1、2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系,课标要求:1.会判断空间两直线的位置关系.2.理解两异面直线的定义,会求两异面直线所成的角.3.能用公理4和等角定理解决一些简单的相关问题.,自主学习 新知建构自我整合,导入 (教学备用)(生活中的数学) 立交桥是伴随高速公路应运而生的.城市的立交桥不仅大大方便了交通,而且成为城市建设的美丽风景.为了车流畅通,并安全地通过交叉路口,1928年,美国首先在新泽西州的两条道路交叉处修建了第一座苜蓿叶形公路交叉桥.1930年,芝加哥建起了一座立体交叉桥.1931年到1935年,瑞典陆续在一些城市修建起立体交叉桥.从此,城市交通开始从平地走向立体.,【情境导
2、学】,想一想 若把立交桥抽象成直线,它们是否在同一平面内?有何特征? (有的在同一平面内,有的不在同一平面内;不在同一平面内的直线无公共点) 导入 (从所学过的长方体模型导入) 观察长方体,在长方体的几条棱中,每条棱所在直线有几种位置关系?试归纳. 答案:三种:平行;相交;既不平行、也不相交.,1.异面直线 (1)定义:不同在 的两条直线叫做异面直线. (2)画法:,知识探究,任何一个平面内,2.空间两条直线的位置关系,有且只有一个公共点,探究1:若直线a,b,a和b一定异面吗? 答案:不一定.当a与b不同在任何一个平面内,a,b才异面.,3.平行线的传递性 公理4:平行于同一条直线的两条直线
3、 . 符号表示:ab,bcac. 4.定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角 . 5.异面直线所成的角 (1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线aa,bb,则a与b所成的 (或 )叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). (2)异面直线所成的角的取值范围:090. (3)如果两条异面直线a,b所成的角是直角,就说这两条直线互相垂直,记作ab.,互相平行,相等或互补,锐角,直角,探究2:若两条直线都与第三条直线垂直,这两条直线一定平行吗? 答案:不一定.例如墙角处的三条直线两两垂直,但是没有任何两条直线是互相平行的.,自我检测,1.(位置关系)分别在两个平面内的两
4、条直线的位置关系是( ) (A)异面 (B)平行 (C)相交 (D)以上都有可能 2.(等角定理)已知BAC=30,ABAB,ACAC,则BAC等于( ) (A)30 (B)150 (C)30或150 (D)大小无法确定,D,C,3.(异面直线的判定)在三棱锥S-ABC中,与AB异面的棱为( ) (A)BC (B)SA (C)SC (D)SB 4.(公理4、位置关系)下列四个结论中假命题的个数是( ) 垂直于同一直线的两条直线互相平行; 平行于同一直线的两直线平行; 若直线a,b,c满足ab,bc,则ac; 若直线l1,l2是异面直线,则与l1,l2都相交的两条直线是异面直线. (A)1 (B
5、)2 (C)3 (D)4,B,C,5.(异面直线所成的角)正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线BC1和CD1所成的角是( ) (A)30 (B)45 (C)60 (D)90 6.(异面直线的判定)如图所示,G,H,M,N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH与MN是异面直线的图有 .(填序号),答案:,C,题型一,空间位置关系的判断,【思考】 过平面外一点和平面内一点的连线与平面内不经过该点的直线是异面直线,正确吗?,课堂探究 典例剖析举一反三,提示:正确.,【例1】 已知空间四边形ABCD,ABAC,AE是ABC中BC边上的高,DF是BCD中BC边上的中线,求证:AE和DF
6、是异面直线.,证明:假设AE和DF不是异面直线,则AE和DF共面,设过AE,DF的平面为,若E,F重合,则E为BC的中点,所以AB=AC,与ABAC相矛盾.若E,F不重合,因为BEF,CEF,而EF,所以B,C,又A,D, 所以A,B,C,D四点共面,这与题设ABCD为空间四边形矛盾,综上可知,假设不成立,所以AE与DF为异面直线.,方法技巧,判定两直线异面的常用方法 (1)定义法:由定义判断两直线不可能在同一平面内; (2)排除法(反证法):排除两直线共面(平行或相交)的情况.,即时训练1-1:正方体ABCD-A1B1C1D1中,与棱AB异面且垂直的棱有( ) (A)8条 (B)6条 (C)
7、4条 (D)3条,解析:如图所示,一共有12条棱,其中有三条与AB平行,有四条与AB相交,还剩四条,这四条是CC1,DD1,A1D1,B1C1都是与AB异面且垂直.故选C.,【备用例1】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AA1,AB的中点,试判断下列各对线段所在直线的位置关系:(1)AB与CC1;(2)A1B1与DC; (3)A1C与D1B;,解:(1)因为C平面ABCD,AB平面ABCD, 又CAB,C1平面ABCD,所以AB与CC1异面. (2)因为A1B1AB,ABDC,所以A1B1DC. (3)因为A1D1B1C1,B1C1BC,所以A1D1BC, 则A1,B,
8、C,D1在同一平面内. 所以A1C与D1B相交.,(4)DC与BD1;(5)D1E与CF.,解:(4)因为B平面ABCD,DC平面ABCD, 又BDC,D1平面ABCD,所以DC与BD1异面. (5)CF与DA的延长线交于G,连接D1G,因为AFDC,F为AB的中点,所以A为DG的中点. 又AEDD1,所以GD1过AA1的中点.所以直线D1E与CF相交.,题型二,公理4及等角定理的应用,【例2】 如图所示,在正方体ABCD-ABCD中,E,F,E,F分别是AB,BC,AB,BC的中点,求证:EEFF.,证明:因为E,E分别是AB,AB的中点, 所以BEBE,且BE=BE, 所以四边形EBBE是
9、平行四边形. 所以EEBB, 同理可证FFBB,所以EEFF.,变式探究1:在本例中,若M,N分别是AD,CD的中点,求证:四边形ACNM是梯形.,变式探究2:将本例变为已知E,E分别是正方体ABCD-ABCD的棱AD,AD的中点,求证:BEC=BEC.,证明:如图所示,连接EE. 因为E,E分别是AD,AD的中点, 所以AEAE,且AE=AE. 所以四边形AEEA是平行四边形.,方法技巧,证明两直线平行的常用方法:(1)利用平面几何的结论,如平行四边形的对边,三角形的中位线与底边;(2)定义法:即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点;(3)利用公理4:找到一条直线,使所证的直线都与这
10、条直线平行.,答案:平行,【例用例2】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AD,AB的中点,M,N分别为B1C1,C1D1的中点.求证:(1)MCA1E,A1FCN;,(2)EA1F=NCM.,证明:(2)由(1)知A1FCN, MCA1E, 又A1E,A1F与CM,CN的方向分别相反, 所以EA1F=NCM.,求异面直线所成的角,题型三,方法技巧,求异面直线所成角的一般步骤:(1)找(或作出)异面直线所成的角用平移法,若题设中有中点,常考虑中位线.(2)求转化为求一个三角形的内角,通过解三角形,求出所找的角.(3)结论设(2)所求角大小为.若090,则即为所求;若90180,则180-即为所求.,谢谢观赏！,
