1、考研数学三（概率论与数据统计）模拟试卷 32 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设二维随机变量(X，Y)满足 E(XY)=EXEY，则 X 与 Y（A）相关（B）不相关（C）独立（D）不独立2 将一枚硬币重复掷 n 次，以 X 和 Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则 X和 Y 的相关系数等于（A）一 1（B） 0（C）（D）13 对于任意二随机变量 X 和 Y，与命题“X 和 Y 不相关” 不等价的是（A）EXY=EXEY（B） Cov(X，Y)=0（C） DXY=DXDY（D）D(X+Y)=DX+DY4 假设随机变量 X 在区间一 1，1上服
2、从均匀分布，则 U=arcsinX 和 V=arccosX的相关系数等于（A）一 1（B） 0（C） 05（D）15 设随机变量 X1，X 2，X n(n1)独立同分布，且方差 20，记的相关系数为（A） 一 1（B） 0 （C）（D）16 设随机变量 X 的方差存在，并且满足不等式 则一定有（A）DX=2（B）（C） DX2（D）7 设随机变量 X1，X 2，X n 相互独立同分布，其密度函数为偶函数，且DXi=1，i=1 ，n，则对任意 0，根据切比雪夫不等式直接可得（A）（B）（C）（D）二、填空题8 两名射手各向自己的靶独立射击，直到有一次命中时该射手才(立即)停止射击如果第 i 名射
3、手每次命中概率为 pi(0p i1，i=1，2)，则两射手均停止射击时脱靶(未命中 )总数的数学期望为9 将长度为 L 的棒随机折成两段，则较短段的数学期望为 _10 设随机变量 X 和 Y 的相关系数为 09，若 Z=2X1，则 Y 与 Z 的相关系数为_11 设随机变量 X 和 Y 的相关系数为 05，EX=EY=0，EX 2=EY2=2，则 E(X+Y)2=_12 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 XB(5，08)，Y N(1，1)，则P0X+Y10_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 设某网络服务器首次失效时间服从 E()，现随机购得 4 台，求下列事件的概率：
4、13 事件 A：至少有一台的寿命(首次失效时间)等于此类服务器期望寿命；14 事件 B：有且仅有一台寿命小于此类服务器期望寿命15 设随机变量 X 服从(0，1)上的均匀分布，求下列 Yi(i=1，2，3，4)的数学期望和方差：(I)Y 1=ex；()Y 2=一 2lnx；() ()Y 4=X216 设 X 和 Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为其中 0， 0 是常数，引入随机变量 求 E(Z)和 D(Z)17 设随机变量 X，Y 相互独立，已知 X 在0，1上服从均匀分布，Y 服从参数为1 的指数分布求(I)随机变量 Z=2X+Y 的密度函数；()Cov(Y，Z) ，并判断 X 与Z
5、 的独立性17 设二维随机变量 记 X=U 一 bVY=V18 问当常数 b 为何值时，X 与 Y 独立?19 求(X，Y)的密度函数 f(X，Y)20 设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为试求：(I)数学期望 EX，EY，；()方差 DX，DY；() 协方差 COV(X，Y) ，D(5X 一 3Y)21 设二维随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)0x1，0y2上服从均匀分布，令 Z=min(X，Y) ，求 EZ 与 DZ22 设 X1，X 2，X 12 是取自总体 X 的一个简单随机样本，EX=，DX=记Y1=X1+X8，Y 2=X5+X12，求 Y1 与 Y2 的相关系数23 写了
6、 n 封信，但信封上的地址是以随机的次序写的，设 Y 表示地址恰好写对的信的数目，求 EY 及 DY24 设随机变量 X 和 Y 独立，并且都服从正态分布 N(， 2)，求随机变量z=min(X，Y)的数学期望25 将一颗骰子重复投掷 n 次，随机变量 X 表示出现点数小于 3 的次数，Y 表示出现点数不小于 3 的次数求 3X+Y 与 X 一 3Y 的相关系数26 设随机变量 U 服从二项分布 随机变量求随机变量 X 一 Y，与 X+Y的方差和 X 与 Y 的协方差27 设二维连续型随机变量(x，Y)在区域 D=(x，y)x 2+y21上服从均匀分布(I)问 X 与 Y 是否相互独立； ()
7、求 X 与 Y 的相关系数考研数学三（概率论与数据统计）模拟试卷 32 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因 E(XY)=EXEY，故 Cov(X，Y)=E(XY)一 EXEY=0，X 与 Y 不相关，应选(B)【知识模块】 概率论与数据统计2 【正确答案】 A【试题解析】 依题意，Y=nX，故 XY=一 1应选(A)一般来说，两个随机变量 X 与 Y 的相关系数 Pxv 满足 XY1若 Y=aX+b，则当 a0 时， XY=1，当 a0 时， XY=一 1【知识模块】 概率论与数据统计3 【正确答案】 C【试题解析】 由
8、于 Cov(X，Y)=EXYEXEY=0 是 “X 和 Y 不相关”的充分必要条件，可见(A) 与(B)等价由 D(X+Y)=DX+DY 的充分必要条件是 Cov(X，Y)=0，可见(B)与 (D)等价于是， “X 和 Y 不相关”与(A)，(B) 和(D)等价故应选(C) 选项(C)不成立是明显的，为说明选项(C) 不成立，只需举一反例设 X 和 Y 同服从参数为 P(0P1)的 01 分布且相互独立，从而 X 与 Y 不相关易见 DX=DY=P(1一 P)；乘积 XY 服从参数为 P2 的 01 分布： PXY=1=PX=1，Y=1=P2，PXY=0=1 一 P2 因此 DXY=P2(1
9、一 P2)P2(1 一 P)2=DXDY【知识模块】 概率论与数据统计4 【正确答案】 A【试题解析】 注意到 U=arcsinX 和 V=arccosX 满足下列关系：即 由于 U 是 V 的线性函数，且其增减变化趋势恰恰相反，所以其相关系数 =一 1应选(A)【知识模块】 概率论与数据统计5 【正确答案】 B【试题解析】 由于 Xi 独立同分布，故故应选(B)【知识模块】 概率论与数据统计6 【正确答案】 D【试题解析】 因事件 X EX3是事件 XEX3的对立事件，且题设PXEX 3 因此一定有 即选项(D)正确进一步分析，满足不等式 的随机变量，其方差既可能不等于 2，亦可以等于 2，
10、因此结论(A) 与 (C)都不能选比如：X 服从参数为 p 的 0 一 1 分布，DX=Pq1，显然 DX2，但是 因此(A)不成立若 X 服从参数 n=8， p=05 的二项分布，则有 EX=4，DX=2但是 PX EX3 1=PX 一 43因此(B)也不成立【知识模块】 概率论与数据统计7 【正确答案】 C【试题解析】 由题意知 EXi=0，i=1，n记根据切比雪夫不等式，有故选(C)【知识模块】 概率论与数据统计二、填空题8 【正确答案】 -2【试题解析】 每位射手的射击只有两个基本结果：中与不中，因此两射手的每次射击都是一个伯努利试验每位射手直到他有一次命中时方停止射击，因此此时的射击
11、次数应服从几何分布；此时的射击次数一 1=未击中的次数以 Xi 表示第 i 名射手首次命中时的脱靶数，则此时他的射击次数 Xi+1 服从参数为 pi 的几何分布，因此 PXi=k=(1 一 pi)kpi，i=1，2，且 于是 EXi=两射手脱靶总数 X=X1+X2 的期望为【知识模块】 概率论与数据统计9 【正确答案】 【试题解析】 设 X 为折点到左端点的距离，Y 为较短段的长，则 XU(0 ，L)，且【知识模块】 概率论与数据统计10 【正确答案】 0.9【试题解析】 Cov(Y，Z)=Cov(Y，2X1)=2Cov(X，Y) ，DZ=D(2X 一 1)=4DXY 与 Z 的相关系数 pY
12、Z 为【知识模块】 概率论与数据统计11 【正确答案】 6【知识模块】 概率论与数据统计12 【正确答案】 0.928【试题解析】 由于 EX=4，DX=08，EY=1 ，DY=1 ，所以 E(X+Y)=EX+EY=5， D(X+Y)=DX+DY=18根据切比雪夫不等式【知识模块】 概率论与数据统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 概率论与数据统计13 【正确答案】 设服务器首次失效时间为 X，则 XE()由题设 XE()可知，X 为连续型随机变量由于连续型随机变量取任何固定值的概率是 0，因此 P(A)=0【知识模块】 概率论与数据统计14 【正确答案】 由于
13、XE()，则 ，即服务器的期望寿命为 从而一台服务器的寿命小于此类服务器期望寿命 E(X)的概率为而每台服务器的寿命可能小于 E(X)，也可能超过E(X)，从而 4 台服务器中寿命小于 E(X)的台数应该服从二项分布，故所求概率为P(B)=C41p0(1 一 P0)3=4e 一 3(1 一 e 一 1)【知识模块】 概率论与数据统计15 【正确答案】 直接用随机变量函数的期望公式，即(44)式，故(I)()()()【知识模块】 概率论与数据统计16 【正确答案】 由于 Z 为 01 分布，故 E(Z)=PZ=1，D(Z)=PZ=1.PZ=0而【知识模块】 概率论与数据统计17 【正确答案】 (
14、X，Y) 的联合密度应用独立和卷积公式()由于 X，Y 相互独立，所以 Cov(X，Y)=0 Cov(Y，Z)=Cov(Y ，2X+Y)=2Cov(X，Y)+DY=0+1=1 由于 所以 X 与 Z 不独立【知识模块】 概率论与数据统计【知识模块】 概率论与数据统计18 【正确答案】 由于 X=UbV，Y=V ，且 ，故(X ，Y)服从二维正态分布，所以 X 与 y 独立等价于 X 与 Y 不相关，即 Cov(X，Y)=0，从而有解得b=1，即当 b=1 时，X 与 Y 独立【知识模块】 概率论与数据统计19 【正确答案】 由正态分布的性质知 X=UV 服从正态分布，且所以XN(0 ，3) ，
15、同理 Y=VN(2，1)又因为 X 与 Y 独立，故【知识模块】 概率论与数据统计20 【正确答案】 根据随机变量函数的期望公式(44)，可以逐一计算出EX，EY，EX 2，EY 2 与 EXY：【知识模块】 概率论与数据统计21 【正确答案】 先求出 Z 的分布函数 FZ(Z)与概率密度 fZ(Z)，再计算 EZ 与DZ当 z0 时，F Z(z)=0，当 z1 时，F Z(z)=1，当 0z1 时，【知识模块】 概率论与数据统计22 【正确答案】 根据简单随机样本的性质，X 1， X2，X 12 相互独立且与总体X 同分布，于是有DY1=D(X1+X8) =DX1+DX8=802，DY 2=
16、D(X5+X12) =DX5+DX12=802，Cov(Y 1，Y 2)=Cov(X1+X8，X 5+X12)=Cov(X5，X 5)+Cov(X6，X 6)+Cov(X7，X 7)+Cov(X8，X 8)=402，于是 Y1 与 Y2 的相关系数为【知识模块】 概率论与数据统计23 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数据统计24 【正确答案】 设 U=(X 一 )，V=(Y 一 )，有 Z=minU+，V+=minU，V+U 和 V 服从标准正态分布 N(0，1)，其联合密度为由求随机变量函数的数学期望的一般式，有(见图44)【知识模块】 概率论与数据统计25 【正确答案】 依题意X 服从
17、二项分布，参数 p 为掷一颗骰子出现点数小于 3的概率，即 ，因此有【知识模块】 概率论与数据统计26 【正确答案】 先求出 X 与 Y 的概率分布及 XY 的概率分布即其次计算EX，EY，DX ，DY 与 E(XY)即最后应用公式可得【知识模块】 概率论与数据统计27 【正确答案】 依题意，(X，Y)的联合密度为 (I)为判断 X 与 Y 的相互独立性，先要计算边缘密度 fX(x)与 fY(y)当x1 时，fX(x)=0类似地，有 当 x=y=0 时，显然它们不相等，因此随机变量 X与 Y 不是相互独立的或 fX(x).fY(y)f(x，y)，故 X 与 Y 不相互独立()在这里，被积函数是奇函数，而积分区间一 1，1又是关于原点对称的区间，故积分值为零类似地，有【知识模块】 概率论与数据统计
