1、教师公开招聘考试中学数学（计数原理）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题1 已知集合 A=1，2，3，4 ，集合 B=5，7，9，分别从集合 A 和集合 B 中各取一个数字组成一个两位数，则该两位数的值有( )种（A）12（B） 24（C） 36（D）402 在一次校运会上，小赵、小王、小李、小张、小宋五个人参加 1000 米赛跑，老师因中途有事，只看到比赛的一部分，知道小宋第二名，小王和小张的名次挨着，则比赛的结果可能有( ) 情况（A）24 种（B） 12 种（C） 8 种（D）4 种3 甲、乙、丙三组志愿者分别到 A、B 两家敬老院照顾老人则每家做老院至少有一组志愿者的情况有( ) 种（
2、A）4（B） 6（C） 10（D）124 有长度为 2 分米的木条 4 根，长度为 10 厘米、20 厘米、30 厘米的铁条各 2 根，任取四根长条拼成长方形，共有( )种选法（A）42（B） 31（C） 21（D）185 已知半径为 4 厘米的圆周上有 8 个等分点，则两点连线的长度大于 4 厘米的线段有( )条（A）20（B） 24（C） 28（D）566 某班照合影，要求第一排站 9 人，第二排站 10 人，第三排站 11 人，班主任必须站在第一排的中间，则可能的站法有( )种（A）A 3011A1910A99（B） C2911C1910C99（C） A3029（D）A 29297 (2
3、 )7 的二项展开式中，不含 x3 的项的系数的和为( )（A）一 13（B）一 5（C） 0（D）88 0997 7 的计算结果精确到 0001 的近似值是( )（A）0979（B） 0980（C） 0983（D）09919 7 人排成前后两排，前三后四，其中 A 一定要在前排， B、C 两人一定要在后排，则排法有( )种（A）39（B） 480（C） 864（D）504010 由 0、1、2、3、4、5 可以组成( )个能被 5 整除且不含重复数字的五位数（A）96（B） 120（C） 216（D）60011 八(3)班的六重唱在学校文艺汇演中获得了一等奖，班主任老师和六名参演学生准备一起
4、合影他们排成一个横排，其中班主任老师要站在边上，而参演学生中甲和乙不能相邻，则共有( )种排法（A）288（B） 480（C） 576（D）96012 将 2 名教师和 6 名学生分成两个小组到 A、B 两个单位进行实习，其中每个小组都有 1 名教师和 3 名学生，则实习的安排方法共有( )种（A）40（B） 80（C） 160（D）24013 7 人排成一列，其中甲必须站在乙的后面，乙必须站在丙的后面，则共有( )种排法（A）96（B） 120（C） 360（D）84014 将 6 颗不同颜色的珠子穿成一条手链，则可穿成( )种不同样式的手链（A）90（B） 120（C） 360（D）720
5、15 在(2x 一 )8 的展开式中的常数项是( ) （A）一 448（B）一 1120（C） 448（D）112016 (x2+x+1)7 的展开式的系数的和为 ( )（A）3 7（B） 27（C） 1（D）017 由 0、1、2、3、4、5、6 这 7 个数随意抽出 3 个数组合，能被 3 整除的有( )个（A）68（B） 54（C） 56（D）3018 用红、黄、绿、橙四种颜色给图中的三角形涂色，要求相邻的三角形的颜色不能相同，则有( ) 种涂法（A）360（B） 432（C） 648（D）75619 将赤、橙、黄、绿、青、蓝、紫 7 个大小相同、材质相同的球，标上 17 号，任取四个球
6、分别放入图中的盒子里，则 A 盒标号是 C 盒标号的 2 倍的放法有( )种（A）A 77C31A52（B） A77C31C52（C） C31A52（D）C 31A22A5220 从 0、1、2、3、4、5、6 中抽取 4 个数组成一个四位数，则能被 5 整除的数的个数为( ) （A）240（B） 200（C） 220（D）15021 现将 10 个苹果分给 7 名小朋友，每名小朋友至少得到 1 个苹果，则共有( )种分法（A）72（B） 84（C） 96（D）12022 若从 09 这十个数字中取出三个，使其和为不小于 10 的偶数，则不同的取法有( )种（A）11（B） 51（C） 75（
7、D）11123 的展开式中的常数项为( )24 已知 mN+，(x+y) 2m 展开式的系数的最大值为 a，(x+y) 2m+1 展开式的系数的最大值为 b，若 13a=7b，则 m=( )（A）6（B） 7（C） 8（D）9二、填空题25 已知 A、B、C 、D 四种化学试剂，其中 D 只能与 A 发生反应，B 只能与A、C 发生反应，当取两种试剂混合，不能发生反应的组合有_种，分别是_26 8 名男生和 4 名女生站成一排，4 名女生都不相邻的排法共有_种27 已知二项式(mx+2) 8 展开式的第三项与第六项的系数相同，则 m=_28 已知方程 x+y+z=8，且 x，y，zN +，则该
8、方程解的个数是_29 ( )8 的展开式的中间项的系数为_30 计算：5 5 一 553+5432253332+5234 一 35=_31 3(1)班有 5 名同学被选中去观看市中小学文艺汇演，主办方预留一排 6 个座位(一排只有 6 个座位) 给这 5 名同学和 1 位带队教师，现需要带队教师安排座位，要求教师要坐在一边，以方便进出，5 名学生中甲和乙要坐在一起，丙和丁不能坐在一起，则可能的座位排法有_种32 19 5_(保留两位有效数字)33 二项式(x 一 2)7 展开式的系数和为_三、解答题34 有 3 名女生和 5 名男生，全体排成一行，求下列不同情况下的排列方法的种数(1)3 名女
9、生互不相邻；(2)女生不在两边；(3)甲、乙两名男生排在一起；(4)两名女生相邻35 求(x 一 )的展开式中有理项的系数和36 已知 59n 一 9 能被 19 整除，求 n 的最小正整数值37 某班级进行班委会选举，有 7 名候选人(3 男 4 女)，求在下列不同的要求下，可能的选法数(1)选择两名同学作为班长，一男一女；(2)选择一名班长，一名副班长；(3)选择正、副班长各一人，要一男一女；(4)选择五名同学组成班委会，男女均不少于 2 人38 已知二项式(2x 一 3)5，求展开式中系数最大的项39 设 Cxm= (xR，mN +)，且 C0=1， 求证：C xm+Cxm-1=Cx+1
10、m40 某市市区绿化面积约 100 平方千米，规划 10 年后人均绿化面积至少比现在提高10，如果人口年增长率为 12，则市区绿化面积每年至少应增加多少平方千米?( 精确到 01 平方千米 )41 证明：27 n 一 1 能被 13 整除教师公开招聘考试中学数学（计数原理）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 B【试题解析】 当集合 A 中的数为十位数，集合 B 中的数为个位数时，有 43=12种；当集合 B 中的数作为十位数，集合 A 中的数作为个位数时，也有 12 种情况，所以一共有 12+12=24 种组合万式【知识模块】 计数原理2 【正确答案】 C【试题解析】 因为小宋
11、是第二名，小王和小张的名次紧挨着，所以将剩余 4 人分成 3 组，小王和小张一组，且小王和小张不能排在第一组，则有 A33 一 A22=4 种情况，又因为小王和小张的排列有 2 种情况，所以比赛的结果可能有 42=8 种情况【知识模块】 计数原理3 【正确答案】 B【试题解析】 先将甲、乙、丙分成两组，则有 C32=3 种，再将两组全排列有 A22=2种，则每家敬老院至少有一组志愿者的情况有 32=6 种【知识模块】 计数原理4 【正确答案】 B【试题解析】 20 厘米的长条有 4 根木条和 2 根铁条共计 6 根，10 厘米的长条有 2根，30 厘米的长条有 2 根，则当长方形长宽分别为 2
12、0 厘米和 10 厘米时，有C62C22=15 种选法；当长宽分别为 30 厘米和 10 厘米时，有 C22C22=1 种选法；长宽分别为 30 厘米和 20 厘米时，有 C22C62-15 种选法，则任取四根能拼成长方形的选法有 15+1+15=31 种【知识模块】 计数原理5 【正确答案】 A【试题解析】 两点的连线长度大于 4 厘米的情况有 3 种：第一种如图 1 所示，共8 条线段；第二种如图 2 所示，共 8 条线段；第三种情况如图 3 所示，共 4 条线段所以共有 8+8+4=20 条线段【知识模块】 计数原理6 【正确答案】 D【试题解析】 根据题意该班人数为 11+10+91=
13、29 人，本题等价于 29 名学生站成一排的情况，有 A2929 种，班主任插在第一排中间，不影响排列结果【知识模块】 计数原理7 【正确答案】 A【试题解析】 令 x=1，则可求出各系数的和为 1x 3 项的系数为 C7621(一 1)6=14，故不合 x3 项的系数的和为 114=一 13【知识模块】 计数原理8 【正确答案】 A【试题解析】 因为 0997 7=(10003) 7=1+7(一 0003) 1+21(一 0003)2+(一 0003) 7，而 T=21(一 0003) 2=00001 890001，且第三项以后的项的绝对值远小于 0001，故从第三项起，以后的项均可忽略，所
14、以0997 71+7(一 0003) 1=10021=0979【知识模块】 计数原理9 【正确答案】 C【试题解析】 本题相当于将 7 人安排到 7 个固定的位置上：先将 A 安排在前排，则有 A31=3 种排法，然后将 B、C 两人排到后排，有 A42=12 种排法，最后将剩余4 人安排到剩下的四个位置上，有 A44=24 种排法，所以共有A31A42A44=31224=864 种排法【知识模块】 计数原理10 【正确答案】 C【试题解析】 若组成五位数的数字中不包含 0，即该五位数由 1、2、3、4、5五个数字组成，则要想其能被 5 整除，则数字 5 须排在个位上，所以此时满足条件的五位数
15、共有 A44=24 个若组合成五位数的数字中包含 0，如果其中不包含数字 5，则 0 须排在个位上，故此时满足条件的五位数共有 A44=24 个；如果其中同时包含 5，则当 0 在个位上时，共有 C43A44=96 个，当 0 不在个位而 5 在个位时，共能组成 C43A44=96 个数，其中 0 在万位上的有 A43=24 个，故此时满足条件的五位数共有 C43A44 一 A43=72 个所以符合题干要求的五位数共有 24+24+96+72=216个【知识模块】 计数原理11 【正确答案】 D【试题解析】 首先，将除甲乙两人之外的四名学生排成一排，共有 A44 种排法，接着从四个人之间和两端
16、的五个位置中选取两个安排甲乙两人，则共有 A52 种排法，最后班主任老师站在排好的队伍的左侧或右侧所以排法共有 A44A522=960 种【知识模块】 计数原理12 【正确答案】 A【试题解析】 由题意可得，所求的安排方法可看成从 2 名教师中选出 1 名和从 6名学生中选出 3 名到 A 单位实习，其余人到 B 单位实习，所以共有 C21C63=40 种安排方法【知识模块】 计数原理13 【正确答案】 D【试题解析】 可将原题理解为，一列 7 个位置，先任选出 4 个位置安排除甲乙丙三人外的其他四人，则有 A74=840 种排法，而剩余的三个位置用于安排甲乙丙三人，又因为他们三人的前后顺序是
17、一定的，故只有 1 种排法，所以符合题意的排法共有8401=840 种【知识模块】 计数原理14 【正确答案】 B【试题解析】 对于环排问题，一般来说，将 n 个不同元素作环形排列，应共有(n一 1)!种排法，在本题中，是将 6 颗不同颜色的珠子进行环形排列，则排法共有5!=120 种【知识模块】 计数原理15 【正确答案】 D【试题解析】 根据通项公式可得，T r+1=C8r(2x)8-r(一 )r=C8r28-r(一 1)x8-2r，因为求常数项，故令 82r=0，即 r=4，所以 T5=C8428-4(一 1)4=1120【知识模块】 计数原理16 【正确答案】 A【试题解析】 根据二项
18、式定理可知，当 x=1 时，(x 2+x+1)7 的值即是所求的系数和，故(x 2+z+1)7=37【知识模块】 计数原理17 【正确答案】 A【试题解析】 能被 3 整除的三位数的组合有 12 组，分别是0、1、2，O、1、5，0、2、4，O、3、6，0、4、5，1、2、3，1、2、6，1、3、5，2、3、4，2、4、6，1、5、6，3、4、5，4、5、6前五组数中，每组数能排成C21A22=4 个三位数；后八组数中，每组数能排成 A33=6 个三位数所以一共有54+68=68 种排列方法【知识模块】 计数原理18 【正确答案】 D【试题解析】 如图所示给三角形编号，1 号有 4 种涂法；2
19、 号有 3 种涂法；3 号有3 种涂法；6 号有 3 种涂法因为 4 号的颜色会影响 5 号的涂法，所以将 4 号的颜色分为两类：一类与 3 号颜色相同，涂法有 1 种，此时 5 号的涂法有 3 种，则共有涂法 433133=324 种；一类与 3 号不同，涂法有 2 种，此时 5 号有 2 种涂法，则共有涂法 433223=432 种两种情况相加，则共有 324+432=756 种涂法【知识模块】 计数原理19 【正确答案】 A【试题解析】 因为球有 7 种颜色和 7 个序号，标号的种类有 A77 种；又因为 A 盒标号是 C 盒标号的 2 倍，有 1 和 2、2 和 4、3 和 6 三种，
20、取一种放入 A 盒和 C 盒，取法有 C31 种；从剩余的球中取两个分别放入 B、 D 中，取法有 A52 种所以一共有 A77C31A52 种放法，答案选 A【知识模块】 计数原理20 【正确答案】 C【试题解析】 只有当个位是 0 或 5 时，该四位数才能被 5 整除当个位是 0 时，有 A63=120 种情况；当个位为 5 时，则要求千位不能为 0，此时有 C51A52=100 种情况，因此共有 120+100=220 种情况【知识模块】 计数原理21 【正确答案】 B【试题解析】 可将 10 个苹果排成一排，它们之间有 9 个空位，将 6 个隔板插入其中的 6 个空位中，能将 10 个
21、苹果分成 7 份，且每份至少有 1 个苹果，所以共有C96=84 种分法【知识模块】 计数原理22 【正确答案】 B【试题解析】 若要使三个数字之和为偶数，则要满足取出的三个数都是偶数或只有一个是偶数若三个数都是偶数，则取法有 C53 种，若只有一个是偶数，则取法有 C51C52 种，故取出三个数，和为偶数的取法共有(C 53+C51C52)种，这其中和小于10 的有：0、2、4，0、2、6，0、1、3，0、1、5，0、1、7，0、3、5，2、1、3，2、1、5，4、1、3，共 9 种，故符合条件的取法共有 C53+C51C52 一 9=51 种【知识模块】 计数原理23 【正确答案】 C【试
22、题解析】 二项展开式的通项为 T=C53an-kbk=C6k C6kx3-k，题干求展开式的常数项，令 3 一 k=0，解得 k=3，故常数项为 T= 。【知识模块】 计数原理24 【正确答案】 A【试题解析】 因为(x+y) 2m 展开式的系数的最大值为 a，则 a=C2mm，(x+y) 2m-1 展开式的系数的最大值为 b，则 b=C2m+1m=C2m+1m+1又因为 13a=7b，则13C2mm=7C2m+1m，即 13 ，解得 m=6故选A【知识模块】 计数原理二、填空题25 【正确答案】 3A 与 C、B 与 D、C 与 D【试题解析】 根据题意可知，A 与 C 不能发生反应，B 与
23、 D 不能发生反应，C与 D 不能发生反应，所以取两种试剂混合，不能发生反应的组合有 3 种，分别是A 与 C、B 与 D、C 与 D【知识模块】 计数原理26 【正确答案】 A 88A 94【试题解析】 8 名男生先排共有 A88 种排法，共产生 9 个空位，4 名女生插空有A94 种排法，故共有 A88A 94 种排法【知识模块】 计数原理27 【正确答案】 【试题解析】 根据题意可知，C 82m22=C85m325，化简得，m 3=16=232，解得m= 【知识模块】 计数原理28 【正确答案】 21【试题解析】 该题目可以理解为，将 8 个相同的球放入 3 个不同的盒子中，且不能有盒子
24、为空，于是可将 8 个球排成一排，将两个隔板插入 8 个球之间的 7 个空中，且每个空只插入一个隔板，则有 C= =21 种插法，故原题目中方程的解也是21 个【知识模块】 计数原理29 【正确答案】 1120【试题解析】 因为 =4 时，T 5 为展开式的中间项所以 T5= ，所以第五项的系数为1120考生需注意，题目所求的是中间项还是中间项的系数【知识模块】 计数原理30 【正确答案】 32【试题解析】 原式=C 5055(一 3)0+C5154(一 3)1+C5253(一 3)2+C5352(一 3)3+C5451(一 3)4+C5550(一 3)5=(53)5=25=32【知识模块】
25、计数原理31 【正确答案】 48【试题解析】 首先用捆绑法，将甲和乙看成一个整体，与戊进行排列，有 A22 种排法，其中甲和乙的排序也有 A22 种，故甲、乙和戊三人的排法共有 A22A22 种；又由于丙和丁不能坐在一起，采用插空法，将丙和丁插入甲乙整体与戊排列后的三个空中(包括左右两侧) ，有 A32 种插法；插好后再将带队教师安排在最左侧或最右侧即可故座位的排法共有 A22A22A32C21=2262=48 种【知识模块】 计数原理32 【正确答案】 2476【试题解析】 19 5=(201) 5 =C5025(一 01) 0+C5124(一 01) 1+C5223(一 01)2+C532
26、2(一 01) 3+ C5421(一 01) 4+C5520(-01) 5 =328+08004+0 001-000001 =2476099 2476【知识模块】 计数原理33 【正确答案】 一 1【试题解析】 (x 一 2)7=ao+ax+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7，令 x=1，有a+a+a2+a3+a4+a5+a6+a7=(一 1)7=一 1，即系数和为一 1【知识模块】 计数原理三、解答题34 【正确答案】 (1)利用插空法： 5 个男生全排列的有 A55=120 种， 5 个男生产生6 个空位， 则女生插空的排列有 A63=120 种， 所以 3 名女生
27、互不相邻的排法有120120=14400 种 (2)将男生和女生进行全排列，共有 A88 种情况；女生在两边的情况有两种：只有一边有女生，共有 A22A31A77 种情况；两边都有女生，共有 A32A66 种情况所以女生不在两边的情况有 A88 一 A22A31A77 一 A32A66=5760种 (3)把甲、乙看成一个整体与其余人全排列，有 A77=5040 种， 甲乙两人的排列方法有 A22=2 种， 所以甲、乙两名男生排在一起的排法有 50402=10080 种 (4)从 3 名女生抽出两名女生组成一组，再与剩下的六个人全排列，共有A32A77=30240 种【知识模块】 计数原理35
28、【正确答案】 原式展开式的通项为 Tr+1=C6r(一 2)r (r=0，1 ，2，3，4， 5，6) 当 r=0 或 3 或 6 时，即第一项、第四项与第七项为有理项， T 1=C60(一 2)0x6=x6， T 4=C63(一 2)3x2=一 160x2， T 7=C66(一 2)6x-2=64x-2， 所以有理项的系数和为 1160+64=一 95【知识模块】 计数原理36 【正确答案】 原式=(57+2) n 一 9 =Cn057n20+Cn157n-121+Cn257n-222+Cnn-1572n-1+Cnn2n 一 9 =Cn0(193)n+Cn1(193)n-121+Cnn-1(
29、193)2n-1+2n 一 9 =19Q+2n 一 9 其中 QN*，即当 2n 一 9 能被 19 整除时，原式就能被 19 整除， 将n=1，2 ，3， 代入检验， 得 n 的最小值为 8【知识模块】 计数原理37 【正确答案】 (1)由题意可知，从 3 名男生中选 1 人，再从 4 名女生中选 1 人，故有 C31C41=34=12 种选法 (2) 由题意可知，从 7 名候选人中选择 2 人担任不同的职务，故有 A72=76=42 种选法 (3)由题意可知，从 3 名男生中选 1 人，再从 4名女生中选 1 人，2 人分别担任班长或副班长之职， 故有 C31C41A22=342=24 种
30、选法 (4)由题意可知，从 7 名候选人中选择 5 人但要去掉只有 1 名男生的情况，故有 C75 一 C31= 一 3=18 种选法【知识模块】 计数原理38 【正确答案】 该二项式展开式的通项为 Tr+1=C5r(2x)5-r(一 3)r(r=0，1，2， 3，4，5) ， 因为偶数项的系数为负值， 所以最大值在奇数项中取得，奇数项的系数分别为： P 1=C5025(一 3)0=32， P 3=C5223(一 3)2=720， P 5=C542(一 3)4=810， 则展开式中系数最大的项为第五项 T5=C542(一 3)4x=810x【知识模块】 计数原理39 【正确答案】 【知识模块】
31、 计数原理40 【正确答案】 设市区绿化面积应每年增加 x 平方千米，该市人口为 m 人 依题意可知，100+10x (1+10)m(1+12) 10， 整理得，x111012 10 一10=11(1+0 012)10 一 10， 又(1+0 012)10=1+C1010012+C 1020012 2+C10100012 101+100012=112， 故x23(平方千米) 答：市区绿化面积每年至少要增加 23 平方千米【知识模块】 计数原理41 【正确答案】 原式=(26+1) n 一 1 =Cn026n+Cn126n-1+Cnn-126+Cnn260 一 1 =Cn0(132)n+Cn1(132)n-1+Cnn-1(132) =13Q 其中 QN*， 所以 27n 一 1 能被 13整除【知识模块】 计数原理
