1、考研数学一（概率论与数理统计）-试卷 8及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.以 A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件 （分数：2.00）A.“甲种产品滞销，乙种产品畅销”。B.“甲、乙两种产品均畅销”。C.“甲种产品滞销”。D.“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。3.对于任意两事件 A和 B，若 P(AB)=0，则( )（分数：2.00）A.B.ABC.P(A)P(B)=0。D.P(A-B)=P(A)。4.将一枚匀称的硬币独立地掷三次，
2、记事件 A=“正、反面都出现”；B=“正面最多出现一次”；C=“反面最多出现一次”，则下列结论中不正确的是( )（分数：2.00）A.A与 B独立。B.B与 C独立。C.A与 C独立。D.BC 与 A独立。5.假设 X是只可能取两个值的离散型随机变量，Y 是连续型随机变量，则随机变量 X+Y的分布函数( )（分数：2.00）A.是连续函数。B.是阶梯函数。C.恰有一个间断点。D.至少有两个间断点。6.设随机变量 XN(0，1)，其分布函数为 (x)，则随机变量 Y=minX，0的分布函数为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.设随机变量 X与 Y相互独立，XB(1， )，Y 的概率密度
3、 f(y)= 的值为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.8.设随机变量 X服从指数分布，则随机变量 Y=minX，2的分布函数( )（分数：2.00）A.是连续函数。B.至少有两个间断点。C.是阶梯函数。D.恰好有一个间断点。9.对于任意两随机变量 X和 Y，与命题“X 和 Y不相关”不等价的是( )（分数：2.00）A.E(XY)=E(X).E(Y)。B.Cov(X，Y)=0。C.D(XY)=D(X).D(Y)。D.D(X+Y)=D(X)+D(Y)。10.设总体 X服从正态分布 N(0， 2 )， ，S 2 分别为容量是 n的样本的均值和方差，则可以作出服从自由度为 n-1的 t分布的
4、随机变量是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：8，分数：16.00)11.设 10件产品中有 4件不合格品，从中任取两件，已知所取的两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为 1。（分数：2.00）填空项 1:_12.已知事件 A、B 仅发生一个的概率为 03，且 P(A)+P(B)=05，则 A，B 至少有一个不发生的概率为 1。（分数：2.00）填空项 1:_13.设 X服从参数为 的泊松分布，PX=1=PX=2，则概率 P0X 2 3= 1。（分数：2.00）填空项 1:_14.设 X是服从参数为 2的指数分布的随机变量，则随机变量 Y=X- （分
5、数：2.00）填空项 1:_15.设随机变量 X与 Y均服从正态分布 N(， 2 )，则 Pmax(X，Y)-Pmin(X，Y)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_16.相互独立的随机变量 X 1 和 X 2 均服从正态分布 （分数：2.00）填空项 1:_17.设随机变量 X概率分布为 PX=k= （分数：2.00）填空项 1:_18.已知一批零件的长度 X(单位：cm)服从正态分布 N(，1)，从中随机地抽取 16个零件，得到长度的平均值为 40cm，则 的置信度为 095 的置信区间是 1。(196)=0975，(1645)=095)（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数
6、：11，分数：22.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_20.设 P(A)0，P(B)0，将下列四个数： P(A)，P(AB)，P(AB)，P(A)+P(B)，按由小到大的顺序排列，用符号“”联系它们，并指出在什么情况下可能有等式成立。（分数：2.00）_21.设有四个编号分别为 1，2，3，4 的盒子和三只球，现将每只球随机地放入四个盒子，记 X为至少有一只球的盒子的最小号码。 ()求 X的分布律； ()若当 X=k(k=1，2，3，4)时，随机变量 Y在0，k上服从均匀分布，求 PY2。（分数：2.00）_22.设某班车起点站上客人数 X服从参数为
7、 (0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p(0p1)，且中途下车与否相互独立。Y 为中途下车的人数，求： ()在发车时有 n个乘客的条件下，中途有 m人下车的概率； ()二维随机变量(X，Y)的概率分布。（分数：2.00）_23.设随机变量 X在区间(0，1)上服从均匀分布，当 X取到 x(0x1)时，随机变量 Y等可能地在(x，1)上取值。试求： ()(X，Y)的联合概率密度； ()关于 Y的边缘概率密度函数； ()PX+Y1。（分数：2.00）_24.假设随机变量 X与 Y相互独立，如果 X服从标准正态分布，Y 的概率分布为 PY=-1= （分数：2.00）_25.将 3个球随机地放
8、入四个盒子中，以随机变量 X表示有球的盒子数，求 E(X)，D(X)。（分数：2.00）_26.设随机变量 X的概率密度为 对 X独立地重复观察 4次，用 Y表示观察值大于 （分数：2.00）_27.根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为 100小时的指数分布。现随机地取 16只，设它们的寿命是相互独立的。求这 16只元件的寿命的总和大于 1920小时的概率。（分数：2.00）_28.设总体 XN(0， 2 )，参数 0 未知，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本(n1)，令估计量 ()求 的数学期望； ()求方差 （分数：2.00）_29.设总体 X服从参数为 p的几
9、何分布，如果取得样本观测值为 x 1 ，x 2 ，x n ，求参数 p的矩估计值与最大似然估计值。（分数：2.00）_考研数学一（概率论与数理统计）-试卷 8答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.以 A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件 （分数：2.00）A.“甲种产品滞销，乙种产品畅销”。B.“甲、乙两种产品均畅销”。C.“甲种产品滞销”。D.“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。 解析：解析：设 A 1 =甲种产品畅销，A 2 =乙
10、种产品滞销，则 A=A 1 A 2 。 由德摩根定律得 即 3.对于任意两事件 A和 B，若 P(AB)=0，则( )（分数：2.00）A.B.ABC.P(A)P(B)=0。D.P(A-B)=P(A)。 解析：解析：因为 P(A-B)=P(A)-P(AB)=P(A)。故应选 D。 不难证明选项 A、B、C 不成立。设 XN(0，1)，A=X0，B=X0，则 P(AB)=0，P(A)P(B)0 且 ，从而 A项和 C项不成立。若 A和 B互为对立事件，则 为对立事件，4.将一枚匀称的硬币独立地掷三次，记事件 A=“正、反面都出现”；B=“正面最多出现一次”；C=“反面最多出现一次”，则下列结论中
11、不正确的是( )（分数：2.00）A.A与 B独立。B.B与 C独立。 C.A与 C独立。D.BC 与 A独立。解析：解析：试验的样本空间有 8个样本点，即 =(正，正，正)，(正，反，反)，(反，反，反)。显然 B与 C为对立事件，且依古典型概率公式有 P(BC)= =0，P(BC)=P()=1。 由于 P(A)P(B)=5.假设 X是只可能取两个值的离散型随机变量，Y 是连续型随机变量，则随机变量 X+Y的分布函数( )（分数：2.00）A.是连续函数。 B.是阶梯函数。C.恰有一个间断点。D.至少有两个间断点。解析：解析：对任意实数 t，根据概率性质得 0PX+Y=t=PX+Y=t，X=
12、a+PX+Y=t，X=b =PY=t-a，X=a+PY=t-b，X=b PY=t-a+PY=t-b， 又 Y是连续型随机变量，所以对任意实数 c，有 PY=c=0。故对任意实数 t，PX+Y=t=06.设随机变量 XN(0，1)，其分布函数为 (x)，则随机变量 Y=minX，0的分布函数为( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：F(y)=PYY=Pmin(X，0)y=1-Pmin(X，0)y=1-PXy,0y。 当 y0 时，PXy，0y=PXy，F(y)=1-PXy=PXy=(y)。 当 y0 时，PXy，0y=0，F(y)=1，故选项 B正确。7.设随机变量 X与 Y相互
13、独立，XB(1， )，Y 的概率密度 f(y)= 的值为( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：XB ，X 取值只能是 X=0或 X=1，将 X=0和 X=1看成完备事件组，用全概率公式有8.设随机变量 X服从指数分布，则随机变量 Y=minX，2的分布函数( )（分数：2.00）A.是连续函数。B.至少有两个间断点。C.是阶梯函数。D.恰好有一个间断点。 解析：解析：考虑分布函数的连续性问题，需求出其分布函数。因为 X服从指数分布，则其概率密度为 其中 0 为参数。 由分布函数的定义 F Y (y)=PYy=Pmin(X，2)y， 当 y0 时，F Y (y)=0； 当 y2
14、 时，F Y (y)=1； 当 0y2 时， F Y (y)=PminX，2y=PXy= 故 因为 9.对于任意两随机变量 X和 Y，与命题“X 和 Y不相关”不等价的是( )（分数：2.00）A.E(XY)=E(X).E(Y)。B.Cov(X，Y)=0。C.D(XY)=D(X).D(Y)。 D.D(X+Y)=D(X)+D(Y)。解析：解析：因为 Cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0 是“X 和 Y不相关”的充分必要条件，所以 A与 B等价。由 D(X+Y)=D(X)+D(Y)的充分必要条件是 Cov(X，Y)=0，可见选项 B与 D等价。 于是，“X 和 Y不相关”与选项 A，
15、B 和 D等价。故应选 C。10.设总体 X服从正态分布 N(0， 2 )， ，S 2 分别为容量是 n的样本的均值和方差，则可以作出服从自由度为 n-1的 t分布的随机变量是( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：根据题设知，X i N(0， 2 )， 二、填空题(总题数：8，分数：16.00)11.设 10件产品中有 4件不合格品，从中任取两件，已知所取的两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设事件 A：所取的两件产品中至少有一件是不合格品。事件 B：所取的两件都是不合格品。 因
16、为 P(A)= ，且 P(A)P(B)，所以12.已知事件 A、B 仅发生一个的概率为 03，且 P(A)+P(B)=05，则 A，B 至少有一个不发生的概率为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：09）解析：解析：由题设 P(A)+P(B)=05，于是解得 P(AB)=01，所以所求的概率为13.设 X服从参数为 的泊松分布，PX=1=PX=2，则概率 P0X 2 3= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2e -2）解析：解析：已知 PX=k= (k=0，1，)，由于 PX=1=PX=2，即 14.设 X是服从参数为 2的指数分布的随机变量，
17、则随机变量 Y=X- （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：XE(2)，所以其概率密度函数为 f X (x)= 令 Y=X- ，所以 F Y (y)=PYy= 所以 f Y (y)=F“ Y (y)= 15.设随机变量 X与 Y均服从正态分布 N(， 2 )，则 Pmax(X，Y)-Pmin(X，Y)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：Pmax(X，Y)-Pmin(X，Y) =1-Pmax(X，Y)-1-Pmin(X，Y) =-Pmax(X，Y)+Pmin(X，Y) =-PX，Y+PX，Y =-PX+PX，Y+PX，
18、Y =-PX+PY。 因为 X与 Y均服从正态分布 N(， 2 )，所以 PX= ，故 Pmax(X，Y)-Pmin(X，Y)= 16.相互独立的随机变量 X 1 和 X 2 均服从正态分布 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据题意随机变量 X 1 和 X 2 相互独立，且服从正态分布 ，设 Z=X 1 -X 2 ，则ZN(0，1)，其概率密度函数为 D(X 1 -X 2 )=D(Z)=E(Z 2 )-E 2 (Z) =E(Z 2 )-E 2 Z=D(Z)+E 2 (Z)-E 2 Z， 显然，D(Z)=1，E(Z)=0。 17.设随机变量 X概率分布为
19、PX=k= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：由概率密度的性质 即 PX=k= 18.已知一批零件的长度 X(单位：cm)服从正态分布 N(，1)，从中随机地抽取 16个零件，得到长度的平均值为 40cm，则 的置信度为 095 的置信区间是 1。(196)=0975，(1645)=095)（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(3951，4049)）解析：解析：根据题设，1-=095，可见 =005。于是 =196。本题 n=16， =40，将其代入三、解答题(总题数：11，分数：22.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演
20、算步骤。（分数：2.00）_解析：20.设 P(A)0，P(B)0，将下列四个数： P(A)，P(AB)，P(AB)，P(A)+P(B)，按由小到大的顺序排列，用符号“”联系它们，并指出在什么情况下可能有等式成立。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A、AB、AB 之间的所属关系为 故有 P(AB)P(A)P(AB)， 根据概率的加法公式 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)，得 P(AB)P(A)+P(B)， 因此四个数由小到大排列为 P(AB)P(A)P(AB)P(A)+P(B)。 P(AB)=P(A)成立的条件是 AB=A，即 A B。 P(A)=P(AB)成立的条件是 A=
21、AB，即 B )解析：21.设有四个编号分别为 1，2，3，4 的盒子和三只球，现将每只球随机地放入四个盒子，记 X为至少有一只球的盒子的最小号码。 ()求 X的分布律； ()若当 X=k(k=1，2，3，4)时，随机变量 Y在0，k上服从均匀分布，求 PY2。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()随机变量 X可能取值为 1，2，3，4，设事件 A i (i=1，2，3，4)表示第 i个盒子是空的，则 PX=4=P(A 1 A 2 A 3 )=P(A 1 )P(A 2 A 1 )P(A 3 A 1 A 2 ) 于是 X的分布律为 ()由于当 X=k时随机变量 Y在0，k上服从均匀分布，
22、故 PY2X=1=PY2X=2=1，PY2X=3= ，PY2X=4= 由全概率公式即得 )解析：22.设某班车起点站上客人数 X服从参数为 (0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p(0p1)，且中途下车与否相互独立。Y 为中途下车的人数，求： ()在发车时有 n个乘客的条件下，中途有 m人下车的概率； ()二维随机变量(X，Y)的概率分布。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()PY=mX=n= ，0mn，n=0，1，2，。 ()PX=n，Y=m=PX=nPY=mX=n = )解析：23.设随机变量 X在区间(0，1)上服从均匀分布，当 X取到 x(0x1)时，随机变量 Y等可能地
23、在(x，1)上取值。试求： ()(X，Y)的联合概率密度； ()关于 Y的边缘概率密度函数； ()PX+Y1。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()根据题设 X在(0，1)上服从均匀分布，因此其概率密度函数为 而变量Y，在 X=x的条件下，在区间(x，1)上服从均匀分布，所以其条件概率密度为 再根据条件概率密度的定义，可得联合概率密度 ()根据求得的联合概率密度，不难求出关于 Y的边缘概率密度()如图 3-3-4所示 )解析：24.假设随机变量 X与 Y相互独立，如果 X服从标准正态分布，Y 的概率分布为 PY=-1= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()根据题意 PY=-1
24、= ，PY=1= ，XN(0，1)且 X与 Y相互独立，所以 Z=XY 的分布函数为 F Z (z)=PXYz=PY=-1PXYzY=-1+PY=1PXYzY=I =PY=-1P-XzY=-1+PY=1PXzY=1 =PY=-1PX-z+PY=1PXz 即 Z=XY服从标准正态分布，所以其概率密度为 ()由于 V=X-Y只取非负值，因此当 v0 时，其分布函数 F V (v)=PX-Yv=0；当 v0 时， F V (v)=P-vX-Yv =PY=-1P-vX-YvY=-1+PY=1P-vX-YvY=1 综上计算可得， 由于 F V (v)是连续函数，且除个别点外，导数都是存在的，所以 V的概
25、率密度为 )解析：25.将 3个球随机地放入四个盒子中，以随机变量 X表示有球的盒子数，求 E(X)，D(X)。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X 可能的取值是 1，2，3，其中 )解析：26.设随机变量 X的概率密度为 对 X独立地重复观察 4次，用 Y表示观察值大于 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 ，根据题意，Y 服从二项分布 ，则有 E(Y 2 )=D(Y)+E 2 (Y)=npg+(np) 2 = )解析：27.根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为 100小时的指数分布。现随机地取 16只，设它们的寿命是相互独立的。求这 16只元件的寿命的总和大于 19
26、20小时的概率。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据独立同分布中心极限定理，假设 X表示电器元件的寿命，则 X的概率密度为 随机取出 16只元件，其寿命分别用 X 1 ，X 2 ，X 16 表示，且它们相互独立，同服从均值为100的指数分布，则 16只元件的寿命的总和近似服从正态分布。设寿命总和为 Y= ，其中 E(X i )=100，D(X i )=100 2 ，由此得 E(Y)= =16100=1600，D(Y)= =16100 2 ， 由独立同分布中心极限定理可知，Y 近似服从正态分布 N(1600，16100 2 )，于是 )解析：28.设总体 XN(0， 2 )，参数 0
27、未知，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本(n1)，令估计量 ()求 的数学期望； ()求方差 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()因为 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立且与总体 X同分布，所以 ()根据抽样分布有关结论知 再由 2 分布随机变量的方差公式有：Y 2 (n)，则 D(Y)=2n。 所以 )解析：29.设总体 X服从参数为 p的几何分布，如果取得样本观测值为 x 1 ，x 2 ，x n ，求参数 p的矩估计值与最大似然估计值。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为总体 X服从参数为 p的几何分布，所以总体 X的一阶原点矩为 v 1 (x)=E(X)= 用样本一阶原点矩的观测值 作为 v 1 (X)的估计值，则可得参数 p的估计值为 所以参数 p的矩估计值为 参数 p的似然函数为 两边同时取对数，并对参数 p求导，令导函数取值为 0，即 解得 p的最大似然估计值为 )解析：
