1、考研数学二（概率论与数理统计）模拟试卷 8 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设总体 X 和 Y 相互独立，且都服从 N(， 2)， 分别为总体 X 与 Y 的样本容量为 n 的样本均值，则当 n 固定时，概率 P 的值随 的增大而( )（A）单调增大（B）保持不变（C）单调减少（D）增减不定2 设总体 X 服从 N(， 2)， 分别是取自总体 X 的样本容量分别为 10 和 15的两个样本均值，记 p1= ，则有( )（A）p 1p 2（B） p1=p2（C） p1p 2；（D）p 1=， p2=63 设总体 X 服从 N(， 2)， 与 S2 分
2、别为样本均值和样本方差，n 为样本容量，则下面结论不成立的是( )4 设一批零件的长度服从正态分布 N(， 2)，其中 ， 2 未知现从中随机抽取 16个零件，测得样本均值 =20 cm，样本方差 S2=1 cm2，则 的置信水平为 090的置信区间是( )5 设总体 X 服从 N(， 2)，其中 2 未知，假设检验 H0：1，H 1：1当显著性水平 =005 时，拒绝域为( )6 在假设检验中，记 H0 为原假设，H 1 为备择假设，则犯第二类错误是指( )（A）如果 H0 为真，接受 H0（B）如果 H0 为真，拒绝 H0（C）如果 H0 不真，接受 H0（D）如果 H0 不真，拒绝 H0
3、二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 设总体 X 的概率密度为 f(n)= 又 X1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，为使 Pmin(X1，X 2，X n) ，则样本容量 n应满足什么条件?8 设总体 X 的概率分布为求 的矩估计值和最大似然估计值9 设某信息台在某一段时间内接到的通话次数服从参数为 A 的泊松分布，现统计到42 个数据如下：由此数据求未知参数 的最大似然估计值10 设总体 X 的概率密度为 其中 0 1 是未知参数 X1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，记 N 为样本值 x1，x 2，x n中小于 1 的个数，求(1) 的矩估计
4、；(2) 的最大似然估计11 设连续性总体 X 的分布函数为 其中 (0)为未知参数，从总体 X 中抽取样本 X1，X 2，X n，求(1) 的矩估计量；(2) 的最大似然估计量12 设总体 X 的概率分布为其中 (一 10，1) 是未知参数，从 X 中抽取容量为 n 的一组简单随机样本，以 Ni 表示样本中等于 j 的个数(i=1，2，3) (1)求 的最大似然估计量；(2)E(N 2+N3)13 设随机变量 X 的分布函数为 其中参数0， 1设 X1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本 (1)当 =1 时，求未知参数 的矩估计量 (2)当 =1 时，求未知参数 的最大似然估计量
5、 (3)当 =2 时，求未知参数 的最大似然估计量14 设总体 X 的概率密度为 f(x)= ，其中一 1+，0 2+，X 1，X 2，X n 为来自总体 X 的随机样本，试求 1， 2的最大似然估计量15 设某种元件的使用寿命 X 的概率密度为 其中 0为未知参数，X 1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，求 的最大似然估计量 ，并讨论无偏性16 设总体 X 的概率密度为 其中参数(01，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本， 是样本均值(1)求参数 的矩估计量；(2)判断 是否为 2 的无偏估计量，并说明理由17 设 X1，X 2，X n 为来自总体 N(， 2)的
6、简单随机样本，记，(1)证明 T 是 2 的无偏估计量；(2)当 =0，=1 时，求 D(T)18 设随机变量 X 服从二次分布，其概率分布为 PX=x=Cn(1 一 )n-x，x=1 ，2， ，n，求 2 的无偏估计量19 设 X1，X 2，X n 是取自总体 X 的一个简单随机样本，统计量试问上面三个统计量哪些是总体期望 的无偏估计，并比较哪一个更有效 ?20 设总体 X 在 一 上服从均匀分布，X 1，X 2，X n(n2)是取自总体 X 的一个简单随机样本，统计量 i= 的无偏估计，并指出哪一个更有效21 设总体 X 服从参数为 的泊松分布 P()，X 1，X 2，X n 为来自总体
7、X 的简单随机样本， 为样本均值证明 T= 是 PX=0的无偏估计量22 设总体 X 服从正态分布 N(， 2)，S 2 为样本方差，证明 S2 是 2 的一致估计量23 设从均值为 ，方差为 20 的总体中分别抽取容量为 n1，n 2 的两个独立样本，样本均值分别为 证明：对于任何满足条件 a+b=1 的常数 a，b，统计量 T=是 的无偏估计量，并确定常数 a，b，使方差 D(T)达到最小24 设总体 X 服从正态分布 N(，8)，其中 未知 (1)现有来自总体 X 的 10 个观测值，已知 =1 500，求 的置信水平为 095 的置信区间；(2)当置信水平为095 时，欲使置信区间的长
8、度小于 1，则样本容量 n 至少为多少?(3)当样本容量n=100 时，区间 ( +1)作为 的置信区间时，置信水平是多少?25 某车间用一台包装机包装葡萄糖，包得的袋装葡萄糖的净重 X(单位 kg)是一个随机变量，它服从正态分布 N(， 2)，当机器工作正常时，其均值为 05 kg，根据经验知标准差为 0015 kg(保持不变)，某日开工后，为检验包装机的工作是否正常，从包装出的葡萄糖中随机地抽取 9 袋，称得净重为 0497 0506 0518 0524 0498 0511 0520 0515 0512 试在显著性水平 =005 下检验机器工作是否正常26 设某次考试的考生成绩服从正态分布
9、，从中随机抽取 36 位考生的成绩，算得平均成绩为 665 分，标准差为 15 分，问在显著性水平 =005 下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为 70 分?并给出检验过程27 设有甲，乙两种零件，彼此可以代用，但乙种零件比甲种零件制造简单，造价低，经过试验获得抗压强度(单位：kgcm 2)为 甲种零件： 88，87，92，90，91， 乙种零件：89，89，90，84，88 假设甲乙两种零件的抗压强度均服从正态分布，且方差相等，试问两种零件的抗压强度有无显著差异(取 =005)?28 某无线电厂生产的一种高频管，其中一项指标服从正态分布 N(， 2)，从一批产品中抽取 8 只，测得该
10、指标数据如下： 66，43，70，65，55，56，60，72 (1)总体均值 =60，检验 2=82(取 =005)； (2)总体均值 未知时，检验 2=82(取=005) 考研数学二（概率论与数理统计）模拟试卷 8 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 故应选 B【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 C【试题解析】 所以p1p 2，应选 C【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 D【试题解析】 故(A)、(B)、(C)选项结论都是正确的，只有(D) 是不成立的【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】
11、 C【试题解析】 正态总体、方差未知的情况下， 的置信区间为由已知条件，S=1， =20，n=16，=010，故应选 C【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 B【试题解析】 本题是单边检验问题，由于 2 未知，选取的检验统计量为 t=服从 t0.05(n 一 1)，所以拒绝域为 tt 0.05(n 一 1)，即 【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 C【试题解析】 第二类错误是指“取伪错误”， 即 H0 不真，但却接受了原假设 H0，故应选 C【知识模块】 概率论与数理统计二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 【正确答案】 由已知，X 的分布函数为【知识模块
12、】 概率论与数理统计8 【正确答案】 E(X)=(一 1)+0(12)+1=0 故利用一阶原点矩不能求出 的矩估计值 因此利用二阶原点矩，E(x 2)=(一 1)2+02(12)+12=2，又样本二阶原点矩 (一 1)2+02+02+12+12)=06，从而令 2=06，得 的矩估计值为 =03 对于样本值一 1，0，0，1，1，似然函数为 L()=(12)22=3(12)2， 取对数似然函数 lnL()=3ln+2ln(12)令 解得 的最大似然估计值为 =03【试题解析】 考查离散型总体参数的点估计法利用总体矩与样本矩对应相等，可求出矩估计值，通过求似然函数的最大值，可得未知参数的最大似然
13、估计值【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 设 x1，x 2，x n 为一组样本值【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 (1)由已知条件，X 的概率密度为【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 (1)由已知条件，似然函数为(2)E(N2+N3)=E(nN1)=nE(N1)，又 N1 服从 (n，1 一 )，故 E(N1)=n(1)，所以 E(N2+N3)=nn(1 一 )=n【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 当 =1 时，X 的概率密度为【试题解析】 本题是常规题型，考查连续型总体的参数估计按照主
14、要步骤逐步求解需要先利用导数求出总体的概率密度通过似然方程无法求得参数的估计量时，要结合最大似然估计法的原理得出估计量【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 设 x1，x n 为一组样本值，似然函数为 【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 当样本值 xi0(i=1，2，n)时，L()0 ，取对数，得 lnL()=nln22 (xi 一 )因为 =2n0，所以 L()单调增加由于 必须满足xi(i=1，2，n)，因此 min(x1，x 2，x n)如果取 =min(x1，x 2，x n，则 L()取最大值，所以 的最大似然估计值为【试题解析】 设样本值为 x1，x 2，x
15、n，则似然函数为当xi0(i=1，2， ，n) 时，L()0我们只需在此条件下确定 L()的最大值点是否为 的无偏估计，需要求出 【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 (1)因为【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 由于 E(x)=n，E(x 2)=D(X)+(EX)2=n(1 一 )+(n)2=n+n(n 一 1)2，从而 E(XX)=n(n 一 1)2，于是当抽得容量为 N 的一组样本后， 2 的无偏估计量为 。【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 【试题解析】 验证统计量的无偏性和比较有效性，还是计算统
16、计量的期望和方差问题，利用常用结果求解【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 即 T 是 PX=0的无偏估计量【试题解析】 由题意，Px=0=e -，所以只需证明 E(T)=e-【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 【试题解析】 考查正态总体方差已知的条件下关于 的置信区间问题，根据公式讨论【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 按题意需要检验 H 0：=05，H 1：0 5，故拒绝原假设，即认为机器工作不正常【知
17、识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 设这次考试的考生成绩为 X，则 XN(， 2) H0：=70，H 1：70 ，经计算 t=一14，故接受原假设，即可以认为这次考试全体考生的平均成绩为 70 分【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 本题是在显著性水平 =005 下，检验假设H0： 1=2， H1： 12，检验统计量 t= t(n 1+n22)，拒绝域W=t (n1+n22)=tt 0.025(8)=2306 0，经计算 t=0724，故接受原假设，即认为两种零件的抗压强度无显著差异【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 本题是在显著性水平 =005 下，检验假设H0： 2=02=82，H 1： 282经计算 2=10201 7，故接受原假设，即认为 2=82【知识模块】 概率论与数理统计
