1、全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷 28 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 设 A、B 为 n 阶方阵，满足 A2=B2，则必有 ( )（A）A=B（B） A=一 B（C） A= B（D）A 2=B 22 设 A 是 2 阶可逆矩阵，则下列矩阵中与 A 等价的矩阵是 ( )3 线性方程组 无解，则 = ( )（A）0（B） 1（C）一 1（D）任意实数4 设 A 是 n 阶矩阵，C 是 n 阶正交阵，且 B=CAC，则下述结论_不成立 ( )（A）A 与 B 相似（B） A 与 B 等价
2、（C） A 与 B 有相同的特征值（D）A 与 B 有相同的特征向量5 当 t 为_，二次型 f(x1，x 2，x 3)=2x12+x22+3x32+2tx1x2+21x3 是正定的 ( )（A）t2（B） t3（C） t（D）t1二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 行列式 中(3，2)元素的代数余子式 A32=_7 =_8 设 A、B 均为 3 阶矩阵，A=3，B=一 2，则一 2A1B -1= _。9 设 A 为 mn 矩阵，C 是 n 阶可逆矩阵，矩阵 A 的秩为 r，则矩阵 B=AC 的秩为_10 设矩阵 A= 的秩为 2，则 =_11 已知线性方程组 无解
3、，则 =_。12 若 A2=E，则 A 的特征值只能是_13 如果向量 x 是矩阵 A 的特征向量，则_ 是矩阵 P-1AP 的特征向量14 设 A 为实对称矩阵， 1= 是 A 属于不同特征值 1 和 2 的特征向量，则 a=_15 实二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+x2x3 的正惯性指数 p=_。三、计算题16 计算 D= 17 设 f(x)是二次多项式，已知 f(1)=1，f( 一 1)=9，f(2)=一 3，求出 f(3)18 设 A、B 为两个三阶矩阵，且A=一 1，B=5求2(A TB-1)219 设向量 ， ， 满足 5( 一 )+3(+)=0，其中 = ，求+20
4、设向量 1= 都是方阵 A 的属于特征值 的特征向量，又向量=1+22，求 A。21 将线性无关向量组 1= 化为单位正交向量组22 用正交变换将二次型 f(x1，x 2，x 3)=2x12+2x22+2x32 一 2x1x22x1x32x2x3 化为标准型并写出正交变换四、证明题23 已知向量组 1， 2， m 与向量组 1， 2， ， m， 有相同的秩，证明：可由 1， 2， ， m 线性表示全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷 28 答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 D【
5、试题解析】 A 2=B2 A2=AA=BB=B2， A 2=B 2，AA=BB AA= AA= A 2，BB =BB = B 2， A 2=B 2 答案为 D。2 【正确答案】 D【试题解析】 A 是 2 阶可逆矩阵，A 的秩为 2，由于两矩阵等价则矩阵的秩相等，由题知 D 答案中矩阵秩为 2，所以选 D答案为 D。3 【正确答案】 A【试题解析】 当 0 且 一 1 时有惟一解，当 =一 1 时有无穷多解当 =0 时无解答案为 A。4 【正确答案】 D【试题解析】 C 是正交阵，C=C -1，B=C -1AC，因此 A 与 B 相似A 对 C 是正交阵C0，C TAC 相当对 A 实行若干次
6、初等行变换和初等列变换，A 与 B 等价，B 对两个相似矩阵 A、B 有相同的特征值，C 对 (I 一 A)X=0 与(IB)X=0 是两个不同的齐次线性方程组，非零解是特征向量，一般情况这两个方程的非零解常常不同，所以只有 D 不对，选 D答案为 D。5 【正确答案】 C【试题解析】 二次型的矩阵 A= 各阶顺序主子式为 20，二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 【正确答案】 8【试题解析】 A 32(一 1) 3+2 =一(4+4)= 一 87 【正确答案】 一 3【试题解析】 8 【正确答案】 12【试题解析】 一 2ATB-1=(一 2)A TB -1= 一
7、 8A =129 【正确答案】 r【试题解析】 根据矩阵的秩的定理 261 推论：设 A 为 mn 矩阵，P 和 Q 分别是 m 阶和 n 阶可逆矩阵则 r(PA)=r(A)，r(AQ)=r(A)可推出 r(B)=r(AC)r(A)=r10 【正确答案】 1【试题解析】 对矩阵 A 作初等变换，有由此可知，当 一 10 时r(A)=3，而 一 1=0 时 r(A)=2 所以 一 1=0 即 =111 【正确答案】 一 1【试题解析】 当 =一 1 时，第 4 个方程为矛盾方程，因而无解12 【正确答案】 1 或一 1【试题解析】 由 A2=E 得 A 2 一 E=0，(A E)(A+E)=0
8、(A E)(A+E)=0 故AE=0 或 (A+E)=(一 AE)=0 故必有 一 1=0 或一 一 1=0 即=1 或一 113 【正确答案】 P -1x【试题解析】 设 B=P-1AP，则 A=PBP-1，又 Ax=x，所以有 PBP-1x=x，两边同时左乘可逆矩阵 P-1 得 BP-1x=P-1x，即(P -1AP)P-1x=P-1x，由特征值和特征向量的定义即可得到，P -1x 是 P-1AP 的一个特征向量14 【正确答案】 5【试题解析】 由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交，因此( 1， 2)=a一 8+3=a 一 5=0，所以 a=515 【正确答案】 p=2【试题解析】
9、 令 =20，所以经过可逆线性变换二次型化为标准型 f=y12+2y222y32，所以正惯性指数 p=2三、计算题16 【正确答案】 17 【正确答案】 设 f(x)=ax2+bx+c，则有 解得 a=0，b=一4，c=5，从而 f(x)=一 4x+5，f(3)=一 718 【正确答案】 2(A TB-1)2=2 3(A TB-1)2=2 3(A TB-1) 2=23A 2B -2=19 【正确答案】 由于 5 一 5+3+3=0，所以20 【正确答案】 因此 r(A)=321 【正确答案】 用施密特正交化方法，有则 1， 2， 3 是正交向量组，再单位化，有则1， 2， 3 是单位正交向量组
10、22 【正确答案】 首先写出二次型的系数矩阵为 A= A 的特征多项式EA =( 一 3)2，所以 A 的特征值为 1=2=3， 3=0对于 1=2=3 解齐次线性方程组(3E A)X=0，求出基础解系 1=对于 3=0，解齐次线性方程组(A)X=0 ，求出基础解系 3=令 P=(1， 2， 3)= ，则 P 为正交矩阵，经过正交变换 X=PY，二次型化为标准型 f=3y12+3y22四、证明题23 【正确答案】 设 是 1， 2， m 的一个极大无关组，由于1， 2， m， 的秩也是 r，所以 也是 1， 2， m， 的一个极大无关组，所以 可由 仅是 1， 2， ， m 的一个部分向量组，所以 也可由 1， 2， m 线性表示
