1、1第一讲 直线与圆(30分钟 55 分)一、选择题(每小题 5分,共 25分)1.已知三条直线 x=1,x-2y-3=0,mx+y+2=0交于一点,则 m的值为 ( )A.1 B.2 C.-1 D.-2【解析】选 C.由方程组 解得 x=1,y=-1,代入 mx+y+2=0中,得 m-=1,-2-3=01+2=0,所以 m=-1.2.点 P(-1,1)关于直线 ax-y+b=0的对称点是 Q(3,-1),则 a,b的值分别是 ( )A.-2,2 B.2,-2C. ,- D. ,【解析】选 B.因为点 P(-1,1)关于直线 ax-y+b=0的对称点是 Q(3,-1),所以a =-1,a - +
2、b=0,所以 a=2,b=-2.1-123.已知过定点 P(2,0)的直线 l与曲线 y= 相交于 A,B两点,O 为坐标原点,当2-2AOB的面积最大时,直线 l的倾斜 角为 ( )A.150 B.135 C.120 D.30【解析】选 A.设AOB=,则 SAOB = ( )2sin =sin 21,当且仅当 =90时,取等号.此时,AOB 为等腰直角三角形,如图,斜边为BA,斜边上的高为 1,又因为 OP=2,所以BPO=30,所以直线 l的倾斜角为 150.4.设直线 x-y+m=0(mR)与圆(x-2) 2+y2=4交于 A,B两点,过 A,B分别作 x轴的 垂线与 x轴交于 C,D
3、两点.若线段 CD的长度为 ,则 m= ( )A.1或 3 B.1或-3 C.-1或 3 D.-1或-3【解析】选 D.联立 得 2x2+2(m-2)x+m2=0,则 =-4(m 2+4m-4).-+=0,(-2)2+2=42设 C(x1,y1),D(x2,y2),则 x1+x2=2-m,x1x2= ,所以|CD|=|x 1-x2|= = = ,解得 m=-3或 m=-1,此时 0 成立.5.已知圆(x+3) 2+y2=64的圆心为 M,设 A为圆上任一点,点 N的坐标为(3,0),线段 AN的垂直平分线交 MA于点 P,则 的取值范围是 ( )A. B. C. D.67,8 17,7 14,
4、4【解析】选 C.因为圆(x+3) 2+y2=64的圆心为 M,A为圆上任一点,点 N的坐标为(3,0),线段AN的垂直平分线交 MA于点 P,所以 P是 AN的垂直平分线上一点,所以 PA=PN,又因为 AM=8,所以点 P满足 PM+PN=AM=8MN=6,即 P点满足椭圆的定义,焦点是(3,0),(-3,0),半长轴 a=4,故 P点轨迹方程为 + =1,因为 PM+PN=8,所以 = = -1,8-因为 1PN7,所以 ,87,8所以 .17,7二、填空题(每小题 5分,共 15分)6.已知直线 x+y+m=0与圆 x2+y2=2交于不同的两点 A,B,O是坐标原点,| + | |,那
5、么实数 m的取值范围是_. 【解析】因为直线 x+y+m=0与圆 x2+y2=2交于相异两点 A,B,3所以 O点到直线 x+y+m=0的距离 d .(2)直线 l的方程为 y=k(x-1),代入圆 C的方程得:(1+k 2)x2-(2k2+6k+4)x+k2+6k+12=0,设 M(x1,y1),N(x2,y2),5则 x1x2= ,x1+x2= ,所以 y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=k2(x1x2-x1-x2+1)= ,921+2所以 =x1x2+y1y2= =12,解得 k=3或 k=0(舍),102+6+121+2所以 l的方程为 3x-y-3=0.故圆心(2,3)在直线 l
6、上,所以|MN|=2r=2.【提分备选】已知直线 l:y=k(x+1)+ 与圆 x2+y2=4交于 A,B两点,过 A,B分别做 l的垂线与 x轴交于 C,D3两 点,若|AB|=4,则|CD|=_. 【解析】由圆的方程 x2+y2=4可知:圆心为(0,0),半径 r=2.因为弦长为|AB|=4=2r,所以可以得知直线 l经过圆心 O.所以 0=k(0+1)+ ,解得 k=- ,3 3所以直线 AB的方程为:y=- x,3设直线 AB的倾斜角为 ,则 tan =- ,所以 =120,3所以在 RtAOC 中,|CO| = =4,那么|CD|=2|OC|=8.6答案:8(20分钟 20 分)1.
7、(10分)已知点 P(2,0)及圆 C:x2+y2-6x+4y+4=0.(1)若直线 l过点 P且与圆心 C的距离为 1,求直线 l的方程.(2)设过点 P的直线 l1与圆 C交于 M,N两点,当|MN|=4 时,求以线段 MN为直径的圆 Q的方程.(3)设直线 ax-y+1=0与圆 C交于 A,B两点,是否存在实数 a,使得过点 P(2,0)的直线 l2垂直平分弦 AB?若存在,求出实数 a的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)设直线 l的斜率为 k(k存在),则方程 y-0=k(x-2),即 kx-y-2k=0,又圆 C的圆心为(3,-2),半径 r=3,由 =1,解得 k=- .|3
8、+2-2|2+1 34所以直线方程为 y=- (x-2),即 3x+4y-6=0.34当 l的斜率不存在时, l的方程为 x=2,经验证 x=2也满足条件.综上所述,直线 l的方程为 x=2或 3x+4y-6=0.(2)由于|CP|= ,而弦心距 d= = , 所以 d=|CP|= .52-(|2 )2 5 5所以 P恰为 MN的中点.故以 MN为直径的圆 Q的方程为(x-2) 2+y2=4.(3)把直线 y=ax+1,代入圆 C的方程,消去 y,整理得(a 2+1)x2+6(a-1)x+9=0.由于直线 ax-y-1=0交圆 C于 A,B两点,故 =36(a-1) 2-36(a2+1)0,即
9、-2a0,解得 a0.则实数 a的取值范围是(-,0).设符合条件的实数 a存在,由于 l2垂直平分弦 AB,故圆心 C(3,-2)必在 l2上.7所以 l2的斜率 kPC=-2,而 kAB=a=- ,所以 a= .由于 (-,0),故不存在实数 a,使得过点 P(2,0)的直线 l2垂直平分弦 AB.2.(10分)已知圆 A:x2+y2+2x-15=0,过点 B(1,0)作直线 l(与 x轴不重合)交圆 A于 C,D两点,过点 B作 AC的平行线交 AD于点 E.(1) 求点 E的轨迹方程.(2)动点 M在曲线 E上,动点 N在直线 l:y=2 上,若 OMON, 求证:原点 O到直线 MN
10、的距3离是定值.【解析】(1)如图,因为|AD|=|AC|,E BAC, 故EBD=ACD=ADC,所以|EB|=|ED|,故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.又圆 A的标准方程为(x+1) 2+y2=16,从而|AD|=4,所以|EA|+|EB|=4,由题设得 A(-1,0),B(1,0),|AB|=2,由椭圆的定义可得点 E的轨 迹方程为 + =1.(2)若直线 ON的斜率不存在,则|ON|=2 ,|OM|=2,|MN|=4,原点 O到直线 MN的距离 d= = .3若直线 ON的斜率存在,设直线 OM的方程为 y=kx,代入 + =1,得 x2= ,y2=23 123+428,1223+42直线 ON的方程为 y=- x,代入 y=2 ,得3N(-2 k,2 ).3由题意知|MN| 2=|ON|2+|OM|2=(-2 k)2+(2 )2+ = .3 312(1+2)3+42 48(1+2)23+42设原点 O到直线 MN的距离为 d,由题意知|MN|d=|OM|ON|,得 d2= =3,则 d= .|2|2|2 3综上所述,原点 O到直线 MN的距离为定值 .3
