1、11.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积【选题明细表】 知识点、方法 题号求几何体的侧面积与表面积 2,3求几何体的体积 1,4,7组合体的表面积与体积 5,6,9综合问题 8,10,11基础巩固1.(2018河南焦作期末)一个圆锥的侧面展开图是一个半径为 2 的半圆,则该圆锥的体积为( D )(A)2 (B) (C) (D)33解析:由题圆锥的底面周长为 2,底面半径为 1,圆锥的高为 ,圆锥的体积为31 2 = ,故选 D.13 32.(2018安徽马鞍山期中)若圆锥的高等于底面直径,则它的底面积与侧面积之比为( C )(A)12 (B)1 3(C)1 (D) 25解析:若圆锥的高等于
2、底面直径,则 h=2r,则母线 l= = r,2+2 5而圆锥的底面面积为 r 2,圆锥的侧面积为 rl= r 2,5故圆锥的底面积与侧面积之比为 1 ,故选 C.53.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( D )(A)2 (B)4 (C)5 (D)6解析:由该几何体是圆柱,底面直径为 2,高 h=2,表面积 S=6.故选 D.4.如图,已知正六棱柱的最大对角面的面积为 4,互相平行的两个侧面的距离为 2,则这个六棱柱的体积为( B )(A)3 (B)6 (C)12 (D)15解析:设正六棱柱的底面边长为 a,高为 h,因为正六棱柱的最大对角面的面积为 4,互相平行的两个侧面的距
3、离为 2,2所以 2ah=4, a=2,解得 a= ,h= ,233 3故 V=Sh=6 ( )2sin 60 =6.故选 B.12 233 35.某几何体的三视图如图所示,俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形,则此几何体的体积是( B )(A) (B) (C)6 (D) 解析:该几何体的上方是以 2 为底面圆的半径,高为 2 的圆锥的一半,下方是以 2 为底面圆的半径,高为 1 的圆柱的一半,其体积为 V= + 2 22=2+ = .2212 12 13 436.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于cm 3. 解析:几何体为三棱柱去掉一个三棱锥后的几何体,底面是直角
4、三角形,直角边长分别为 3,4,侧面的高为 5,被截取的棱锥的高为 3.如图:V=V 棱柱 -V 棱锥= 345- 34312 13 12=24(cm3).答案:247.若圆锥的侧面积为 2,底面面积为 ,则该圆锥的体积为 . 3解析:由题底面半径是 1,圆锥的母线为 2,则圆锥的高为 ,所以圆锥的体积为 =313 3.33答案:33能力提升8.(2018山西山大附中高二上期中)在三棱锥 P ABC 中,三条侧棱两两互相垂直,侧棱长为a,则点 P 到平面 ABC 的距离为( C )(A)a (B) a (C) a (D) a3解析:设点 P 到平面 ABC 的距离为 h,因为三条侧棱两两垂直,
5、且侧棱长为 a,所以 AB=BC=AC= a,2所以 SABC = a2,根据 = ,可得 a3= a2h,13 12 13所以 h= a,即点 P 到平面 ABC 的距离为 a,故选 C.9.(2018湖南郴州二模)我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是( B )(注:平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;一尺等于十寸;台体的体积公式 V=(S 上 + +S 下 )h)13(A)2 寸 (B)3 寸 (C)4 寸 (D)5 寸解析:如图,由题意可知,天池
6、盆上底面半径为 14 寸,下底面半径为 6 寸,高为 18 寸.因为积水深 9 寸,所以水面半径为 (14+6)=10 寸,12则盆中水的体积为49(6 2+102+610)=588(立方寸),13所以平地降雨量等于 =3(寸).故选 B.10.如图,四边形 ABCD 中,ABAD,AB=1,C 到 AB 与 AD 的距离分别为 1 和 2,若将四边形 ABCD绕 y 轴旋转一周,求所得旋转体的体积.解:旋转得到一个圆锥和圆台的组合体,V 圆锥 = 2 22= ,13 83V 圆台 = 1(2 2+12+21)13= ,73所以 V=V 圆锥 +V 圆台 =5.探究创新11.如图,正方体 AB
7、CD-A1B1C1D1的棱长为 2,P 是 BC 的中点,点 Q 是棱 CC1上的动点.(1)点 Q 在何位置时,直线 D1Q,DC,AP 交于一点,并说明理由;(2)求三棱锥 B1-DBQ 的体积;(3)若点 Q 是棱 CC1的中点时,记过点 A,P,Q 三点的平面截正方体所得截面面积为 S,求 S.解:(1)当 Q 是棱 CC1的中点时,直线 D1Q,DC,AP 交于一点,理由:延长 D1Q、DC 交于点 O,则 QC 为DD 1O 的中位线,所以 C 为 DO 的中点,延长 AP、DC 交于点 O,则 PC 为ADO的中位线,所以 C 为 DO的中点,所以点 O 与点 O重合,所以直线 D1Q、DC、AP 交于一点.(2) = = ( 22)2= .1113 12 43(3)连接 AD1、PQ,由(1)知,AD 1PQ,所以梯形 APQD1为所求截面,5梯形 APQD1的高为 = ,322S= ( +2 ) = .12 2 2 322 92
