1、1大题分层练(六)解析几何、函数与导数(B 组)1.已知椭圆 C: + =1(ab0)的离心率为 ,且以两焦点为直径的圆的内接正方形面2222积为 2.(1)求椭圆 C 的标准方程.(2)若直线 l:y=kx+2 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,在 y 轴上是否存在点 D,使直线 AD 与 BD 的斜率之和 kAD+kBD为定值?若存在,求出点 D 坐标及该定值,若不存在,试说明理由.【解析】(1)由已知可得 解得 a2=2,b2=1,c2=1,所求椭圆方程为+y2=1.22(2)由 得(1+2k 2)x2+8kx+6=0,则 =64k 2-24(1+2k2)=16k2-240,解得 k .
2、设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=- ,x1x2= ,设存在点 D(0,m),则 kAD= ,kBD= ,所以 kAD+kBD=2= = .6-4(2-)3要使 kAD+kBD为定值,只需 6k-4k(2-m)=6k-8k+4mk=2(2m-1),k 与参数 m 无关,故 2m-1=0,解得 m= ,当 m= 时,k AD+kBD=0.12 12综上所述,存在点 D ,使得 kAD+kBD为定值,且定值为 0.2.已知函数 h(x)=(x-a)ex+a.(1)若 x-1,1,求函 数 h(x)的最小值.(2)当 a=3时,若对x 1-1,1,x 21,2,使得 h(x1)
3、 -2bx2-ae+e+ 成立,求 b 的范围.【解析】(1)h(x)=(x-a+1)e x,令 h(x)=0 得 x=a-1.当 a-1-1 即 a0 时,在-1,1上 h(x)0,h(x)递增,h(x)的最小值为 h(-1)=a- .1+当-1a-11 即 0a2 时,在 x-1,a-1上 h(x)0,h(x)为减少的,在 xa-1,1上h(x)0,h(x)为增加的.所以 h(x)的最小值为 h(a-1)=-ea-1+a.当 a-11 即 a2 时,在-1,1上 h(x)0,h(x)递减,h(x)的最小值为 h(1)=(1-a)e+a.综上所述,当 a0 时 h(x)的最小值为 a- ,当
4、 a2 时 h(x)的最小值为(1-a)e+a,当1+0a2 时,h(x)最小值为-e a-1+a.(2)令 f(x)=x2-2bx-ae+e+ ,由题可知“对x 1-1,1,x 21,2,使得 h(x1) -2bx2-ae+e+ 成立”等价于“f(x)在1,2上的最 小值不大于 h(x)在-1,1上的最小值”.即 h(x)minf(x) min.由(1)可知,当 a=3 时,h(x) min=h(1)=(1-a)e+a=-2e+3.3当 a=3 时,f(x)=x 2-2bx-2e+ =(x-b)2-b2-2e+ ,x1,2,当 b1 时,f(x) min=f(1)=-2b-2e+ ,由-2e+3-2b-2e+ 得 b ,与 b1 矛盾,舍去.当 1b2 时,f(x) min=f(b)=-b2-2e+ ,由-2e+3-b 2-2e+ 得 b2 ,与 1b2 矛盾,舍去.92当 b2 时,f(x) min=f(2)=-4b-2e+ ,由-2e+3-4b-2e+ 得 b .综上,b 的取值范围是 .
