1、考研数学三（概率论与数理统计）-试卷 8及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.现有 10张奖券，其中 8张为 2元的，2 张为 5元的今从中任取 3张，则奖金的数学期望为( )（分数：2.00）A.6B.78C.9D.1123.设随机变量 X取非负整数值，PX=n)=a n (n1)，且 EX=1，则 a的值为 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立，且均服从参数为 的泊松分布，令 Y= (X 1 +X 2
2、 +X 3 )，则 Y 2 的数学期望为 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5.设 X为连续型随机变量，方差存在，则对任意常数 C和 0，必有 ( )（分数：2.00）A.PXC=E(XC)B.PXCE(XC)C.PXCE(XC)D.PXCDX 26.设随机向量(X，Y)的概率密度 f(x，y)满足 f(x，y)= f (x，y)，且 XY 存在，则 XY =( )（分数：2.00）A.1B.0C.1D.1 或 1二、填空题(总题数：6，分数：12.00)7.设(x，y)的概率密度为 （分数：2.00）填空项 1:_8.已知随机变量 XN(3，1)，YN(2，1)，且 X，Y 相互独立
3、，设随机变量 Z=X2Y+7，则 Z 1（分数：2.00）填空项 1:_9.若 X 1 ，X 2 ，X 3 两两不相关，且 DX i =1(i=1，2，3)，则 D(X 1 +X 2 +X 3 )= 1（分数：2.00）填空项 1:_10.设相互独立的两个随机变量 X，Y 具有同一分布律，且 X的分布律为： （分数：2.00）填空项 1:_11.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立，且 （分数：2.00）填空项 1:_12.设随机变量 X与 Y的分布律为 且相关系数 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：18，分数：36.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程
4、或演算步骤。（分数：2.00）_14.设 X为随机变量，E(X r )(r0)存在，试证明：对任意 0 有 （分数：2.00）_15.若 DX=0004，利用切比雪夫不等式估计概率 PXEX02（分数：2.00）_16.用切比雪夫不等式确定，掷一均质硬币时，需掷多少次，才能保证正面出现的频率在 04 至06 之间的概率不小于 09（分数：2.00）_17.若随机变量序列 X 1 ，X 2 ，X n ，满足条件 （分数：2.00）_18.某计算机系统有 100个终端，每个终端有 20的时间在使用，若各个终端使用与否相互独立，试求有10个或更多个终端在使用的概率（分数：2.00）_19.设 X 1
5、 ，X 2 ，X n 为总体 X的一个样本，EX=，DX= 2 ，求 （分数：2.00）_20.从装有 1个白球，2 个黑球的罐子里有放回地取球，记 这样连续取 5次得样本 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 ，X 5 记 Y=X 1 +X 2 +X 5 ，求： (1)Y 的分布律，EY，E(Y 2 )； (2) （分数：2.00）_21.若 X 2 (n)，证明：EX=n，DX=2n（分数：2.00）_22.已知 Xt(n)，求证：X 2 F(1，n)（分数：2.00）_23.设 X 1 ，X 2 ，X m ，Y 1 ，Y 2 ，Y n 独立X i N(a， 2 )，i=1，2，m，Y i
6、 N(b， 2 )，i=1， （分数：2.00）_24.一个罐子里装有黑球和白球，黑、自球数之比为 a：1现有放回的一个接一个地抽球，直至抽到黑球为止，记 X为所抽到的白球个数这样做了 n次以后，获得一组样本：X 1 ，X 2 ，X n 基于此，求未知参数 a的矩估计 和最大似然估计 （分数：2.00）_25.罐中有 N个硬币，其中有 个是普通硬币(掷出正面与反面的概率各为 05)，其余 N 个硬币两面都是正面，从罐中随机取出一个硬币，把它连掷两次，记下结果，但不去查看它属于哪种硬币，如此重复 n次，若掷出 0次、1 次、2 次正面的次数分别为 n 0 ，n 1 ，n 2 ，利用(1)矩法；(
7、2)最大似然法，求参数 的估计量（分数：2.00）_26.设总体 X的概率密度为 又设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自 X的一个简单随机样本，求未知参数 的矩估计量 （分数：2.00）_27.设总体 X的概率密度为 （分数：2.00）_28.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自对数级数分布 （分数：2.00）_29.设总体 X服从参数为 N和 p的二项分布，X 1 ，X 2 ，X n 为取自 X的样本，试求参数 N和 p的矩估计（分数：2.00）_30.设总体 X的分布列为截尾几何分布 （分数：2.00）_考研数学三（概率论与数理统计）-试卷 8答案解析(总分：60.00，做题时间：90
8、 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.现有 10张奖券，其中 8张为 2元的，2 张为 5元的今从中任取 3张，则奖金的数学期望为( )（分数：2.00）A.6B.78 C.9D.112解析：解析：记奖金为 X，则 X全部可能取的值为 6，9，12，并且 所以，EX=3.设随机变量 X取非负整数值，PX=n)=a n (n1)，且 EX=1，则 a的值为 ( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析： 得到 a=(1a) 2 ，a 2 3a+1=0，a= ，但 a1，于是 a= 4
9、.设 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立，且均服从参数为 的泊松分布，令 Y= (X 1 +X 2 +X 3 )，则 Y 2 的数学期望为 ( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：因为 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立且均服从 P()，所以 X 1 +X 2 +X 3 P(3)， E(X 1 +X 2 +X 3 )=D(X 1 +X 2 +X 3 )=3， EY=E (X 1 +X 2 +X 3 )=， =E(Y 2 )(EY) 2 =E(Y 2 ) 2 故 E(Y 2 )= 2 + 5.设 X为连续型随机变量，方差存在，则对任意常数 C和 0，必有 ( )（分数：2.0
10、0）A.PXC=E(XC)B.PXCE(XC)C.PXCE(XC) D.PXCDX 2解析：解析：6.设随机向量(X，Y)的概率密度 f(x，y)满足 f(x，y)= f (x，y)，且 XY 存在，则 XY =( )（分数：2.00）A.1B.0 C.1D.1 或 1解析：解析：E(XY)= ydy xf(x，y)dx 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)7.设(x，y)的概率密度为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：由于 D：0yx1 是由 y=x，y=x，x=1 三条线围成的，关于 x轴对称，所以 E(XY)= xydxdy=0，EY=8.已知
11、随机变量 XN(3，1)，YN(2，1)，且 X，Y 相互独立，设随机变量 Z=X2Y+7，则 Z 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：N(0，5)）解析：解析：Z 服从正态分布， EZ=E(X2Y+7)=EX2EY+7=34+7=0， DZ=D(X2Y+7)=DX+2 2 DY=1+4=59.若 X 1 ，X 2 ，X 3 两两不相关，且 DX i =1(i=1，2，3)，则 D(X 1 +X 2 +X 3 )= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：因为 X 1 ，X 2 ，X 3 两两不相关，所以 Cov(X i ，X j )=0
12、(ij)，于是 D(X 1 +X 2 +X 3 )=D(X 1 +X 2 )+X 3 =D(X 1 +X 2 )+DX 3 +2Cov(X 1 +X 2 ，X 3 ) =DX 1 +DX 2 +DX 3 +2Cov(X 1 ，X 2 )+2Cov(X 1 ，X 3 )+2Cov(X 2 ，X 3 ) =DX 1 +DX 2 +DX 3 =310.设相互独立的两个随机变量 X，Y 具有同一分布律，且 X的分布律为： （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：PZ=0=PX=0，Y=0=PX=0PY=0 = PZ=1=1PZ=0=11.设随机变量 X 1 ，X 2 ，
13、X 3 相互独立，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：EX 1 (X 1 +X 2 X 3 )=E(X 1 2 +X 1 X 2 X 1 X 3 ) =E(X 1 2 )+EX 1 EX 2 EX 1 EX 3 =DX 1 +(EX 1 ) 2 +EX 1 EX 2 EX 1 EX 3 = 12.设随机变量 X与 Y的分布律为 且相关系数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设(X，Y)的分布律为 (X，Y)的边缘分布律也表示于表中)， 则 E(XY)=p 11 ，从而有 由此得 所以(X，Y)的分布律为 三、解答题(
14、总题数：18，分数：36.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：14.设 X为随机变量，E(X r )(r0)存在，试证明：对任意 0 有 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若 X为离散型，其概率分布为 PX=x i =P i ，i=1，2，则 PX= 若 X为连续型，其概率密度为 f(x)，则 PX= )解析：15.若 DX=0004，利用切比雪夫不等式估计概率 PXEX02（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由切比雪夫不等式 PXEX021 )解析：16.用切比雪夫不等式确定，掷一均质硬币时，需掷多少次，才能保证正面出现的频率在
15、04 至06 之间的概率不小于 09（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设需掷 n次，正面出现的次数为 Y n ，则 Y n B(n， )，依题意应有 P04 0609 而 )解析：17.若随机变量序列 X 1 ，X 2 ，X n ，满足条件 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由切比雪夫不等式，对任意的 0 有 所以对任意的 0， )解析：18.某计算机系统有 100个终端，每个终端有 20的时间在使用，若各个终端使用与否相互独立，试求有10个或更多个终端在使用的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 X i = (i=1，2，)， 则同时使用的终端数 X= X i B
16、(100，02)， 所求概率为 Px101 )解析：19.设 X 1 ，X 2 ，X n 为总体 X的一个样本，EX=，DX= 2 ，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：EX i =，DX i = 2 ， =， 进而有 E(X i 2 )=DX i +(EX i ) 2 = 2 + 2 ， )解析：20.从装有 1个白球，2 个黑球的罐子里有放回地取球，记 这样连续取 5次得样本 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 ，X 5 记 Y=X 1 +X 2 +X 5 ，求： (1)Y 的分布律，EY，E(Y 2 )； (2) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)Y 是连续 5
17、次取球中取得黑球的个数，所以 YB(5， )从而 EY=5 E(Y 2 )=DY+(EY) 2 =5 (2)由于 X的分布律为 ，所以 )解析：21.若 X 2 (n)，证明：EX=n，DX=2n（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 X 2 (n)，所以 X可表示为 ，其中 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立，且均服从 N(0，1)，于是 )解析：22.已知 Xt(n)，求证：X 2 F(1，n)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：Xt(n)，则 X可表示为 X= ，其中 ZN(0，1)，Y 2 (n)且 Z，Y 相互独立，又 Z 2 2 (1)，于是 X 2 = )解析：23
18、.设 X 1 ，X 2 ，X m ，Y 1 ，Y 2 ，Y n 独立X i N(a， 2 )，i=1，2，m，Y i N(b， 2 )，i=1， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 X i N(a， 2 )，i=1，2，m，Y i N(b， 2 )，i=1，2，n，且 X 1 ，X 2 ，X m ，Y 1 ，Y 2 ，Y n 相互独立，则 也服从正态分布 所以 而 ，且 S 1 2 与 S 2 2 独立，则 (mS 1 2 +nS 2 2 ) 2 (m+n2) )解析：24.一个罐子里装有黑球和白球，黑、自球数之比为 a：1现有放回的一个接一个地抽球，直至抽到黑球为止，记 X为所抽
19、到的白球个数这样做了 n次以后，获得一组样本：X 1 ，X 2 ，X n 基于此，求未知参数 a的矩估计 和最大似然估计 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意知，随机变量 X的分布律为 PX=k= ，k=0，1，2， EX= 令 对于给定的样本 X 1 ，X 2 ，X n ，似然函数为 取对数，得 lnL(a)=nlnaln(a+1) ln(a+1)， 令 lnL(a)=0，得 解得 )解析：25.罐中有 N个硬币，其中有 个是普通硬币(掷出正面与反面的概率各为 05)，其余 N 个硬币两面都是正面，从罐中随机取出一个硬币，把它连掷两次，记下结果，但不去查看它属于哪种硬币，如此重复
20、 n次，若掷出 0次、1 次、2 次正面的次数分别为 n 0 ，n 1 ，n 2 ，利用(1)矩法；(2)最大似然法，求参数 的估计量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 X为“连掷两次正面出现的次数”，A=取出的硬币为普通硬币，则 PX=0=P(A)PX=0A+ PX=1=P(A)PX=1A+ Px=2=P(A)PX=2A+ = 即 X的分布为 (1) 1 = ，解得 =N(2 1 )， 的矩估计为 (2)L(X 1 ，X n ；)= lnL=n 0 .lnln(4N)+n 1 lnln(2N)+n 2 ln(4N3)ln(4N)， 解得 的最大似然估计 )解析：26.设总体 X的概
21、率密度为 又设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自 X的一个简单随机样本，求未知参数 的矩估计量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X 的数学期望为 EX= xf(x；)dx= 0 x 用样本均值 代替中的 EX得 此方程的解即为 的矩估计量 )解析：27.设总体 X的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求矩估计： 1 =EX= 0 1 (+1)x +1 = 解得 = 所以 的矩估计为 再求极大似然估计： L(x 1 ，x n ；)= (+1)x i a =(+1) n (x 1 x 2 x n ) lnL=nln(+1)+ lnx i ， 解得 的极大似然估计： )解析：28.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自对数级数分布 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 1 =EX= 因为 p很难解出来，所以再求总体的二阶原点矩 所以得 p的矩估计 )解析：29.设总体 X服从参数为 N和 p的二项分布，X 1 ，X 2 ，X n 为取自 X的样本，试求参数 N和 p的矩估计（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 解之得 N= 1 p， (1p)+Np= ， 即 ，所以 N和 p的矩估计为 )解析：30.设总体 X的分布列为截尾几何分布 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 解似然方程 得 的极大似然估计 )解析：
