1、第二讲 三角恒等变换与解三角形,热点题型1 三角恒等变换与求值 【感悟经典】 【典例】1.已知sin +cos = ,则sin2 =( ) A. B. C. D.,2.(2017北京高考)在平面直角坐标系xOy中,角与 角均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin = ,则cos(-)=_.,3.(2018浙江高考)已知角的顶点与原点O重合,始 边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P . (1)求sin(+)的值. (2)若角满足sin(+)= ,求cos 的值.,【联想解题】 1.看到sin2 ,想到降幂公式. 2.(1)因为角与角的终边关于y轴对称,所以+ =+2k,kZ,那么sin
2、 =sin ,cos =-cos . (2)代入余弦差角公式求解即可.,3.(1)看到角的终边过点P ,想到三角函数的 定义,看到求sin(+),想到诱导公式 (2)看到求cos,想到=(+)-,再利用差的余弦 公式求解.,【规范解答】1.选B.由sin +cos = 两边平方得 1+sin 2= ,解得sin 2=- ,所以sin2 =,2.因为角与角的终边关于y轴对称,所以+=+2k,kZ,那么sin =sin ,cos = -cos , 所以cos(-)=cos cos +sin sin = -cos2+sin2=2sin2-1=- . 答案:-,3.(1)由角的终边过点P , 得sin
3、 =- , 所以 sin (+)=-sin = .,(2)由角的终边过点P ,得cos =- , 由sin(+)= ,得cos(+)= . 由=(+)-, 得cos =cos(+)cos +sin(+)sin , 所以cos =- 或cos = .,【规律方法】 三角恒等变换的基本思路 (1)“异化同”“切化弦”“1的代换”是三角恒等变换的常用技巧.“异化同”是指“化异名为同名”“化异次为同次”“化异角为同角”.,(2)角的变换是三角变换的核心,如=(+)-, 2=(+)+(-)等. (3)常用的两角间的关系: 若+= ,可看作“互余”. 若+=,可看作“互补”.,从对称角度:若与的终边关于y
4、轴对称,则+=+2k,kZ;若与的终边关于x 轴对称,则+=0+2k,kZ;若与的终边关于原点对称,则-=+2k,kZ.,【对点训练】 1.若sin(- )=-cos 2,则sin 2的值可以为( ) A.- 或1 B. C. D.-,【解析】选A.方法一:由已知得 (sin -cos ) =sin2-cos2,所以sin +cos = 或sin - cos =0,解得sin 2=- 或1.,方法二:由已知得sin(- )=sin(2- ) =2sin(- )cos(- ), 所以cos(- )= 或sin(- )=0, 则sin 2=cos2(- )=2cos2(- )-1 =2 -1=-
5、或sin 2=1.,2.(2018江苏高考)已知,为锐角,tan = , cos(+)=- . (1)求cos 2的值. (2)求tan(-)的值.,【解析】(1)因为tan = ,tan = , 所以sin = cos . 因为sin2+cos2=1,所以cos2= , 因此, cos 2=2cos2-1=- .,(2)因为,为锐角,所以a+(0,). 又因为cos(+)=- , 所以sin(+)= , 因此tan(+)=-2. 因为tan = ,所以tan 2= ,因此,tan(-)=tan2-(+)= =- .,【提分备选】 1.(2018株洲二模)若( ,),则3cos 2= sin(
6、 -),则sin 2的值为 ( ) A. B.- C. D.-,【解析】选D.由3cos 2=sin( -), 可得3cos 2= (cos -sin ), 3(cos2-sin2)= (cos -sin ), 因为( ,),所以sin -cos 0, 上式化为:sin +cos = ,两边平方可得1+sin 2= . 所以sin 2=- .,2.(2018石家庄二模)设,0,且满足 sin cos -cos sin =1,则sin(2-)+ sin(-2)的取值范围为 ( ) A.- ,1 B.-1, C.-1,1 D.1, ,【解析】选C.因为sin cos -sin cos =sin(-
7、)=1,0, 所以-= ,可得:= +0, 所以 +0,所以+ - , 又因为+ ,所以+ , 所以cos(+ )- , 所以sin(2-)+sin(-2)=sin(+)+ sin( -)=cos -sin = cos(+ )-1,1.,热点题型2 解三角形 【感悟经典】 【典例】1.(2018江苏高考)在ABC中,角A,B,C所对 的边分别为a,b,c,ABC=120,ABC的平分线交AC于 点D,且BD=1,则4a+c的最小值为_.,2.(2017全国卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为 a,b,c,已知sin A+ cos A=0,a=2 ,b=2. (1)求c. (2)设D为BC边上
8、一点,且ADAC,求ABD的面积.,【联想解题】 1.看到角平分线,想到面积法解题. 2.(1)由题意首先求得A= ,然后利用余弦定理列方程, 边长取方程的正实数根可得c=4. (2)利用题意首先求得ACD的面积,然后结合ABC的 面积可求得ABD的面积为 .,【规范解答】1.由面积得: acsin 120= asin 60 + csin 60,化简得a+c=acc= (a1), 4a+c=4a+ =4a+ +1=4(a-1)+ +5 2 +5=9, 当且仅当4(a-1)= ,即a= ,c=3时取等号. 答案:9,2.(1)因为sin A+ cos A=0, 所以sin A=- cos A,所
9、以tan A=- . 因为A(0,),所以A= . 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A, 代入a=2 ,b=2得c2+2c-24=0,解得c=-6(舍去)或c=4, 所以c=4.,(2)由(1)知c=4. 因为c2=a2+b2-2abcos C, 所以16=28+4-22 2cos C, 所以cos C= ,所以sin C= , 所以tan C= .,在RtCAD中,tan C= , 所以 = ,即AD= . 则SADC= 2 = , 由(1)知SABC= bcsin A= 24 =2 , 所以SABD=SABC-SADC=2 - = .,【规律方法】 正、余弦定理的应用思路 (1
10、)如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理. (2)如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理.,(3)以上特征都不明显时,要考虑两个定理都有可能用到.另外,解题中一定要注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制.,【对点训练】 1.(2018北京高考)若ABC的面积为 (a2+c2-b2), 且C为钝角,则B=_; 的取值范围是 _.,【解析】由余弦定理,a2+c2-b2=2accos B, ABC的面积S= (a2+c2-b2)= 2accos B, 又S= acsin B, 所以 cos B= sin B,因为角C为钝角,所以 cos B0, 所以tan B=
11、 ,又0B,所以B= . 由正弦定理, ,又sin C=sin(A+B) =sin Acos B+sin Bcos A= sin A+ cos A, 所以 , 因为B= ,A+B+C=,所以A+C= ,A= -C,又02, 即 的取值范围是(2,+). 答案: (2,+),2.(2018天津高考)在ABC中,内角A,B,C所对的边分 别为a,b,c.已知bsinA=acos . (1)求角B的大小. (2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.,【解析】(1)在ABC中,由正弦定理 , 可得bsin A=asin B,又由bsinA=acos , 得asin B=acos ,即sin
12、 B=cos , 所以sin B= cos B+ sin B,可得tan B= . 又因为B(0,),可得B= .,(2)在ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B= , 有b2=a2+c2-2accos B=7,故b= . 由bsin A=acos ,可得sin A= . 因为ac,故cos A= . 因此sin 2A=2sin Acos A= ,cos 2A=2cos2A-1= .,所以,sin(2A-B)=sin 2Acos B-cos 2Asin B= .,【提分备选】 如图,在平面四边形ABCD中,AB=1,BC= +1,AD= , ABC=120,DAB=75,则CD= ( ),A
13、. B.2 C.2 D. +1,【解析】选A.过D作DEAB于点E,过C作CFAB交AB延长线于点F,则DECF,CBF=60. DE=ADsin A= , CF=BCsinCBF=( +1) . 所以四边形DEFC是矩形. 所以CD=EF=AB-AE+BF.,因为AE=ADcos A= , BF=BCcosCBF=( +1) . 所以CD=1-,数学运算解三角形的综合问题中的数学素养 【相关链接】 解三角形的综合问题的常见题型 1.解三角形和三角函数、三角恒等变换的综合问题. 2.解三角形和函数、方程的综合问题.,3.解三角形与向量的综合问题. 4.解三角形的实际应用.,命题角度1:解三角形
14、与其他知识的综合问题 【典例1】(2017全国卷)ABC的内角A,B,C所对的 边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2 . (1)求cos B. (2)若a+c=6,ABC的面积为2,求b.,【规范解答】(1)由题设及A+B+C=得, sin B=8sin2 ,故sin B=4(1-cos B). 上式两边平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0, 解得cos B=1(舍去),cos B= .,(2)由cos B= 得sin B= , 故SABC= acsin B= ac. 又SABC=2,则ac= . 由余弦定理及a+c=6得: b2=a2+c2-2accos B
15、=(a+c)2-2ac(1+cos B),=36-2 =4. 所以b=2.,【典例2】在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 满足( a-c) . (1)求角B的大小. (2)若 ,求ABC面积的最大值.,【规范解答】(1)( a-c) , 可化为:( a-c) cos B=cos C, 即:( a-c)cacos B=cabcos C, 所以( a-c)cos B=bcos C,根据正弦定理有( sin A-sin C)cos B=sin Bcos C, 所以 sin Acos B=sin(C+B), 即 sin Acos B=sin A, 因为sin A0,所以cos B= ,
16、即B= .,(2)因为 , 所以 ,即b2=6, 根据余弦定理b2=a2+c2-2accos B, 可得6=a2+c2- ac, 有基本不等式可知6=a2+c2- ac2ac- ac= (2- )ac,即ac3(2+ ), 故ABC的面积S= acsin B= ac ,即当 a=c= 时,ABC的面积的最大值为 .,命题角度2:解三角形的实际应用 【典例3】如图,渔船甲位于岛屿A的南偏西60方向的B处,且与岛屿A相距12海里,渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙,刚好用2小时追上,此时到达C处.,(1)求渔船甲的速度. (2)求s
17、in 的值.,【解析】(1)依题意知,BAC=120,AB=12海里, AC=102=20(海里),BCA=,在ABC中,由余弦定理, 得 BC2=AB2+AC2-2ABACcosBAC=122+202-21220 cos 120=784.,解得BC=28(海里). 所以渔船甲的速度为 =14(海里/时). (2)由(1)知BC=28海里,在ABC中,BCA=,由正弦定 理得 . 即sin = .,【规律方法】 1.解三角形的一般思路 (1)根据正、余弦定理把边的关系都转化为角的关系,通过三角恒等变换解决问题. (2)根据正、余弦定理把角的关系转化为边的关系,通过代数变换解决问题.,2.解三角
18、形的实际应用问题的求解关键 关键是把测量目标纳入到一个可解三角形中,然后利用正、余弦定理求解.,【通关题组】 1.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a,b是 方程x2-2 x+2=0的两根,2cos(A+B)=1,则ABC的面 积为 ( ) A. B. C. D.,【解析】选C.因为在ABC中,内角A,B,C的对边分别为 a,b,c,且a,b是方程x2-2 x+2=0的两根,所以ab=2,又 2cos(A+B)=1,所以A+B=60,C=120,所以ABC的面 积为: absin C= .,2.已知ABC中,AB=AC=3,cosABC= ,若圆O的圆心在 边BC上,且与AB
19、和AC所在的直线都相切,则圆O的半径为( ) A. B. C. D.,【解析】选B.如图,易得BC=4,由于ABC为等腰三角形,故O应为BC中点, 本题即求BC中点O到AB距离.,因为cosABC= ,所以sinABO= , BO=ABcosABO=2. 由SABO= ABBOsinABO= ABr, 可得 32 = 3r,解得r= .,3.(2018浙江高考)在ABC中,角A,B,C所对的边分别 为a,b,c.若a= ,b=2,A=60,则sin B=_, c=_.,【解析】由正弦定理 得 , 得sin B= ,由余弦定理得cos A= ,解得c=3. 答案: 3,【提分备选】 (2018北
20、京高考)在ABC中,a=7,b=8,cos B=- . (1)求A. (2)求AC边上的高.,【解析】方法一:(1)由余弦定理,cos B= = =- , 解得c=-5(舍),或c=3, 所以cos A= , 又因为0A,所以A= .,(2)设AC边上的高为h,则sin A= , 所以h=csin A=3sin ,即AC边上的高为 .,方法二:(1)因为cos B=- 0, sin B= , 由正弦定理, ,即sin A= sin B= , 又因为0A ,所以A= .,(2)设AC边上的高为h,则h=asin C, 由(1)及已知,sin C=sin(A+B) =sin Acos B+sin Bcos A= (- )+ = , 所以h=asin C=7 = ,即AC边上的高为 .,
