1、全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷 11 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 设矩阵 A=(2，1，3) T，B=( 一 1，2)，则 AB= ( )2 与矩阵 相似的对角矩阵为 ( )3 下列矩阵与矩阵 乘法可交换的是 ( )4 设向量组 1， 2， 3 线性无关，则下面向量组中线性无关的是 ( )（A） 1+2， 2+3， 3 一 1（B） 1+2， 2+3， 1+22+3（C） 1+22，2 2+33，3 3+1（D） 1+2+3，2 132+223，3 1+52535 设 则以矩阵
2、 A 为对应的二次型是 ( )（A）f(x 1，x 2，x 3)=x12+2x2x3（B） f(x1，x 2，x 3)=x12+x22=x32（C） f(x1，x 2，x 3)=x32+2x1x2（D）f(x 1，x 2，x 3)=x22+2x1x3二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 行列式 =0 的根为_7 设 ，则 A 的属于特征值 0 的特征向量是 _8 若 A 为 6 阶方阵，齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系中解向量的个数为 2，则r(A)=_.9 设 1， 2， 3 是四元非齐次线性方程组 Ax=b 的 3 个解向量，且 r(A)=3， 1=(1，2，
3、3，4) T， 2+3=(0，1，2，3) T，c 表示任意常数，则线性方程组Ax=b 的通解 x=_10 设 A 是三阶矩阵，其行列式|A|=5，则|(5A*) -1|=_11 行列式12 13 若 线性相关，则 t=_14 设向量 线性相关，则 a=_15 设 n 阶实对称矩阵 A 的特征值分别为 1，2， ，n，则当 t_时，tEA 是正定的三、计算题16 求解下列线性方程组(1) (2)17 已知向量组 1=(t，2， 1)， 2=(2，t，0) ， 3=(1，一 1，1)，试求出 t 为何值时向量 1， 2， 3 线性相关或线性无关18 求方程组 的通解，并求还满足方程 5x1+3x
4、2+6x3一 x4=一 1 的全部解19 设有三维列向量 问 k 为何值时，可由 1， 2， 3 线性表示，且表达式唯一； 可由 1， 2， 3 线性表示，但表达式不唯一； 不能由 1， 2， 3 线性表示20 设有线性方程组 问 m，k 为何值时，方程组有唯一解?有无穷多解? 在有无穷多组解时，求出一般解21 设向量组 1， 2， 3 线性相关，向量组 2， 3， 4 线性无关 (1) 1 能否由2， 3 线性表示 ?证明你的结论 (2) 4 能否由 1， 2， 3 线性表示?证明你的结论22 A 为 mn 矩阵，秩为 m；B 为 n(n-m)矩阵，秩为 n-m；又知 AB=0， 是满足条件
5、 A=0 的一个 n 维列向量，证明：存在唯一个 n 一 m 维列向量 使得 =B四、证明题23 设 1， 2 是方阵 A 的特征根， 12， 1， r 是 A 的对应于 1 的线性无关的特征向量， 1， 5 是 A 的对应于 2 的线性无关的特征向量，证明1， r， 1， s 线性无关全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷 11 答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 C【试题解析】 2 【正确答案】 C【试题解析】 =( 一 1)2(一 2)一 2( 一 1)=( 一 1)2 一
6、3+22=( 一 1)( 一 3)， 所以特征值为1=0， 2=1， 3=3，而相似矩阵有相同的特征值，所以应选 C3 【正确答案】 A【试题解析】 4 【正确答案】 C【试题解析】 选项 A，由于( 1+2)一( 2+3)+(3 一 1)=0，所以该向量组线性相关选项 B，由于( 1+2)+(2+3)=1+22，所以该向量组线性相关选项 C，令k1(1+22)+k2(22+33)+k3(33+1)=0，由向量组 1， 2， 3 线性无关，故故该向量组线性无关选项 D，令1=1+2+3， 2=21 一 32+223， 3=31+5253，有( 1， 2， 3)=(1， 2， 3)因为 ，所以该
7、向量组线性相关5 【正确答案】 D【试题解析】 A 的主对角线元素 1 对应 x22 系数； a13=1，a 31=1，之和对应系数2答案为 D.二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 【正确答案】 0 和一 a1 一 a2 一 a3 一 a4【试题解析】 将第 2，3，4 列加到第 1 列后得=(a1+a2+a3+a4+x)=(a1+a2+a3+a4+x) =(a1+a2+a3+a4+x)x3=0，所以 x=0 和 x=一 a1a2 一 a3 一 a47 【正确答案】 (1，2，3) T【试题解析】 用定义 Ax=x 来判断，这里 =0，故计算 Ax 的值，使 Ax=
8、0 的向量x 就是 A 的属于特征值 0 的特征向量当 x=(1，2，3) T 时，有 Ax=08 【正确答案】 4【试题解析】 矩阵 A 为 6 阶方阵，基础解系中的解向量个数为 2，则 r(A)=62=49 【正确答案】 (1，2，3，4) T+C(2，3，4，5) T，C 为任意常数【试题解析】 因 r(A)=3，未知量个数为 4，故与 Ax=b 相对应的齐次线性方程组Ax=0 的解空间是一维的，又因 1 是 Ax=b 的一个特解，故其通解形如 x=于是有 又由已知得10 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 a 2(a21)【试题解析】 12 【正确答案】 211【试题解析】
9、 依据行列式计算法则：原式=一 2(一 2)(一 2)(一 2)(一 2)+33333=一 32+243=21113 【正确答案】 8【试题解析】 由于 1， 2， 3 线性相关，因此行列式| 1， 2， 3|=t 一 8=0，所以 t=814 【正确答案】 一 10【试题解析】 与 线性相关，因此对应分量成比例，所以 ，所以a=一 1015 【正确答案】 tn【试题解析】 tEA 的特征值为 t 一 1，t 一 2， ，tn若 tEA 是正定的，则 t 一 10，t 一 20，tn0，所以当 t n 时，tEA 是正定的三、计算题16 【正确答案】 (1)系数矩阵取 x3，x 4，x 5 为
10、自由未知量，得故通解即为 x=k11+k22+k33，其中 k1，k 2，k 3 为任意常数 (2)增广矩阵取 x2，x 5 为自由未知量，并令 x2=x5=0，得特解为 =(一 5，0，0，一 4，0) T再分别取 x2=1， x5=0 和 x2=0，x 5=1，得基础解系 1=(-3，1，0，0，0)T， 2=(3，0，0，2，1) T，故方程组的通解 x=+k11+k22，其中 k1，k 2 为任意实数。17 【正确答案】 故当 t一 2，3 时， 1， 2， 3 线性无关当 t=一 2，3 时， 1， 2， 3 线性相关18 【正确答案】 取 x3，x 4 为自由未知量，并令 x3=x
11、4=0，得特解 =(1，一 2，0，0) T，另可得对应齐次性线性方程组的基础解系为 1=(一 9，1，7， 0)T， 2=(1，一 1，0，2) T故原方程组的解即为 x=+k11+k22，k 1，k 2 任取又增广矩阵这表示适合原方程组的解也全部是方程 5x1+3x2+6x3 一 x4=一 1 的解19 【正确答案】 设 k11+k22+k33=，则系数行列式故当 k0，k1 时，上述方程有唯一解故 可由 1， 2， 3 唯一线性表示20 【正确答案】 系数矩阵的行列式为故当 m一 1 时，方程组有唯一解又增广矩阵即当 m=一 1，k=1 时方程有无穷多解取 x3 为自由未知量，并令 x3
12、=0，得特解21 【正确答案】 (1)能证明： 2， 3， 4 线性无关，故 2， 3 也线性无关又1， 2， 3 线性相关，故存在不全为零的数 k1，k 2，k 3，使得k11+k22+k33=0且 k10(否则 k2=k3=0)故 即 1 能由 2， 3 线性表示(2)不能证明：假设 4 能由 1， 2， 3 线性表示，于是向量组1， 2， 3 与 1， 2， 3， 4 等价，得秩( 1， 2， 3)=秩( 1， 2， 3， 4)=秩(2， 3， 4)=3，得 1， 2， 3 线性无关，矛盾，故 4 不能由 1， 2， 3 线性表示22 【正确答案】 证明：B 为 n(nm)矩阵，且秩为
13、nm，故方程 Bx=0 只有零解，先假设 Bx=a 有解，假设 Bx= 有两个不同解 1， 2，则有 B1=，B 2=，故B(1 一 2)=0 得 1=2故 Bx= 在有解的情形只有唯一解下证 Bx= 有解：由AB=0，A 的秩为 m，可知 Ax=0 的基础解系含 n 一 m 个解向量，而 B 的秩为 nm，这表示 B 的 nm 个列向量即构成 Ax=0 的基础解系，设 B 的这 n 一 m 个列向量分别为 1， 2， n-m，又 A=0 故可将 表示成 =k11+kn-mn-m，令=(k1，k 2，k n-m)T即 B=(1， 2， n-m) =(k11+k22+kn-mn-m)= 所以 B= 有解，即存在唯一的 使得 B=，得证四、证明题23 【正确答案】 证明：由题意 A i=1i(i=1，r)，A i=2i(i=1，s) 设k11+krr+l11+lss=0(*) 左乘 A 得 1(k11+krr)+2(l11+lss)=0 (*)式再两边同乘以 1，得 1(k11+krr)+1(l11+lss)=0 一得( 2 一 1)(l11+lss)=0，由 21，可知，l 11+lss=0，又 1， 2， s 线性无关，所以 l1=ls=0，代入(*)式可得 k1=kr=0，与假设相反故 1， r， 1， s线性无关，得证
