1、河北专接本数学（一元函数微分学）模拟试卷 12 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 曲线 y=ln(2x2)+2x2 上对应于 x=1 处的法线方程是( )（A）y2=2(x 一 1)；（B） y2=一 (x 一 1)；（C） y+2=2(x 一 1)；（D）y+2=一 (x 一 1)2 曲线 处的切线方程是( )3 设 f(x)=x2，则 f(2)满足( )（A）值为一 2；（B）值为 2；（C）值为 1；（D）不存在4 对函数 y=3x3，下面正确的结论是( ) （A）(0 ，0)处曲线 y=3x3 没有切线；（B） f(0)是极小值；（C） (0，0
2、) 是曲线 y=3x3 的拐点；（D）f(0)是极大值5 设 f(x)= ，要使 f(0)存在，则 a，b 的值分别是( )（A）a=1 ，b=1；（B） a=1，b=0；（C） a=0，b=0；（D）a= 一 1，b=一 1二、填空题6 设曲线方程为 ，则 y=_。7 已知(2 ，4)是曲线 y=x3+ax2+bx+c 的拐点，且曲线在 c=3 处有极值，则a=_，b=_，c_ 。8 曲线 y=ln(1+x2)的凹区间为_9 函数 f(x)=x 一 1+2 的最小值点是_三、综合题10 求函 y= 的单调区间和极值11 设 f(x+1)=4x2+3x+1，g(x)=f(e x)，求 g(x)
3、12 设 y=f(sin2x)+f(cos2x)，f 二阶可导，求 y，y“13 欲做一个容积为 V m3 的无盖圆柱形储粮桶，底用铝制，侧壁用木板制，已知每平米铝价是木板价的 5 倍，问怎样做才能使费用最少14 已知某商品的需求函数为 Q=1000100P，总成本函数为 C=1000+3Q，求使总利润最大的价格 P15 窗子的上半部为半圆，下半部是矩形，如果窗子的周长 L 固定，试问当圆的半径 r 取何值时能使窗子的面积最大?16 将边长为 a 的正方形铁皮于各角截去相等的小正方形，然后折起各边做成一个无盖的方盒，问截去的小正方形的边长为多少时，可使得无盖方盒容积为最大?17 设甲船位于乙船
4、东 75 海里，若甲船以 1 2 海里小时的速度向西行驶，而乙船同时以 6 海里小时的速度向北行驶，问经过多长时间，两船相距最近?18 已知函数 f(x)=x2+2x 在区间0，1上满足拉格朗日中值定理，求相关的 值19 设函数 f(x)在0，a上连续，在(0，a) 内可导，且 f(a)=0，证明存在 (0，a) 使得 f()+f()=020 一工厂每批生产某商品 x 台的费用为 C(x)=5x+200(万元)，得到的收益为 R(x)=10x=10x001x 2(万元) ，问每批生产多少台，才能使利润最大21 设某厂每天生产某种产品 x 单位时的总成本函数为：C(x)=05x 2+36x+98
5、00(元) ，问每天生产多少个单位产品时，其平均成本最低?22 设某厂生产某种产品 x 个单位时，其销售收益为 R(x)=求使总利润达到最大的产量 x23 设某工厂生产某种商品的固定成本为 200(百元)，每生产一个单位商品成本增加5(百元 )，且已知需求函数 Q=1002P(其中 P 为价格， Q 为产量)这种商品在市场上是畅销的(1)试分别列出该商品的总成本函数 C(P)和总收益函数 R(P)表达式 (2)求出使该商品的总利润最大的产量24 已知某产品需求函数和总需求函数分别为：P(x)=10002x，C(x)=5000+20x 其中 x 为销售量，P 为价格。求边际利润，并计算 x=24
6、0，245 和 250 时的边际利润，解释其经济意义25 欲做一个容积为 300 立方米的无盖圆柱形蓄水池，已知池底单位造价为周围单位造价的两倍。问蓄水池的尺寸应怎样设计才能使总造价最低?河北专接本数学（一元函数微分学）模拟试卷 12 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 B【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 C【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 D【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 C【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 A【知识模块】 一元函数微分学二、填空题6 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学
7、7 【正确答案】 一 69，2【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 (一 1，1)【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 x=1【知识模块】 一元函数微分学三、综合题10 【正确答案】 单调递减区间(一，一 1)和(一 1，0)；单调递增(0，+)；极小值为 f(0)=1【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 f(x+1)=(4x 2+8x+4)一 5x5+2=4(x+1)2 一 5(x+1)+2 令 u=x+1 得：f(u)=4u2 一 5u+2f(x)=4x 2 一 5x+2 g(x)=f(ex)=4e2x 一 5ex+2 g(x)=一 8e2x+5ex【知识模块】
8、一元函数微分学12 【正确答案】 y=sin2xf(sin 2x)一 f(cos2x) y“=2cos2xf(sin2x)一 f(cos2x)+sin22xf“(sin2x)+f“(cos2x)【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 底半径 r= ，桶高为 h=5r，即桶高与底半径之比为 5：1【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 6.5【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 第 5 小时末，两船相距最近【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 【知识模块】 一元函数
9、微分学19 【正确答案】 设 F(x)=xf(x)，则 F(x)在闭区间0 ，a上连续，在开区间(0，a)内可导，且 F(a)=0=F(0)，因此由罗尔定理知，存在 (0，a)使得 F()=0，即 f()+f()=0【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 250【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 140【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 2.08【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 (1)总成本函数 C(P)=200+5Q=200+5(1002P)=700 一 10P； 总收益函数 R(P)=PQ=P(100 一 2P)=100P 一 2P2 (2)总
10、利润函数 L(P)=R(P)一 C(P)=一2P2+110P 一 700， 令 L(P)=0 得一 4P+110=0，P=275 因 L“(P)=一 40，所以当 P=275 时总利润最大， 此时产量为 Q=1002275=45(百元)【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 利润函数为 L(x)=R(x)一 C(x)=pxC(x)=一 2x2+980x 一 5000 则边际利润为 L(x)=一 4x+980 由此计算得 L(240)=20，L(245)=0，L(250)=一 20， L(240)=20 的经济意义是，当销售量为 240 个单位时，再多销售 1 个单位产品，利润将增加 20 个单位；而 L(250)=一 20，则表明，当销售量为 250 个单位时，再多销售 1 个单位产品，利润将减少 20 个单位；L(245)=0 表明，当销售量达到 245 个单位时，利润达到最大值，再增加或减少销售量，利润均会减少【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 底半径 米，高为底半径的 2 倍【知识模块】 一元函数微分学
