1、1第二讲 三角恒等变换与解三角形(40分钟 70 分)一、选择题(每小题 5分,共 25分)1.若 cos =- , 是第三象限的角,则 = ( )1+21-2A.3 B. - C. D.12 13 12【解析】选 B.因为 cos =- , 是第三象限的角,所以 sin =- ,则45 35= = =- .1+21-22+22-21+122.设 a=2sin cos ,b=cos25-sin25,c= ,则 ( )A.atan A,则角 A所对的边最小.由 tan A= 可知 sin A= ,由正弦定理 =14,得 a=sin A = = .1722 25.在ABC 中,角 A,B,C的对边
2、分别为 a,b,c,且 2ccos B=2a+b,若ABC 的面积 S= c,则312ab的最小值为 ( )A. B. C. D.312 13 16【解析】选 B.由题意得 2sin Ccos B=2sin A+sin B2sin Ccos B=2(sin Bcos C+cos Bsin C)+sin Bcos C=- ,12所以 S= absin C= ab= cc=3ab.12 312因为 cos C= ,所以- = ,122+2-9222 2-92223解得 ab ,13当且仅当 a=b= 时,等号成立,即 ab的最小值为 .13二、填空题(每小题 5分,共 15分)6.已知 tan =
3、4,则 =_. -23+2【解析】 = = = .-23+2答案:7.若 tan ,tan 是方程 x2+5x+6=0的两个根,且 , ,则+=_. 【解析】因为 tan ,tan 是方程 x2+5x+6=0的两个根,所以 tan +tan =-5,tan tan =6,所以 tan A,2sin Bsin C=cos A.3(1)求 A的值.(2)判断ABC 的形状并求ABC 的面积.【解析】(1)因为 b2+c2-4=4 S,所以 b2+c2-a2=4 bcsin A,由余弦定理得,3 312cos A= sin A,所以 tan A= ,因为 A(0,),所以 A= .3(2)因为 2s
4、in Bsin C=cos A,A+B+C=,所以 2sin Bsin C=-cos(B+C)=sin Bsin C-cos Bcos C,即 sin Bsin C+cos Bcos C=0,cos(B-C)=0,所以 B-C= 或 C-B= .()当 B-C= 时,由第(1)问知 A= ,所以 B= ,C= ,所以ABC 是等腰三角形, 23S= acsin B= ;12 3()当 C-B= 时,由第(1)问知 A= ,所以 C= ,B= ,又因为 BA,矛盾,舍去.综上,ABC23是等腰三角形,其面积为 .310.已知在ABC 中,D 是 BC上的点,AD 平分BAC,ABD 面积是ADC
5、 面积的 2倍.5(1)求 .(2)若 AD=1,DC= ,求 BD和 AC的长.【解析】(1)S ABD = ABADsinBAD,12SADC = ACADsinCAD,12因为 SABD =2SADC ,BAD=CAD,所以 AB=2AC,在ABC 中,由正弦定理得: = ,所以 = = .12(2)设ADB=,则ADC=-.由(1)知 = = ,所以 c=2b,12因为 CD= ,所以 BD= ,2在ACD 中,由余弦定理得,b2=1+ -21 cos(-),即 b2= + cos ,32 2在ABD 中,由余弦定理,c 2=1+2-21 cos ,即 c2=3-2 cos ,2 2由
6、得 b=1,故 AC=1.11.在锐角ABC 中,2sin cos +2cos Bsin C= .-2 -2(1)求角 A.(2)若 BC= ,AC=2,求ABC 的面积.7【解析】(1)因为 2sin cos +2cos Bsin C= ,-2 -26所以 sin(B-C)+2cos Bsin C= ,则 sinB cos C-cos Bsin C+2cos Bsin C=sin(B+C)= ,即 sin A= ,由ABC 为锐角三角形得 A= .(2)在ABC 中,a=BC,b=AC,a 2=b2+c2-2bccos A,即 7=4+c2-22c ,化简得 c2-2c-3=0,解12得 c
7、=3(负根舍去),所以 SABC = bcsin A= .12 332【提分备选】1.如图所示,某镇有一块空地OAB,其 中 OA=3 km,OB=3 km,AOB=90.当地镇政府规3划将这块空地改造成一个旅游景点,拟在中间挖一个人工湖OMN,其中 M,N都在边 AB上,且MON=30,挖出的泥土堆放在OAM 地带上形成假山,剩下的OBN 地带开设儿童游乐场. 为安全起见,需在OAN 的周围安装防护网.(1)当 AM= km时,求防护网的总长度 .32(2)若要求挖人工湖用地OMN 的面积是堆假山用地OAM 的面积的 倍,试确定AOM 的3大小.(3)为节省投入资金,人工湖OMN 的面积要尽可能小,问如何设计施工方案,可使OMN 的面积最小?最小面积是多少?【解析】(1)因为在OAB 中,OA=3,OB=3 ,AOB=90,所以OAB=60,37在AOM 中,OA=3,AM= ,OAM=60,32由余弦定理,得 OM= ,332所以 OM2+AM2=OA2,即 OMAN,所以AOM=30,所以OAN 为正三角形,所以OAN 的周长为 9,即防护网的总长度为 9 km.(2)设AOM=(00,则 sin A= = ,即 = ,由(1)可45 34知 + = =1,所以 = = , 114所以 tan B=4.
