1、考研数学三（概率论与数据统计）模拟试卷 31 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都服从区间(0，1)上的均匀分布，则下列服从相应区间或区域上均匀分布的是（A）X 2（B） X 一 Y（C） X+Y（D）(X，Y)2 设随机变量 X 与 Y 相互独立，其分布函数分别为 FX(x)与 FY(y)，则z=maxX，Y的分布函数 FZ(z)是（A）maxF X(z)，F Y(z)（B） FX(z)+FY(z)一 FX(z)FY(z)（C） FX(z).FY(z) （D）3 设随机变量 X1 与 X2 相互独立，其分布函数分
2、别为则X1+X2 的分布函数 F(x)=（A）F 1(x)+F2(x)（B）（C）（D）4 设随机变量 X 和 Y 都服从正态分布，则（A）X+Y 一定服从正态分布（B） X 和 Y 不相关与独立等价（C） (X，Y)一定服从正态分布（D）(X，一 Y)未必服从正态分布5 已知随机变量 X1 与 X2 相互独立且有相同的分布则（A）X 1 与 X1X2 独立且有相同的分布（B） X1 与 X1X2 独立且有不同的分布（C） X1 与 X1X2 不独立且有相同的分布（D）X 1 与 X1X2 不独立且有不同的分布6 已知随机变量(X，Y) 在区域 D=(x，y)1x1，一 1y1上服从均匀分布，
3、则（A）（B）（C）（D）7 设随机变量 X 和 Y 的联合概率分布服从 G=(x，y)x 2+y2r2上的均匀分布，则下列服从相应区域上均匀分布的是（A）随机变量 X（B）随机变量 X+Y（C）随机变量 Y（D）Y 关于 X=1 的条件分布二、填空题8 设随机变量 X 与 Y 相互独立同分布，且都服从 的 0 一 1 分布，则随机变量 z=maxX，Y的分布律为_9 假设随机变量 X 与 Y 相互独立。且则a=_b=_，Z=X+Y 的分布律为 _10 从数 1，2，3，4 中任取一个数，记为 X，再从 1，X 中任取一个数，记为Y，则 PY=2=_11 设随机变量 X 和 Y 的联合分布函数
4、为则随机变量 X 的分布函数 F(x)为_12 设(X，Y) N(， 2； 2， ；0) ，则 PXY=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 袋中有大小相同的 10 个球，其中 6 个红球，4 个白球，现随机地抽取两次，每次取一个，定义两个随机变量 X，Y 如下：试就放回与不放回两种情形，求出(X，Y) 的联合分布律14 设二维随机变量(X，Y)的联合分布为 其中a，b，c 为常数，且 记 Z=X+Y求：(I)a，b，c 之值；()Z 的概率分布；()PZ=X与 PZ=Y14 假设二维随机变量(X，Y)在矩形区域 G=(x，y)0x2，0y1上服从均匀分布记15 求 U 和
5、 V 的联合分布；16 求 U 和 V 的相关系数 p17 设二维随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)0y1，)，xy+1内服从均匀分布，求边缘密度函数，并判断 X，Y 的独立性17 设随机变量 X 和 Y 的联合密度为18 试求 X 的概率密度 f(x)；19 试求事件“X 大于 Y”的概率 PXY；20 求条件概率 PY1X0521 设二维连续型随机变量(X，Y)在区域 D 上服从均匀分布，其中D=(x，y) x+y 1，x 一 y1 ，求 X 的边缘密度 fX(x)与在 X=0 条件下，关于 Y 的条件密度 fY1X(y0)21 已知(X，Y)的概率分布为22 求 Z=XY 的概率分
6、布；23 记 U1=XY， 求 (U1，V 1)的概率分布；24 记 U2=max(X，Y)，V 2=min(X，Y) ，求(U 2，V 2)的概率分布及 U2V2 的概率分布25 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都在0，1上服从均匀分布，试求： (I)U=XY，的概率密度 fU(u)； ( )V=XY的概率密度 fV(v)26 设二维随机变量(X 1，Y 1)与(X 2，Y 2)的联合概率密度分别为求：(I)常数 k1，k 2 的值；( )X i，Y i(i=1，2)的边缘概率密度；()PX i2Y i (i=1，2)考研数学三（概率论与数据统计）模拟试卷 31 答案与解析一、选择题下列
7、每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 从第二章题型训练三、7(1V)的 Y4=X2 知，X 2 不服从均匀分布；应用独立和卷积公式可知，X+Y 与 X 一 Y 都不服从均匀分布；由 X，Y 的独立性知，(X， Y)的联合密度 f(x，y)= 因此(X ，Y)服从区域 D=(x，y)1 0x1，0y1 上二维均匀分布，应选 (D)【知识模块】 概率论与数据统计2 【正确答案】 C【试题解析】 F Z(z)=Pmax(X，Y)z=PXz ，Yz=PXzPYz=F X(z).FY(z)，应选(C)【知识模块】 概率论与数据统计3 【正确答案】 D【试题解析
8、】 由题意知 X1 为离散型随机变量，其分布律为F(x)=PX1+X2x=PX1=0PX1+X2xX 1=0+PX1=1PX1+X2xX 1=1故选(D)【知识模块】 概率论与数据统计4 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 不成立，例如，若 Y=一 X，则 X+Y0不服从正态分布(C)不成立，(X，Y)不一定服从正态分布，因为边缘分布一般不能决定联合分布(B)也不成立，因为只有当 X 和 Y 的联合分布是二维正态分布时“X 和 Y 独立”与“X 和Y 不相关”二者等价故应选(D)虽然随机变量 X 和一 Y 都服从正态分布，但是因为边缘分布一般不能决定联合分布，故(X，一 Y)未必服从正态分布
9、【知识模块】 概率论与数据统计5 【正确答案】 A【试题解析】 由题设知 X1 X2 可取一 1，1，且 PX1 X2=一 1 =PX1=一 1，X 2=1+PX1=1，X 2=一 1=PX1=一 1PX2=1+PX1=1PX2=一 1 又 PX1=一 1，X 1 X2=一 1=PX1=一 1，X 2=1= 所以 X1 与 X1 X2 的概率分布为从而 X1 与 X1 X2 有相同的分布且相互独立，故应选(A)【知识模块】 概率论与数据统计6 【正确答案】 D【试题解析】 由题设知(X，Y)的概率密度函数为由于故选(D)【知识模块】 概率论与数据统计7 【正确答案】 D【试题解析】 排除法依题
10、设，由于 X，Y 对称，(A)和(C) 会同时成立，故应排除或利用计算，随机变量 X 和 Y 的联合概率密度为当xr 时，显然 fX(x)=0；当xr 时，有因此，X 和 Y 都不服从均匀分布，即可排除(A) 和(C)而由熟知的事实知二均匀分布随机变量之和也不服从均匀分布，可见(B)也不成立，故应选(D)【知识模块】 概率论与数据统计二、填空题8 【正确答案】 【试题解析】 显然 Z 也是离散型随机变量，只取 0，1 两个值，且于是 Z 的分布律为【知识模块】 概率论与数据统计9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率论与数据统计10 【正确答案】 【试题解析】 根据乘法公式 PX=i
11、，Y=j=PX=iPY=jX=i，i，j=1，2，3，4，容易写出(X，Y)的联合概率分布为【知识模块】 概率论与数据统计11 【正确答案】 【试题解析】 分布函数 F(x)是 F(x，y)的边缘分布函数： F(x)=F(x，+)=F(x，1) ，因此【知识模块】 概率论与数据统计12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率论与数据统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 (X，Y) 是二维离散型随机变量，其全部可能取值为(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)(I)有放回抽取，由于 X 与 Y 相互独立，则 PX=i，Y=j=PX=iPY=j，i
12、，j=0 ，1， PX=0，Y=0=PX=0PY=0=04 2=016， PX=0，Y=1=PX=0PY=1=04.06=024， PX=1，Y=0=PX=1PY=0=06.0 4=024， PX=1，Y=1=PX=1PY=1=06 2=036( )不放回抽取， (I)有放回()不放回由此可见，无论是有放回还是不放回抽取其边缘分布律 X，Y 都相同且都服从参数为 06 的 0 一 1 分布，且当有放回抽取时 X与 Y 独立；无放回抽取时 X 与 Y 不独立【知识模块】 概率论与数据统计14 【正确答案】 (I)由联合分布性质，有 01+a+02+b+02+01+c=1，即a+b+c=04 由
13、EXY=一 012a 一 06+0 2+3c=一 013c 一 2a=04 联立，解方程组 得 a=01，b=01，c=02()由(X， Y)的联合分布 及 Z=X+Y，可知 Z 的取值为 0，1，2，3，4由于 PZ=0=PX=一 1，Y=1=01， PZ=1=PX=0，Y=1+PX=一 1，Y=2=01+01=0 2， PZ=2=PX=0，Y=2+PX=一 1， Y=3+PX=1，Y=1 =0 2+02=0 4 PZ=3=PX=0，Y=3+PX=1，Y=2=0 1， PZ=4=PX=1，Y=3=02，从而得 Z 的概率分布为()由 X， Y 的边缘分布可知 PZ=Y=PX+Y=Y=PX=0
14、=03， PZ=X=PX+Y=X=PY=0=P()=0 【知识模块】 概率论与数据统计【知识模块】 概率论与数据统计15 【正确答案】 (U，V) 是二维离散型随机变量，只取(0，0)，(1，0)，(1 ，1)各值，且 于是(X，Y) 的联合分布为【知识模块】 概率论与数据统计16 【正确答案】 从(I)中分布表看出【知识模块】 概率论与数据统计17 【正确答案】 依题意，由于f(x，y)f X(x)fY(y)，所以 X 与 Y 不独立【知识模块】 概率论与数据统计【知识模块】 概率论与数据统计18 【正确答案】 易见，当 x(0，1)时 f(x)=0；对于 0x1，有【知识模块】 概率论与数
15、据统计19 【正确答案】 事件“X 大于 Y”的概率【知识模块】 概率论与数据统计20 【正确答案】 条件概率【知识模块】 概率论与数据统计21 【正确答案】 从图 32 可知，区域 D 是以(一 1，0)，(0，1)，(1，0)，(0，一1)为顶点的正方形区域，其边长为 ，面积 SD=2，因此(X ，Y)的联合密度是【知识模块】 概率论与数据统计【知识模块】 概率论与数据统计22 【正确答案】 应用矩阵法求解，由题设得由此即得：Z=XY 的概率分布【知识模块】 概率论与数据统计23 【正确答案】 (U 1，V 1)的概率分布为【知识模块】 概率论与数据统计24 【正确答案】 (U 2，V 2
16、)的概率分布为U2V2 的概率分布为【知识模块】 概率论与数据统计25 【正确答案】 由于 X 与 Y 相互独立且密度函数已知，因此我们可以用两种方法：分布函数法与公式法求出 U、V 的概率密度(I)分布函数法由题设知(X，Y) 联合概率密度 所以 U=XY 的分布函数为(如图 33) 当 u0 时，F U(u)=0；当 u1 时， FU(u)=1；当 0u1 时，()分布函数法由题设知所以 V=X Y的分布函数FV(v)=PXYv当 v0 时，F V(v)=0；当 v0 时，F V(v)=PX Yv=P一 vXYv 由图 34 知，当 v1 时，Fv(v)=1；当0v1 时， 其中D=(x，y) 0x1 ，0y1，x 一 yv【知识模块】 概率论与数据统计26 【正确答案】 (I)由 得 k1=1；又由得 k2=2因此(X 1，Y 1)与(X1，Y 2)的概率密度分别为()()【知识模块】 概率论与数据统计
