 使得对任意常数 k，l，有 m(1k 3)n( 2l 3)0，即 m1n 2(mknl) 30。因为1， 2， 3 线性无关，所以 mnmknl0，得向量组 1k 3， 2l 3 线性无关。 如果对任意常数 k，l，向量组 1k 3， 2l 3 线性无关，当 30 时题设仍然成立，而此时，向量组 1， 2， 3 线
9、性相关。即对任意常数 k，l ，向量组1 k3， 2l 3 线性无关不能推出向量组 1， 2， 3 线性无关。3 【正确答案】 C【试题解析】 的方向向量为 a(1，3，2)(2，1，10)(28 ，14，7) ，平面 的法向量为 b(4 ，2，1)，ab ，所以直线 l 与平面垂直。4 【正确答案】 A【试题解析】 由级数 (1) nan2n 收敛得， ( 1)nan2n0，所以存在 N0，使得对任意的 nN ，有(1) nan2n1，即a n 。级数收敛，所以级数 a n收敛，即 an 绝对收敛。5 【正确答案】 C【试题解析】 (A -1B -1)-1(A -1B -1E)-1 (A -
10、1B -1AA-1)-1 (EB -1A)A-1-1 (B -1BB -1A)A-1-1 B -1(BA)A -1-1 (AB) -1B6 【正确答案】 A【试题解析】 P( X2)P(X 2)P(X 2)1P(X2)P(X2)1(2)(2)1(2)1(2)21(2)。7 【正确答案】 D【试题解析】 毕达哥拉斯学派认为数是万物的本原，事物的性质是由某种数量关系决定的，万物按照一定的数量比例而构成和谐的秩序。8 【正确答案】 B【试题解析】 在新一轮的数学教育改革中，数学课程标准逐渐代替了数学教学大纲，成为数学教育的指导性文件。二、简答题9 【正确答案】 由于 ，可见当极限式中出现了 e或 a
11、rctan时一般也需要分别讨论左右极限。10 【正确答案】 平面 的法向量， n1(3 ，4，1)，直线 l 的方向向量l(3，1，2) ，所以所求平面的法向量nn 1l 9i3j15k(9，3，15)。平面上任意一点M(，y，z)，则 (1，y，z4) ，由 n 得 9(1)3y15(z4)0， 整理得所求平面方程：3y5z 230。11 【正确答案】 由题设 P()h()( )，其中 h()为多项式，且 h()0，从而P()() r-1h()()rh()，又因h()()rh() rh()0，所以 是 P()0 的 r1 重根。12 【正确答案】 (1)构建共同基础，提供发展平台；(2)提供
12、多样课程，适应个性选择；(3)倡导积极主动、勇于探索的学习方式；(4)注重提高学生的数学思维能力；(5)发展学生的数学应用意识；(6) 与时俱进地认识“四基”；(7)强调本质，注意适度形式化；(8)体现数学的文化价值；(9) 注重信息技术与数学课程的整合；(10)建立合理、科学的评价体系。13 【正确答案】 数学教学评价的最终目的在于提高数学教学质量，促进学生的全面健康持续发展。因而，进行数学教学评价，要正确地认识学生个体差异，因材施教。使每个学生都在原有的基础上得到充分的发展；要关注学生的学习过程，不仅要关注学生观察、分析、自学、表达、操作、与人合作等一般能力的发展，以及运算、空间观念、统计
13、、解决问题等数学能力的发展，更要关注学生在情感、态度与价值观等方面的健康和谐的发展；不仅要关注教学的结果，更要关注教学的过程。评价目标的多元性。评价内容的多维性。评价手段、方式方法的多样性。评价主体的多元性。评价结果处理的科学化。总之，在新理念下，中学数学教学评价的核心目标在于建立合理、科学的评价体系，促进学生的全面发展，加速教师的专业成长。三、解答题14 【正确答案】 设 F() 0g(t)f(t)dt 01f(t)g(t)dtf()g(1)， 则 F()在0，1上的导数连续，并且 F() g()f()f()g(1)f()g()g(1)， 由于 0，1，f()0，g()0 ，因此 F()0，
14、即 F()在0，1上单调递减。 注意到 F(1) 01g(t)f(t)dt 01f(t)g(t)dtf(1)g(1) ， 而 01g(t)f(t)dt 01g(t)df(t)g(t)f(t) 01 01f(t)g(t)dt f(1)g(1) 01f(t)g(t)dt 故 F(1)0。 因此 0，1时，F()0，由此可得对任何a0，1，有 0ag()f()d 01f()g()df(a)g(1)。四、论述题15 【正确答案】 在普通高中数学课程标准(实验)中，数学建模与数学探究、数学文化是一个重要的学习领域。普通高中数学课程标准(实验)要求高中阶段的学习要让学生结合实际问题，“感受运用函数概念建立
15、模型的过程和方法” ，“力求对现实世界中蕴涵的一些数学模型进行思考和做出判断”，收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)的实例，了解函数模型的广泛应用，体会运用函数思想理解和处理现实生活问题的重要性。可见，普通高中数学课程标准(实验)是十分强调学生亲身经历建模过程的重要性的。事实上，数学建模是培养学生问题意识和应用意识的重要载体。通过数学建模，学生能体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系，从而能促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力。在通过数学建模解决问题的过程中，学生能逐渐积累经验，对数学的本质会有更多的思考，会意识到“
16、数学可以解决实际问题” ，并且也认识到“自己的数学知识还有待提高”，增强探究和解决问题的意识，逐步提高数学应用的水平。因此，在数学课程中，学习建模对中学生来说是相当必要的。五、案例分析题16 【正确答案】 三位教师的引入各有特色。教师甲在直线与平面位置关系的数学中，以“在这些相交关系中，你认为哪种相交最特殊?”引出课题，并伴以学生的动手操作、举例、想象和语言叙述。这一设计的特点是：注意知识的系统与联系；强调学生生活经验的作用。这样容易唤起在“直线与平面平行” 的学习中形成的经验，从而明确“研究什么 ”和“怎样研究”，使学习的自觉性得到提高。教师乙利用一张生活图片提出“是否想到在立体几何中的什么
17、与什么的关系” ，由于“诱导”过分明显，学生就不假思索地齐声回答 “线面垂直”。虽然有后面的师生分别举例，但课题引入任务由这一句话已经完成。虽然这一引入有单刀直入、开门见山的特点，但学生对看图片的意图、当前学习内容与已有知识与方法的联系与借鉴等都很难觉察到。另外，“线面垂直” 的说法不好，至少提出得太早。另外，甲、乙两位老师用的“大漠孤烟直” 的情景不能很好地反映当前学习内容的本质，不是一个好情景。教师丙的引导语“ 前面我们研究了直线与平面平行的判定与性质，今天我们要研究直线与平面的其他位置关系”以及图片，目的都是直指“ 要研究直线与平面垂直”。这样引入也稍嫌太快，学生对于“要学什么”“为什么
18、要学”和“ 如何学”等的感知都不充分，要学的内容与已有经验的衔接不够自然。17 【正确答案】 良好的开端是成功的一半，课题引入是课堂教学的重要一环。教学设计中，应当重点考虑：如何利用新旧知识的联系与发展，以及学生相关的生活经验。创设问题情境，自然、亲切地引出学习内容；如何在课题引入中融入“学什么、为什么、怎么学” 的成分。六、教学设计题18 【正确答案】 (1)教学的三维目标 知识与技能目标：理解等比数列的前 n 项和公式的推导方法；掌握等比数列的前 n 项和公式并能运用公式解决一些简单问题。 过程与方法目标：通过公式的推导过程，提高构造数列的意识及探究、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程
19、中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想。 情感与态度目标：通过经历对公式的探索，激发求知欲，养成大胆尝试、勇于探索、敢于创新的习惯磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美。 (2)教学的重难点 重点：等比数列前 n 项和公式的推导过程，并会利用公式解相关题目。 难点：等比数列前 n 项和公式的推导及成立条件。 (3)教学过程： 一、课题引入 设置问题情景：(利用多媒体课件给出) 一个穷人到富人那里去借钱，原以为富人不愿意，哪知富人一口答应了下来，但提出了如下条件：在一个月(30 天)中，富人第一天借给穷人 1 万元，第
20、二天借给穷人 2 万元，以后每天所借的钱数都比上一天多一万：但借钱第一天，穷人还 1 分钱，第二天还 2 分钱，以后每天所还的钱数都是上一天的两倍，一个月后互不相欠。 穷人听后觉得挺划算，但怕上当受骗，所以很为难。请在座的同学思考一下，帮穷人出个主意吧! 二、新课讲授 在上面我们通过分析富人与穷人之间的交易条件，回答下列问题： 问题 1：穷人这样在富人那借钱是不是真的划算呢? 问题 2：如果穷人觉得不划算的话，会赔多少钱呢? 你能不能列出式子呢? 预设：设穷人所借的钱共为 T30，所还的钱共为 S30， T 3012330和 S3012 2223 2 29。 追问：你能算出赔钱的数量吗?就是T
21、3012330 和 S30122 22 32 29，谁的值大? 引导学生得出计算过程：T 30 465(万元) S 30122 22 32 29 2S3022 2 232 292 30 得：S 302 3011073741823(万元)(错位相减法) 通过上面的分析我们能不能得到等比数列前 n 项和公式是如何推导的呢?那么等比数列的前 n 项和是多少呢 ?(教师在黑板上板书和学生共同完成)(判断公比是否为 1 是易错点，同时公式的适当选取是难点，应提醒学生注意) 出示例题一：求 F 列等比数列前 8 项的和： a127，a 9 ，q0 出示例题二：求和：1aa 2a 3a n-1(a0) 三、巩固练习 求等比数列 1， 的前多少项的和等于 ? 求等比数列 1， 的前10 项中奇数项的和。 四、小结作业 小结：同学讨论总结这节课学习的内容，提出这节课学习的疑问，并总结等比数列求和公式。作业：区分等比数列求和与等差数列求和的异同，总结等比数列求和与等差数列求和公式。
