1、2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 平 面,课标要求:1.正确理解平面的概念.2.能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系.3.能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理,理解三个公理的地位与作用.,自主学习 新知建构自我整合,导入 (生活中的数学)在生活中,我们常看到这样的现象: (1)在工程建筑中,质检员为检测墙面是否平整,常拿直尺放在墙面上,还不时地交叉检测.,【情境导学】,想一想 1:质检员是如何判断墙面的平整的? (把直尺放在墙面上,如果直尺与墙面间没有空隙,则说明直尺所在直线在平面内,交叉检测可知墙面是否平整),想一想 2:你知道自行车的停放原理吗? (自行
2、车通过两车轮一车腿三点触地,可确定一平面,因而能稳定地停放),(2)自行车由两轮与车腿三点就可以稳定地停放在地面上.,1.平面 (1)平面的概念 几何里所说的“平面”,是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是 的. (2)平面的画法 水平放置的平面通常画成一个平行四边形,用平行四边形表示平面,平行四边形的锐角通常画成 ,且横边长等于其邻边长的 .如图(1).,知识探究,无限延展,45,2倍,如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它的立体感,把被遮挡部分用 画出来.如图(2).,(3)平面的表示 图(1)的平面可表示为平面ABCD,平面AC,平面BD或平面.注意:“平
3、面”二字不能省略.,虚线,2.点、直线、平面之间的位置关系及语言表达,Al,Al,A,A,l,l,=l,3.平面的基本性质,两点,不在一条直线上,一个,过该点,探究:把下列符号语言表示的图形画出来:=l,Al,B,D且BDl.答案:,自我检测,1.(平面的概念)下列说法: 书桌面是平面;8个平面重叠后,要比6个平面重叠后厚;有一个平面的长是100 m,宽是90 m;平面是绝对平滑,无厚度,无限延展的抽象概念.其中正确的个数为( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 2.(公理2)三条直线两两相交,可以确定平面的个数是( ) (A)1个 (B)1个或2个 (C)1个或3个 (D)3个,B,
4、C,3.(公理1)若A平面,B平面,C直线AB,则( ) (A)C (B)C (C)AB (D)AB=C 4.(平面的概念)三个平面将空间最多能分成( ) (A)6部分 (B)7部分 (C)8部分 (D)9部分,C,A,5.(点、线、面的位置关系)如果直线a平面,直线b平面,Ma, Nb,Ml,Nl,则( ) (A)l (B)l (C)l=M (D)l=N,解析:因为Ml,Nl,且M,N,所以l.,A,6.(公理3)如图,已知D,E是ABC的边AC,BC上的点,平面经过D,E两点,若直线AB与平面的交点是P,则点P与直线DE的位置关系是 .,答案:点P在直线DE上,题型一,文字语言、图形语言、
5、符号语言的转换,【例1】 完成下列各题: (1)将下列文字语言转换为符号语言. 点A在平面内,但不在平面内; 直线a经过平面外一点M; 直线l在平面内,又在平面内(即平面和平面相交于直线l).,课堂探究 典例剖析举一反三,解:(1)A,A.Ma,M.=l.,(2)将下列符号语言转换为图形语言. a,b=A,Aa; =c,a,b,ac,bc=P.,解:(2),方法技巧,实现三种语言转换要注意 (1)用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何,试着用文字语言表示,再用符号语言表示. (2)符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能用“”或“”,直
6、线与平面的位置关系只能用“”或“”. (3)由符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意把被遮挡的部分画成虚线.,即时训练1-1:(1)A,B,C表示不同的点,n,l表示不同的直线,表示不同的平面,下列推理表述不正确的是( ) (A)Al,A,Bl,Bl (B)A,A,B,B=直线AB (C)A,B,C,A,B,C,且A,B,C不共线与重合 (D)l,n,ln=Al与n确定唯一平面,解:(1)选D.,(2)如图,用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.,解:(2)在中,=l,a=A,a=B.在中,=l,a, b,al=P,bl=P.,【备用例1】 根据下列符号表示的语句,说明点、线、面
7、之间的位置关系,并画出相应的图形:(1)A,B;(2)l,m=A,Al;(3)Pl, P,Ql,Q,解:(1)点A在平面内,点B不在平面内. (2)直线l在平面内,直线m与平面相交于点A,且点A不在直线l上. (3)直线l经过平面外一点P和平面内一点Q. 图形分别如图(1),(2),(3)所示.,题型二,点线共面,【思考】 过直线与直线外一点能否唯一确定一平面?两条相交直线能否唯一确定一平面?两条平行直线呢?,提示:由公理2,易证明上述三个问题中,均能唯一确定一平面.,【例2】 如图,l1l2=A,l2l3=B,l1l3=C,求证直线l1,l2,l3在同一平面内.,证明:法一 (纳入法) 因为
8、l1l2=A,所以l1和l2在同一平面内. 因为l2l3=B,所以Bl2. 又因为l2,所以B.同理可证C. 又因为Bl3,Cl3,所以l3. 所以直线l1,l2,l3在同一平面内.,方法技巧,证明点线共面问题的理论依据是公理2,常用方法有: (1)纳入法:先由部分直线确定一个平面,再证明其他直线在这个平面内. (2)重合法:先说明一些直线在一个平面内,另一些直线在另一个平面内,再证明两个平面重合.,即时训练2-1:空间两两相交且共点的三条直线,可以确定的平面数是( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)1或3,解析:两两相交且共点的三条直线若在一个平面内,可确定一个平面,若不在一平面内,每
9、两条直线可确定一个平面,共可确定3个平面,故选D.,【备用例2】 已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中. (1)AA1与CC1是否在同一平面内?,解:(1)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 因为AA1CC1,所以AA1与CC1可确定平面ACC1A1, 所以AA1与CC1在同一平面内.,(2)点B,C1,D是否在同一平面内? (3)画出平面ACC1A1与平面BC1D的交线,平面ACD1与平面BDC1的交线.,解:(2)因为点B,C1,D不共线, 所以B,C1,D可确定平面BC1D, 所以点B,C1,D在同一平面内. (3)因为ACBD=O,D1CDC1=E, 所以O平面ACC
10、1A1,且O平面BC1D. 又C1平面ACC1A1,且C1平面BC1D, 所以平面ACC1A1平面BC1D=OC1. 同理平面ACD1平面BDC1=OE.,多点共线、多线共点问题,题型三,【例3】 (12分)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AB的中点,F为AA1的中点.求证:CE,D1F,DA三线交于一点.,变式探究:若将题目条件中的“E,F分别为AB,AA1的中点”改成E,F分别为AB, AA1上的点,且D1FCE=M,求证:MAD.,证明:因为D1FCE=M, 且D1F平面A1D1DA, 所以M平面A1D1DA, 同理M平面BCDA, 从而M在两个平面的交线上, 因为平
11、面A1D1DA平面BCDA=AD, 所以MAD成立.,方法技巧,(1)证明三线共点常用的方法: 先证明两条直线相交于一点,然后证明这个点在两个平面内,第三条线是这两个平面的交线,于是该点在第三条直线上,从而得到三线共点.也可以先证明a,b相交于一点A,b与c相交于一点B,再证明A,B是同一点,从而得到a,b,c三线共点. (2)类比线共点的证明方法,可得到三点共线的证明方法: 首先找出两个平面的交线,然后证明这三点都是这两个平面的公共点,根据公理3,可推知这些点都在交线上,即三点共线. 选择其中两点确定一条直线,然后证明第三个点也在这条直线上.,即时训练3-1:(2016安徽淮南期末)如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是( )(A)A,M,O三点共线 (B)A,M,O,A1不共面 (C)A,M,C,O不共面 (D)B,B1,O,M共面,解析:连接A1C1,AC,则A1C1AC. 所以A1,C1,C,A四点共面. 所以A1C平面ACC1A1. 因为MA1C,所以M平面ACC1A1,又M平面AB1D1, 所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上, 同理O也在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上, 所以A,M,O三点共线.故选A.,谢谢观赏！,
