1、11.3.2 球的体积和表面积【选题明细表】 知识点、方法 题号球的表面积、体积 1,4,6,7,10与球有关的三视图 3,11与球有关的“切” “接”问题 2,5,8,9基础巩固1.两个球的表面积之差为 48,它们的大圆周长之和为 12,这两个球的半径之差为( C )(A)4 (B)3 (C)2 (D)1解析:令 S 球 1=4R 2,S 球 2=4r 2,由题可知 4R 2-4r 2=48, 又 2R+2r=12, 得 R-r=2.2.长方体 ABCD-A1B1C1D1的八个顶点落在球 O的表面上,已知 AB=3, AD=4,BB1=5,那么球 O的表面积为( D )(A)25 (B)20
2、0(C)100 (D)50解析:由长方体的体对角线为外接球的直径,设球半径为 r,则 2r= =5 ,2则 r= ,4r 2=4( )2=50.522 5223.(2018湖南师大附中高一测试)某几何体的三视图如图所示,它的体积为( C )(A)72 (B)48 (C)30 (D)24解析:由三视图可知,该几何体的上方是一个以 3为半径的半球,下方是以 3为底面半径,以5为母线长的圆锥,所以其体积 V= 3 3+ 3 2 =18+12=30.12 43 13 52324.若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱、球的表面积分别记为 S1、S 2,则 S1S 2等于( C )(A)11 (B)
3、21 (C)32 (D)41解析:由题意可得圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,设球的半径为 1,则2S1=6,S 2=4.所以 S1S 2=32,故选 C.5.将一钢球放入底面半径为 3 cm的圆柱形玻璃容器中,水面升高 4 cm,则钢球的半径是 .解析:圆柱形玻璃容器中水面升高了 4 cm,则钢球的体积为 V=3 24=36,即有 R 3=36,43所以 R=3.答案:3 cm6.(2018黑龙江伊春高一测试)边长为 4 的正方形 ABCD的四个顶点在半径为 5的球 O的2表面上,则四棱锥 O-ABCD的体积是 . 解析:因为 ABCD外接圆的半径 r= =4,又因为球的半径为 5,所以球
4、心 O到平面 ABCD的距离 d= =3,22所以 = (4 )23=32.13 2答案:327.如图所示(单位:cm)四边形 ABCD是直角梯形,求图中阴影部分绕 AB旋转一周所成几何体的表面积和体积.解: S 球 = 42 2=8(cm 2),12 12S 圆台侧 =(2+5) =35(cm 2),(52)2+42S 圆台下底 =5 2=25(cm 2),即该几何体的表面积为 8+35+25=68(cm 2).又 V 圆台 = (22+25+52)4=52(cm 3),3V 半球 = 23= (cm3).12 163所以该几何体的体积为 V 圆台 -V 半球 =52- = (cm3).16
5、3能力提升8.如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的 3倍,则圆锥的侧面面积和球的表面积之比为( C )(A)43 (B)31 (C)32 (D)94解析:作轴截面如图,3则 PO=2OD,CPB=30,CB= PC= r,PB=2 r,3圆锥侧面积 S1=6r 2,球的面积 S2=4r 2,S1S 2=32.故选 C.9.圆柱形容器内盛有高度为 8 cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图),则球的半径是( D )(A) cm3(B)2 cm(C)3 cm(D)4 cm解析:设球的半径为 r,则 V 水 =8r 2,V 球 =4r 3,加入
6、小球后,液面高度为 6r,所以 r 26r=8r 2+4r 3,解得 r=4.故选 D.10.(2018陕西咸阳二模)已知一个三棱锥的所有棱长均为 ,求该三棱锥的内切球的体积.2解:如图,AE平面 BCD,设 O为正四面体 A-BCD内切球的球心,则 OE为内切球的半径,设 OA=OB=R,又正四面体 A BCD的棱长为 ,2在等边BCD 中,BE= ,所以 AE= = .233由 OB2=OE2+BE2,4得 R2=( -R)2+ ,解得 R= ,233 23所以 OE=AE-R= ,即内切球的半径是 ,所以内切球的体积为 ( )3= .43 354探究创新11.将半径都为 1的 4个钢球完
7、全装入形状为正四面体(四面体的每个面都是正三角形)的容器里,求这个正四面体的高的最小值.名师点拨:四个小球在正四面体内一定是两两相切的,球心连起来构成一个正四面体.解:由题意,如图所示,在正四面体 S-ABC的底面上放三个钢球,上面再放一个钢球时,正四面体的高最小.且连接小钢球的球心又得到一个棱长为 2的小正四面体 M-NEF,且两个正四面体的中心重合于点 O,取NEF 的中心 O1,连接 NO1,则 NO1= ,MO1= = .由正四面233 263体的性质知其中心 O与 O1的距离 OO1= MO1= .从而 OO2=OO1+1= +1.故正四面体的高的最14小值为 4OO2= +4.263
