1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 8 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机变量 X 的方差存在，并且满足不等式 P|XE(X)|3 则一定有( )（A）D(X)=2 （B） P|XE(X)|3 （C） D(X)2（D）P|XE(X)|32 已知随机变量 X 服从二项分布，且 E(X)=24，D(X)=144，则二项分布的参数 n，P 的值为 ( )（A）n：4，P=06（B） n=6，P=04（C） n=8，P=03（D）n=24，P=013 对任意两个随机变量 X 和 Y，若 E(XY)=E(X).E(Y)，则( )（A）D(XY)=D(
2、X).D(Y)（B） D(X+Y)=D(X)+D(Y)（C） X 与 Y 独立（D）X 与 Y 不独立4 已知随机变量 X 与 Y 均服从 01 分布，且 E(XY)= 则 PX+Y1=( )5 设二维随机变量(X，Y)满足 E(XY)=E(X).E(Y)，则 X 与 Y( )（A）相关（B）不相关（C）独立（D）不独立6 将一枚硬币重复掷 n 次，以 X 和 Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则 X和 Y 的相关系数等于( )（A）一 1（B） 0（C）（D）17 对于任意两随机变量 X 和 Y，与命题“X 和 Y 不相关” 不等价的是( )（A）E(XY)=E(X).E(Y)（B） C
3、ov(X，Y)=0（C） D(XY)=D(X).D(Y)（D）D(X+Y)=D(X)+D(Y)8 假设随机变量 X 在区间一 1，1上均匀分布，则 U=arcsinX 和 V=arccosX 的相关系数等于( )（A）一 1（B） 0（C） 05（D）19 设随机变量 已知 X 与 Y 的相关系数 =1，则PX=0，Y=1的值必为( )（A）0（B）（C）（D）110 设随机变量 X 和 Y 独立同分布，记 U=XY， V=X+Y，则随机变量 U 与 V 必然( )（A）不独立（B）独立（C）相关系数不为零（D）相关系数为零11 设随机事件 A 与 B 互不相容，0P(A)1，0P(B) 1，
4、记X 与 Y 的相关系数为 ，则( )（A）=0（B） =1（C） 0（D）012 设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 的方差分别为 4 和 2，则随机变量 3X 一 2Y的方差是( )（A）8（B） 16（C） 28（D）44二、填空题13 设连续型随机变量 X 的分布函数为 F(x)= 已知 E(X)=1，则D(X)=_14 相互独立的随机变量 X1 和 X2 均服从正态分布 则 D(|X1X2|)=_.15 设随机变量 X 和 Y 的联合分布为 则 X和 Y 的协方差 Cov(X，Y)=_16 已知随机变量 X 的分布函数 F(x)在 x=1 处连续，且 F(1)= 若Y= abc0，
5、则 EY=_17 已知(X，Y)在以点(0，0) ，(1，0)，(1，1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，对(X ， Y)作 4 次独立重复观察，观察值 X+Y 不超过 1 出现的次数为 Z，则EZ2=_18 已知某自动生产线一旦出现不合格产品就立即进行调整，经过调整后生产出的产品为不合格产品的概率是 01，如果用 X 表示两次调整之间生产出的产品数量，则 EX=_。19 设盒子中装有 m 个颜色各异的球，有放回地抽取 n 次，每次 1 个球设 X 表示n 次中抽到的球的颜色种数，则 EX=_20 设随机变量 X 与 Y 的相关系数为 05，EX=EY=0，EX 2=EY2=2，则 E(X+
6、Y)2=_21 设随机变量 X 的概率密度为 f(x)= (一x+)，则随机变量 X 的二阶原点矩为_22 设 X 表示 10 次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为 04，则 X2 的数学期望 E(X2)=_。23 设 ， 是两个相互独立且均服从正态分布 的随机变量，则随机变量| 一 |的数学期望 E(| 一 |)=_24 设随机变量 X 概率分布为 PX=k= (k=0，1，2)，则 E(X2)=_25 设二维随机变量(X，Y)服从 N(，； 2， 2；0)，则 E(XY2)=_26 设随机变量 X1 的分布函数为 F1(x)，概率密度函数为 f1(x)，且 E(X1)=1，随
7、机变量 X 的分布函数为 F(x)=04F 1(x)+06F 1(2x+1)，则 E(X)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。27 某流水线上每个产品不合格的概率为 p(0p1)，各产品合格与否相对独立，当出现 1 个不合格产品时即停机检修设开机后第 1 次停机时已生产了的产品个数为 X，求 X 的数学期望 E(X)和方差 D(X)28 设随机变量 X 的概率密度为 对 X 独立地重复观察 4 次，用 Y 表示观察值大于 的次数，求 Y2 的数学期望29 已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有 3 件合格品和 3 件次品，乙箱中仅装有 3 件合格品从甲箱中任取 3 件产
8、品放入乙箱后，求：(I)乙箱中次品件数的数学期望；()从乙箱中任取一件产品是次品的概率30 设 A，B 为随机事件，且 令求：(I)二维随机变量(X，Y) 的概率分布； ()X 和 Y 的相关系数 XY31 设 X1,X2，X n(n2) 为来自总体 N(0，1)的简单随机样本， 为样本均值，记i=1，2， n求：(I)Y i 的方差 D(Yi)，i=1，2，n； ()Y 1 与Yn 的协方差 Cov(Y1，Y n)32 设随机变量 X 和 Y 的概率分布分别为P(X2=Y2)=1(I)求二维随机变量(X，Y) 的概率分布；() 求 Z=XY 的概率分布；()求 X 与 Y 的相关系数 XY.
9、33 设二维离散型随机变量(X，Y)的概率分布为：(I)求P(X=2Y)；( )求 Cov(X 一 Y，Y)考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 8 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由于事件|XE(X)| 3是事件|XE(X)|3的对立事件，且题设P|XE(X)|3 ，因此一定有 P|XE(X)|3 选项 D 正确 进一步分析，满足不等式 P|XE(X)|3 的随机变量，其方差既可能不等于 2，亦可以等于2，因此选项 A 与 C 都不能选若 X 服从参数 n=8，p=05 的二项分布，则有E(X)=4，D(X)=2但是
10、 P|XE(X)|3=P|X 一 4|3=PX=0+PX=1+PX=7+PX=8= 因此选项 B 也不成立故选 D【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 B【试题解析】 因为 XB(n，P)，所以 E(X)=np，D(X)=np(1 一 P)，将已知条件代入，可得 解此方程组，得 n=6，p=04，故选项 B 正确【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 B【试题解析】 因为 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E(XY)一 E(X).E(Y)， 可见 D(X+Y)=D(X)+D(Y) E(XY)=E(X).E(Y)，故选项 B 正确 对于随机变量 X 与 Y，下面四个结论是等价
11、的 Cov(X，Y)=0；X 与 Y 不相关；E(XY)=E(X)E(Y)；D(X+Y)=D(X)+D(Y)【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 C【试题解析】 因为 X 与 Y 均服从 0 一 1 分布，所以可以列出(X，Y) 的联合分布如下： 又已知 E(XY)= 即 P22= 从而 PX+Y1=P11+P12+P21=1 一 P22= 故选项 C 正确【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 B【试题解析】 因 E(XY)=E(x)E(Y)，故 cov(X，Y)=E(XY) 一 E(X)E(Y)=0，所以 X 与 Y 不相关，故选项 B 正确【知识模块】 概率论与数理统计
12、6 【正确答案】 A【试题解析】 根据题意，y=nX，故 XY=一 1应选 A 一般来说，两个随机变量 X 与 Y 的相关系数 XY 满足| XY|1 若 Y=aX+b(a，b 为常数)，则当 a0 时，XY=1，当 a0 时， XY=一 1【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 C【试题解析】 因为 Cov(X，Y)=E(XY)一 E(X)E(Y)=0 是“X 和 Y 不相关”的充分必要条件，所以 A 与 B 等价由 D(X+Y)=D(X)+D(Y)的充分必要条件是Cov(X，Y)=0，可见选项 B 与 D 等价于是，“X 和 Y 不相关”与选项 A，B 和 D等价故应选 C【知识模
13、块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 A【试题解析】 因为 U=arcsinX 和 V=arccosX 满足下列关系：即 由于 U 是 V 的线性函数，且其增减变化趋势恰恰相反，所以其相关系数 =一 1应选 A【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 D【试题解析】 因为 Cov(U，V)=E(UV)一 E(U).E(V) =E(X2 一 Y2)一 E(X 一 Y).E(X+Y) =E(X2)一 E(Y2)一 E2(X)+E2(Y) =D(X)一 D(Y)=0则所以 U 与 V 的相关系数为零，故选 D【知识模块】 概率
14、论与数理统计11 【正确答案】 C【试题解析】 选项 B 不能选，否则选项 D 必成立因此仅能在选项 A、C、D 中考虑，即考虑 的符号，而相关系数符号取决于 Coy(X，Y)=E(XY)-E(X).E(Y)，根据题设知 E(X)=P(A)，E(Y)=P(B) ，XY- (因为 P(AB)=0)，所以 Cov(X，Y)=一 E(X).E(Y)0，故选 C【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查方差的运算性质，是一道纯粹的计算题可根据方差的运算性质 D(C)=0(C 为常数)，D(CX)=C 2D(X)以及相互独立随机变量的方差性质D(XY)=D(X)+D(Y)
15、自行推演故选项 D 正确【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题13 【正确答案】 1【试题解析】 根据题意已知连续型随机变量 X 的分布函数为【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 【试题解析】 根据题意随机变量 X1 和 X2 相互独立，且服从正态分布 设Z=X1X2，则 ZN(0 ，1)，其概率密度函数为 (z)= D(|X1-X2|)=D(|Z|)=E(|Z|2)一 E2|Z|=E(Z2)-E2|Z|=D(Z)+E2(Z)一 E2|Z|，显然，D(Z)=1，E(Z)=0 【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 一 01【试题解析】 根据题意可知 显然，E(X)=05
16、，E(Y)=(一 1)03+103=0E(XY)=一 PXY=一 1+PXY=1=一 02+0 1=一 01Coy(X，Y)=E(XY)一 E(X)E(Y)=一 010=一 01【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 【试题解析】 根据离散型随机变量期望公式计算由于 F(x)在 x=1 处连续，故 E(Y)=aPX1+bPX=1+cPX 1 =a1 一 PX1+bPX=1+cPX【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 5【试题解析】 根据题干可知(X，Y)的联合概率密度函数为令事件 A=“X+Y1”，则 Z 是 4 次独立重复试验事件 A 发生的次数，故 ZB(4，P)，其
17、中如图 41 所示【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 10【试题解析】 X 是离散型随机变量，其可能的取值为 1，2，令 P(A1 )=P调整后生产出的产品前 k 一 1 个为合格品，第 k 个为不合格品=PX=k，其中Ai=“第 i 个生产出的产品为合格品”，A i 相互独立，P(A i)=09，故 PX=k=09 k-101 ，【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 【试题解析】 则 X=X1+X2+Xm 事件“X i=0”表示 n 次中没有抽到第 i 种颜色的球，由于是有放回抽取，n 次中各次抽取结果互不影响，所以有【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】
18、 6【试题解析】 由已知条件得，D(X)=E(X 2)一 E2(X)=2，同理，D(Y)=2则有E(X+Y)=E(X)+E(Y)=0， E(X+Y)2=D(X+Y)+E2(X+Y)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y) =2+2+2=6【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 【试题解析】 根据题意，即求 E(X2)首先对所给概率密度作变换：对于 x(一x+)，有【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 184【试题解析】 根据题意可知，X 服从 n=10，p=0 4 的二项分布，因此有 E(X)=np=4，D(x)=np(1 一 p)=24， 因此 E(X2)
19、=D(X)+E2(X)=184【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 【试题解析】 因为 ， 相互独立且均服从正态分布 所以 Z= 一 也服从正态分布，且 E(Z)=E()一 E()=0，D(Z)=D()+D()= 即ZN(0，1) 因此【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 2【试题解析】 由概率密度的性质 ，有 即PX=k= ，k=0，1，2，为参数为 1 的泊松分布，则有 E(X)=1，D(X)=1，故 E(X2)=D(X)+E2(X)=2【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 3+2【试题解析】 由于 =0，选项二维正态分布的性质可知随机变量 X，Y 独立
20、，所以 E(XY 2)=E(X).E(Y2) 已知(X ，Y)服从 N(，； 2， 2；0)，则 E(X)=，E(Y 2)=D(Y)+E2(Y)=2+2，所以 E(XY 2)=(2+2)=3+2【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 04【试题解析】 根据题意已知随机变量 X1 的分布函数为 F1(x)，概率密度函数为f1(x)，可以验证 F1(2x+1)为分布函数，记其对应的随机变量为 X2，其中 X2 为随机变量 X1 的函数，且 记随机变量 X2 的分布函数为 F2(x)，概率密度函数为 f2(x)，所以 X 的分布函数为 F(x)=04F 1(x)+06F 2(x)，两边同时
21、对 x 求导得f(x)=04f 1(x)+06f 2(x)，于是 -+xf(x)dx=04 -+xf1(x)dx+06 -+xf2(x)dx，即 E(X)=04E(X 1)+06E(X 2)=04E(X 1)+【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。27 【正确答案】 令 q=1 一 p，所以 X 的概率分布为 PX=k=qk-1p，(k=1 ，2，)，故 X 的数学期望为【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 (I)X 的可能取值为 0，1，2，3，所以 X 的概率分布为()设 A 表示事件“
22、 从乙箱中任取一件产品是次品” ，由于X=0，X=1，X=2，X=3构成完备事件组，因此根据全概率公式，有【知识模块】 概率论与数理统计30 【正确答案】 ()X，Y 的概率分布分别为【知识模块】 概率论与数理统计31 【正确答案】 根据题设，知 X1，X 2，X n(n2)相互独立，且 E(Xi)=0，D(X i)=1(i=1，2，n)，()因为已知X1，X 2，X n(n2) 相互独立，【知识模块】 概率论与数理统计32 【正确答案】 (I)由于 P(X2=Y2)=1，因此 P(X2Y2)=0 故 P(X=0，Y=1)=0，可知 P(X=1，Y=1)=P(X=1，Y=1)+P(X=0，Y=
23、1)=P(Y=1)= 再由 P(X=1，Y=0)=0 可知 P(X=0，Y=0)=P(X=1，Y=0)+P(X=0，Y=0)=P(Y=0)= 同理，由 P(X=0，Y= 一1)=0 可知 P(X=1，Y= 一 1)=P(x=1，Y= 一 1)+p(X=0，Y=一 1)=P(Y=一 1)= 这样，我们就可以写出(X，Y) 的联合分布如下：()Z=XY 可能的取值有一 1，0，1其中 P(Z=一 1)=p(X=1，Y=一 1)= ，P(Z=1)=P(X=1，Y=1)=则有 P(Z=0)= 因此，Z=XY 的分布律为【知识模块】 概率论与数理统计33 【正确答案】 (I)P(X=2Y)=P(X=0，Y=0)+P(X=2，Y=1)= ()Cov(XY ，Y)=Cov(X，Y)一Cov(Y，Y)，Cov(X，Y)=E(XY)一 EXEY，其中【知识模块】 概率论与数理统计
