1、专升本高等数学二（一元函数积分学）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题1 cos x 的一个原函数是 ( )2 经过点(1 ，0) 且在其上任一点 x 处的切线斜率为 3x2 的曲线方程是 ( )（A）y=x 3 一 1（B） y=x2 一 1（C） y=x3+1（D）y=x 3C3 已知f(x 2)dx= +C，则 f(x)= ( )4 xf(x2)f(x2)dx= ( )（A） f2(x2)+C（B） f2(x2)+C（C） f(x2)+C（D）4f 2(x2)+C5 11(3x2+sin5x)dx= ( )（A）一 2（B）一 1（C） 1（D）26 0xetdt= ( )（A）e x（
2、B） ex 一 1（C） ex1（D）e x17 设 f(x)连续，则 (0xtf(x2t 2dt)= ( )（A）xf(x 2)（B）一 xf(x2)（C） 2xf(x2)（D）一 2xf(x2)8 设函数 f(x)=0xet2dt，则 f(0)= ( )（A）0（B） 1（C） 2（D）e9 由曲线 y= ，直线 y=x，x=2 所围面积为( )（A） 12( 一 x)dx（B） 12(x 一 )dx（C） 12(2 一 )dy+12(2 一 y)dy（D） 12(2 一 )dx+12(2 一 x)dx二、填空题10 =_11 已知函数 f(x)在0，1上有连续的二阶导数，且 f(0)=1
3、，f(1)=2，f (1)=3，则定积分 01xf(x)dx 的值等于_ 12 设 f(x)=ex ，则 12 dx=_13 当 p_时，反常积分 1 dx 收敛14 由 y=x3 与 y= 所围成的图形绕 Ox 轴旋一周所得旋转体的体积为_15 求(xe x)dx16 计算 17 求x 2exdx18 计算 19 求 20 设 1 ( 1)dx=1，求常数 a，b21 若 f(x)= 01f(t)dt，求 f(x)22 已知 0x(x 一 t)f(t)dt=1 一 cosx，证明： 0 f(x)dx=122 已知曲线 y=x2，23 求该曲线在点(1，1) 处的切线方程；24 求该曲线和该切
4、线及直线 y=0 所围成的平面图形的面积 S；25 求上述平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积 V25 已知曲线 y= (a0)与曲线 y= 在点(x 0，y 0)处有公共切线，求26 常数 a 及切点 (x0，y 0)；27 两曲线与 x 轴围成的平面图形的面积 S专升本高等数学二（一元函数积分学）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 B【试题解析】 +C(C 为任意常数)，可知当 C=0 时，cos x 的一个原函数是，故选 B【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 A【试题解析】 因为 y=3x2,所以 y=ydx=x3+C，又过点(1，0)，所以 C=一 1【
5、知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 B【试题解析】 f(x 2)dx= +C，两边求导得 f(x2)= ，所以 f(x)= 【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 A【试题解析】 xf(x 2)f(x2)dx= f(x2)f(x2)d(x2)= f(x2)df(x2)= f2(x2)C【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 D【试题解析】 1 1(3x2+sin5x)dx=31 1x2dx+1 1sin5xdx，因为 f1(x)=x2 为偶函数，所以 11x2dx=201x2dx= ，因为 f2(x)=sin5x 为奇函数，所以 1 1sin5xdx=0故1 1(3x2+s
6、in5x)dx= 3=2【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 A【试题解析】 因为 axf(t)dt=f(x)，故 0xetdt=ex【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 A【试题解析】 0xtf(x2 一 t2)dt f()d则 0xtf(x2t 2)dt= 0x2f()d=xf(x2)，故选 A【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 B【试题解析】 因为 f(x)=0xet2dt，所以 f(x)=ex2，f (0)=1【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 B【试题解析】 曲线 y= 与直线 y=x，x=2 所围成的区域 D 如图 34 所示，则SD=12(x
7、一 )dx【知识模块】 一元函数积分学二、填空题10 【正确答案】 xarctanx+C【试题解析】 =xarctanx+C【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 2【试题解析】 01xf(x)dx=01xdf(x)=xf(x) 01 01f(x)dx=f(1)一f(1) 一 f(0)=32+1=2【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 【试题解析】 由 f(x)=e x 知，f (x)=一 ex ，因此 f(lnx)= ，所以 【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 0【试题解析】 =xp1 ， 0 dx 0 xp1 dx= xp 0 ，只有当 P0 时，0 xp1
8、dx 才收敛，也即 0 dx 收敛，故 p0 时， 0 dx 收敛【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 【试题解析】 交于点(0，0)，(1，1) ，故绕 Ox 轴旋转一周所得旋转体的体积为 V=01(xx 6)dx= 【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 (xe x)dx=xdxe xdx= 一 ex+C【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 x 2exdx=x2dex=x2ex 一2xe xdx=x2ex 一 2xdex=x2ex 一 2(xexe xdx)=x2ex 一 2xex+2ex+C【知识模块】 一元函数
9、积分学18 【正确答案】 令 x=2sint，如图 33，t ，则 dx=2costdt，【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 =sin1【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 由此积分收敛知，应有 b 一 a=0，即 b=a， 故 ln(1+a)=1，所以 1+a=e，a=e 一 1，且 b=e 一 1【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 设 01f(t)dt=k，则两边同时在0，1上定积分得 求得 k= 【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 因 0x(xt)f(t)dt=1 一 cosx，于是有 0xxf(t)dt 0xtf(t)dt=1 一cosx，
10、即 x 0xf(t)dt0xtf(t)dt=1 一 cosx，两边求导得 0xf(t)dt+xf(x)一 xf(x)=sinx，从而有 0xf(t)dt=sinx，故 =1【知识模块】 一元函数积分学【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 因为 y=2x，所以在点(1，1)处的切线方程为 y=2(x 一 1)+1=2x 一1；【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 S= 01 ；【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 V= 01(x2)2dx 一 【知识模块】 一元函数积分学【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 由题设条件可得 解此方程组可得 a= ，x 0=e2，y 0=1，于是切点为(e 2，1)【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 画出曲线 y= 的图形，则两曲线与 x 轴围成的平面图形(如图37)的面积 S=01(e2y 一 e2y2)dy= 【知识模块】 一元函数积分学
