1、第二讲 椭圆、双曲线、抛物线,热点题型1 圆锥曲线的定义及标准方程 【感悟经典】 【典例】1.(2016天津高考)已知双曲线 =1(a0,b0)的焦距为2 ,且双曲线的一条渐近线与 直线2x+y=0 垂直,则双曲线的方程为 ( ),2.椭圆E: =1(ab0)的左焦点为F1,右焦点为 F2,离心率e= .过F1的直线交椭圆于A,B两点,且 ABF2的周长为8,则椭圆E的方程为_.,【联想解题】1.看到渐近线,想到渐近线的斜率. 2.圆锥曲线的定义是高频考点.,【规范解答】1.选A.由题意得c= .双曲线的渐近 线为y= x,因为渐近线与直线2x+y=0 垂直,所以 (-2) =-1,所以 又因
2、为c2=a2+b2,解得 a=2,b=1,所以双曲线的方程为 -y2=1.,2.由题意得 =4a=8,得a=2. 又e= ,所以c=1.所以b2=a2-c2=22-12=3. 所以椭圆E的方程为 =1. 答案: =1,【规律方法】 1.圆锥曲线定义的应用 (1)已知椭圆、双曲线上一点及焦点,首先要考虑使用椭圆、双曲线的定义求解. (2)应用抛物线的定义,灵活将抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相互转化使问题得解.,2.圆锥曲线方程的求法 求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型,后计算”. (1)定型.就是指定类型,也就是确定圆锥曲线的焦点位置,从而设出标准方程.,(2)计算.即利用待定系数法
3、求出方程中的a2,b2或p.另外,当焦点位置无法确定时,抛物线常设为y2=2ax或x2=2ay(a0),椭圆常设为mx2+ny2=1(m0,n0),双曲线常设为mx2-ny2=1(mn0).,【对点训练】 1.已知双曲线C: =1的离心率e= ,且其右焦点 F2(5,0),则双曲线C的方程为 ( ) A. =1 B. =1 C. =1 D. =1,【解析】选B.因为所求双曲线的右焦点为F2(5,0)且 离心率为e= ,所以c=5,a=4,b2=c2-a2=9,所以 所求双曲线方程为 =1.,2.已知椭圆C: 点M与C的焦点不重合,若M关 于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则
4、 |AN|+|BN|=_.,【解析】根据题意,椭圆的左、右焦点为F1(- ,0), F2( ,0),由于点M的不确定性,不妨令其为椭圆的 左顶点(-3,0),线段MN的中点为椭圆的上顶点H(0,2), 则M关于C的焦点的对称点分别为A(-2 +3,0), B(2 +3,0),而点N(3,4),据两点间的距离公式得 |AN|+|BN|=答案:12,【提分备选】1.已知椭圆的两个焦点是(-3,0),(3,0), 且点(0,3)在椭圆上,则椭圆的标准方程是 ( ) A. =1 B. =1 C. =1 D. =1,【解析】选D.因为椭圆的两个焦点是(-3,0),(3,0), 且过点(0,3),所以设椭
5、圆方程为 =1(ab0), 且c=3,b=3,解得a=3 , 所以椭圆的标准方程为: =1.,2.直线l过抛物线y2=2px(p0)的焦点,且与抛物线交于A,B两点,若线段AB的长是8,AB的中点到y轴的距离是2,则此抛物线方程是 ( ) A.y2=12x B.y2=8x C.y2=6x D.y2=4x,【解析】选B.设A(x1,y1),B(x2,y2),根据抛物线定义,x1+x2+p=8, 因为AB的中点到y轴的距离是2, 所以 所以p=4; 所以抛物线方程为y2=8x.,热点题型2 圆锥曲线的几何性质 【感悟经典】 【典例】1.(2016全国卷)已知O为坐标原点,F是椭 圆C: =1(ab
6、0)的左焦点,A,B分别为C的左, 右顶点.P为C上一点,且PFx轴.过点A的直线l与线段,PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则 C的离心率为 ( ) A. B. C. D.,2.x-3y+m=0(m0)与双曲线 =1(a0,b0)的两条 渐近线分别交于点A,B,若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,则 该双曲线的离心率是_.,【联想解题】 1.看到离心率,想到列出关于a,c的等式. 2.看到两直线相交,想到联立方程求解.,【规范解答】 1.选A.由题意可知直线AE的斜率存在,设为k,直线AE的 方程为y=k(x+a),令x=0可得点E坐标为 所以OE的 中点H坐标为
7、又右顶点B(a,0),所以可得直线BM 的斜率为 ,可设其方程为y=- x+ a,联立,可得点M的横坐标为- ,又点M的横坐 标和左焦点相同,所以- =-c, 所以e= .,2.由双曲线的方程可知,它的渐近线方程为y= x 与y=- x,分别与x-3y+m=0(m0)联立,解得 A B 设AB的中点为Q,则Q,因为|PA|=|PB|,所以PQ与已知直线垂直, 所以kPQ=-3,解得2a2=8b2=8(c2-a2),答案:,【规律方法】圆锥曲线性质的应用 (1)分析圆锥曲线中a,b,c,e各量之间的关系是求解问题的关键.,(2)确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围,其关键是建立关于a,b,c的方程
8、(组)或不等式(组),要充分利用 椭圆、双曲线和抛物线的几何性质、点的坐标的范围等.,【对点训练】 1.已知A,B为双曲线E的左、右顶点,点M在E上,ABM为 等腰三角形,且顶角为120,则E的离心率为 ( ) A. B.2 C. D.,【解析】选D.设双曲线方程为 =1(a0,b0),如 图所示,|AB|=|BM|,ABM=120,过点M作MNx轴,垂 足为N,在RtBMN中,|BN|=a,|MN|= a,故点M的坐标 为(2a, a),代入双曲线方程得a2=b2=c2-a2,即c2=2a2, 所以e= .,2.已知椭圆E的中心为坐标原点,离心率为 ,E的右 焦点与抛物线C:y2=8x的焦点
9、重合,A,B是C的准线与E的 两个交点,则 ( ) A.3 B.6 C.9 D.12,【解析】选B.因为抛物线C:y2=8x的焦点为(2,0),准线 方程为x=-2,所以椭圆E的右焦点为(2,0),所以椭圆E的 焦点在x轴上,设方程为 =1(ab0),c=2, 因为 所以a=4,所以b2=a2-c2=12,所以椭 圆E的方程为,将x=-2代入椭圆E的方程解得A(-2,3),B(-2,-3),所以|AB|=6.,热点题型3 直线与圆锥曲线的位置关系 【感悟经典】 【典例】已知A,B,C是椭圆m: =1(ab0)上的三 点,其中点A的坐标为(2 ,0),BC过椭圆的中心, 且 (1)求椭圆m的方程
10、.,(2)过点(0,t)的直线l(斜率存在时)与椭圆m交于两 点P,Q,设D为椭圆m与y轴负半轴的交点,且 求实数t的取值范围.,【联想解题】 (1)看到点A的坐标,想到椭圆的顶点;看到 想到直角三角形. (2)看到直线与曲线相交,想到联立方程,利用根与系 数的关系.,【规范解答】(1)因为 ,且BC过(0,0),则因为 所以OCA=90,即C( , ). 又因为a=2 ,设椭圆m的方程为 将C点坐标代入得 ,解得c2=8,b2=4. 所以椭圆m的方程为,(2)由条件D(0,-2),当k=0时,显然-20可得,t24+12k2, 设P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ中点H(x0,y0),
11、则 所以 由 得DHPQ,即kDH= ,所以,化简得t=1+3k2, 所以t1. 将代入得,1t4. 综上所述,所求t的取值范围是(-2,4).,【规律方法】 解决直线与圆锥曲线的位置关系的相关问题的思路 先把直线方程与圆锥曲线方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题.涉及弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.,提醒: (1)利用公式计算判定直线与圆锥曲线的位置关系,特别是求范围时,不要忽略判别式. (2)涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.,【对点训练】 设椭圆 =1(ab0)的左、右顶点分别为A,B,点 P在
12、椭圆上且异于A,B两点,O为坐标原点. (1)若直线AP与BP的斜率之积为- ,求椭圆的离心率. (2)若|AP|=|OA|,证明直线OP的斜率k满足|k| .,【解析】(1)设点P的坐标为(x0,y0). 由题意,有 =1. 由A(-a,0),B(a,0)得kAP= ,kBP= 由kAPkBP=- ,可得 =a2-2 ,代入并整理得(a2-2b2) =0. 由于y00,故a2=2b2. 于是e2= ,所以椭圆的离心率e= .,(2)方法一:依题意,直线OP的方程为y=kx,设点P的坐 标为(x0,y0).由条件得 消去y0并整理得 由|AP|=|OA|,A(-a,0)及y0=kx0, 得(x
13、0+a)2+k2 =a2.整理得,(1+k2) +2ax0=0.而x00, 于是x0= ,代入,整理得 (1+k2)2=4k2 +4. 由ab0,故(1+k2)24k2+4,即k2+14, 因此k23,所以|k| .,方法二:依题意,直线OP的方程为y=kx, 可设点P的坐标为(x0,kx0). 由点P在椭圆上,有 =1. 因为ab0,kx00,所以 1, 即(1+k2) a2. ,由|AP|=|OA|,A(-a,0),得(x0+a)2+k2 =a2,整理 得(1+k2) +2ax0=0, 因为x00, 于是x0= .代入,得(1+k2) 3, 所以|k| .,【提分备选】已知抛物线G的顶点在
14、原点,焦点 在y轴的正半轴上,抛物线上的点P(m,4)到焦点的距离等于5. (1)求抛物线G的方程.,(2)若正方形ABCD的三个顶点A(x1,y1),B(x2,y2), C(x3,y3)(x10x2x3)在抛物线上,可设直线BC的斜率为k,求正方形ABCD面积的最小值.,【解析】(1)依题意,设抛物线方程为x2=2py, 又因为4+ =5,解得p=2, 所以抛物线的方程为x2=4y.,(2)由(1),可设直线BC的方程为:y=k(x-x2)+ (k0),易知x2,x3为该方程的两个根,故有x2+x3=4k, 得x3=4k-x2,从而得|BC|= (x3-x2)=2 (2k-x2), 类似地,
15、可设直线AB的方程为: y=- (x-x2)+ , 从而得|AB|= (2+kx2), 由|AB|=|BC|,得k2(2k-x2)=(2+kx2),解得x2= ,正方形ABCD的边长l=f(k)=(k0), 因为l=f(k)=,所以S=l232,即S的最小值为32,当且仅当k=1时取 得最小值.,数学抽象圆锥曲线中的最值、范围问题中的数学 素养 【相关链接】 函数与方程思想在解析几何中的应用是每年高考必考 内容,常以求曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、,范围、探索性问题为主.一般都有较为复杂的运算,对考生解决问题的能力要求较高,常以压轴题形式出现.,【典例】 椭圆C: =1(ab0)的短轴
16、两端点为B1(0,-1),B2(0,1),离心率e= ,点P是椭圆C上不在坐标轴上 的任意一点,直线B1P和B2P分别与x轴相交于M,N两点, (1)求椭圆C的方程和|OM|ON|的值.,(2)若点M坐标为(1,0),过M点的直线l与椭圆C相交于A,B两点,试求ABN面积的最大值.,【规范解答】(1)由B1(0,-1),B2(0,1),知b=1, 又e= ,所以c2= a2=a2-1, 则a2=4, 所以椭圆C的方程为 +y2=1, 设点P(x0,y0),则直线B1P的方程为y= x-1,令y=0得xM= ,同理可得xN=,(2)当点M坐标为(1,0)时,点N(4,0),|MN|=3, 设直线
17、AB的方程为x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2), 代入方程 +y2=1得(t2+4)y2+2ty-3=0,则|y1- y2|=,因为t20,所以 因此当t=0,即直线AB的方程为x=1时,ABN面积的最 大值是 .,【通关题组】 已知椭圆C: =1(ab0)的左焦点为F(-1,0),=2. (1)求椭圆C的标准方程. (2)已知直线交椭圆C于A,B两点.若OAOB(O为原点),求AOB面积的取值范围.,【解析】(1)由题设知c=1, =2,a2=2c, 所以a2=2,b2=a2-c2=1,所以C: +y2=1.,(2)当直线OA,OB分别与坐标轴重合时,易知AOB的 面积S= ,
18、 当直线OA,OB的斜率均存在且不为零时,设OAy=kx, OBy=- x,设A(x1,y1),B(x2,y2),将y=kx代入椭圆得到x2+2k2x2=2, 所以 同理AOB的面积S=,令t=k2+11,+),S= 令u= (0,1),则S= 综上所述,S .,【提分备选】如图,点A,B分别是椭圆E: =1 (ab0)的左、右顶点,圆B:(x-2)2+y2=9经过椭圆E 的左焦点F1. (1)求椭圆E的方程. (2)过点A作直线l与y轴交于点Q,与椭圆E交于点 P(异于A).求 的取值范围.,【解析】(1)因为以椭圆E的右顶点B为圆心的圆B方程 为:(x-2)2+y2=9,所以圆B的圆心坐标的横坐标即为a的 值,所以a=2,在圆B:(x-2)2+y2=9中令y=0,得F1(-1,0), 所以b2=4-1=3, 所以椭圆E的方程为,(2)当直线l为x轴时,显然有 =0; 设直线AP:x=ty-2,并与椭圆E的方程联立, 消去x可得:(4+3t2)y2-12ty=0, 由椭圆E的方程可知:A(-2,0), 由根与系数的关系可得:,在直线AP:x=ty-2中令x=0,得yQ= , 所以 = 综上所述, 的取值范围为0,2).,
