1、1第 1 讲 概率、随机变量及其分布列1.(2018全国卷,理 3)某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:则下面结论中不正确的是( A )(A)新农村建设后,种植收入减少(B)新农村建设后,其他收入增加了一倍以上(C)新农村建设后,养殖收入增加了一倍(D)新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半解析:因为 0.60.5,所以 p=0.6.故选 B.4.(2018全国卷,理 10)2如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆
2、构成,三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC,直角边 AB,AC.ABC 的三边所围成的区域记为,黑色部分记为,其余部分记为.在整个图形中随机取一点,此点取自,的概率分别记为p1,p2,p3,则( A )(A)p1=p2 (B)p1=p3(C)p2=p3 (D)p1=p2+p3解析:因为 SABC = ABAC,12以 AB 为直径的半圆的面积为 2= AB2,12 2以 AC 为直径的半圆的面积为 2= AC2,12 2以 BC 为直径的半圆的面积为 2= BC2,12 2所以 S = ABAC,S = BC2- ABAC,12 12S = AB2+ AC2 - BC2- AB
3、AC12= ABAC.12所以 S =S .由几何概型概率公式得 p1= ,p2= ,总所以 p1=p2.故选 A.1.考查角度(1)统计图表,抽样方法;(2)几何概型,古典概型(常与排列、组合结合考查),互斥、对立事件的概率及独立重复试验恰有 k 次发生的概率;(3)以实际问题为背景,多与统计结合考查离散型随机变量的分布列、均值、方差等.2.题型及难易度选择题、解答题,难度中低档.(对应学生用书第 5355 页)3抽样方法【例 1】 (1)(2018长沙市名校实验班阶段性测试)一个总体由编号分别为01,02,29,30 的 30 个个体组成,利用下面的随机数表选取 6 个个体,选取方法是从随
4、机数表的第 1 行第 4 列开始,由左到右依次读取,则选出来的第 6 个个体的编号为 . 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 01983204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481(2)(2018广州市测试)已知某区中小学学生人数如图所示.为了解该区学生参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法来进行调查.若高中需抽取 20 名学生,则小学与初中共需抽取的学生人数为 .解析:(1)从第 1 行第 4 列开始,满足要求的编号依次为 20,26,24,19,23,03,所以选出来的第 6 个个体的编号为 03.(2)设小学与初
5、中共需抽取的学生人数为 x,依题意可得 = ,解1 2002 700+2 400+1 200得 x=85.答案:(1)03 (2)85(1)简单随机抽样适用于总体个体数较少,具体方法有抽签法、随机数表法;(2)系统抽样适用于总体的个体数较多,特点是等距抽样,即所抽到的数据是以抽样距为公差的等差数列.(3)分层抽样适用于总体由差异明显的几部分组成,特点是按比例,即抽样比= =样 本容量总 体个数.该层样 本数该层 个体数热点训练 1:(1)(2018全国卷)某公司有大量客户,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异.为了解客户的评价,该公司准备进行抽样调查,可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层
6、抽样和系统抽样,则最合适的抽样方法是 . (2)(2018南昌市摸底调研)某校高三(2)班现有 64 名学生,随机编号为 0,1,2,63,依编号顺序平均分成 8 组,组号依次为 1,2,3,8.现用系统抽样方法抽取一个容量为 8 的样本,若在第 1 组中随机抽取的号码为 5,则在第 6 组中抽取的号码为 . 解析:(1)因为客户数量大,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异,所以最合适的抽样方法是分层抽样.(2)依题意,分组间隔为 =8,因为采用系统抽样方法,且在第 1 组中随机抽取的号码为 5,所以在第 6 组中抽取的号码为 5+58=45.4答案:(1)分层抽样 (2)45古典概型、几
7、何概型考向 1 古典概型【例 2】 (2018长沙市、南昌市联合模拟)春节期间,记者在天安门广场随机采访了 6 名外国游客,其中有 2 名游客会说汉语,从这 6 人中任意选取 2 人进行深度采访,则这 2 人中至少有 1 人会说汉语的概率为( )(A) (B) (C) (D)35 45解析:法一 设事件 A“这 2 人中至少有 1 人会说汉语”,则 P( )= = = ,2426 25所以 P(A)=1-P( )= .故选 C.35法二 设事件 A“这 2 人中至少有 1 人会说汉语”,则 P(A)= = = .故选 C.35考向 2 几何概型【例 3】 (2018河北武邑一模)在区间0,1上
8、随机取两个数 x 和 y,则 y x- 的概率为12( )(A) (B) (C) (D)16 25 34 14解析:在区间0,1上随机选取两个数 x 和 y,对应的区间为边长为 1 的正方形,面积为 1,在此条件下满足 y x- 的区域面积为 1-2 = .所以所求概率为 .故选 C.12 12 12 1234 34(1)求古典概型概率的一般步骤:求出所有基本事件的个数 n,常用的方法有列举法、排列组合法等;求出事件 A 所包含的基本事件的个数 m;代入公式 P(A)= 求解.(2)求几何概型概率要寻找构成试验的全部结果所构成的区域和事件发生所构成的区域,有时需要设出变量,在坐标系中表示所需要
9、的区域.5热点训练 2:(1)(2018济南市模拟)七巧板是一种古老的中国传统智力游戏,被誉为“东方魔板”.如图,这是一个用七巧板拼成的正方形,其中 1 号板与 2 号板为两个全等的等腰直角三角形,3 号板与 5 号板为两个全等的等腰直角三角形,7 号板为一个等腰直角三角形,4 号板为一个正方形,6 号板为一个平行四边形.现从这个大正方形内任取一点,则此点取自阴影部分的概率是( )(A) (B) (C) (D)18 14 38(2)(2018江苏卷)某兴趣小组有 2 名男生和 3 名女生,现从中任选 2 名学生去参加活动,则恰好选中 2 名女生的概率为 . 解析:(1)设大正方形的面积为 4S
10、,则 5 号板与 7 号板的面积分别为 S, S,所以从这个大正14 12方形内任取一点,则此点取自阴影部分的概率是 = .故选 C.14+124(2)设 2 名男生为 a,b,3 名女生为 A,B,C,从中选出 2 人的情况有(a,b),(a,A),(a,B),(a,C),(b,A),(b,B),(b,C),(A,B),(A,C),(B,C),共 10 种,而都是女生的情况有(A,B),(A,C),(B,C),共3 种,故所求概率为 .答案:(1)C (2)离散型随机变量的分布列、均值【例 4】 (2018天津卷)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 24,16,16.现采用分层抽样
11、的方法从中抽取 7 人,进行睡眠时间的调查.(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?(2)若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足,3 人睡眠充足,现从这 7 人中随机抽取 3 人做进一步的身体检查.用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数,求随机变量 X 的分布列与数学期望;设 A 为事件“抽取的 3 人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件 A 发生的概率.解:(1)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为 322,由于采用分层抽样的方法从中抽取 7 人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取 3 人,2 人,2 人.(2)随机变量 X 的所有可能取值为
12、0,1,2,3.P(X=k)= (k=0,1,2,3).所以随机变量 X 的分布列为6X 0 1 2 3P1235 1835随机变量 X 的数学期望 E(X)=0 +1 +2 +3 = .1235 1835设事件 B 为“抽取的 3 人中,睡眠充足的员工有 1 人,睡眠不足的员工有 2 人”;事件 C 为“抽取的 3 人中,睡眠充足的员工有 2 人,睡眠不足的员工有 1 人”,则 A=BC,且 B 与 C 互斥,由知,P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1),故 P(A)=P(BC)=P(X=2)+P(X=1)= .67所以事件 A 发生的概率为 .67(1)求离散型随机变量的分布列的关
13、键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件,然后综合应用各类求概率的公式求出概率.(2)求随机变量的期望的关键是正确求出随机变量的分布列,若随机变量服从二项分布,则可直接使用公式求解.(3)对于两点分布、二项分布、超几何分布的期望、方差可直接代入相关公式求解;对于一般类型的随机事件的期望与方差需列出概率分布列,用期望、方差公式求解.热点训练 3:(2018益阳市、湘潭市调研)某乒乓球俱乐部派甲、乙、丙三名运动员参加某运动会的单打资格选拔赛,本次选拔赛只有出线和未出线两种情况.规定一名运动员出线记1 分,未出线记 0 分.假设甲、乙、丙出线的概率分别为 , , ,他们出线与未出线是相互独34
14、35立的.(1)求在这次选拔赛中,这三名运动员至少有一名出线的概率;(2)记在这次选拔赛中,甲、乙、丙三名运动员的得分之和为随机变量 ,求随机变量 的分布列和数学期望 E.解:(1)记“甲出线”为事件 A,“乙出线”为事件 B,“丙出线”为事件 C,“甲、乙、丙至少有一名出线”为事件 D,则 P(D)=1-P( )=1- = .13 14 252930(2)由题意可得, 的所有可能取值为 0,1,2,3,则 P(=0)=P( )= = ;13 14 25P(=1)=P(A )+P( B )+P( C)= + + = ;23 14 2513 34 2513 14 351360P(=2)=P(A
15、B )+P(A C)+P( B C)= + + = ;23 34 2523 14 3513 34 357P(=3)=P(ABC)= = .23 34 35所以 的分布列为 0 1 2 3P1360E()=0 +1 +2 +3 = .1360【例 1】 (2018辽宁大连八中模拟)若从区间(0,e)(e 为自然对数的底数,e=2.718 28)内随机选取两个数,则这两个数之积小于 e 的概率为( )(A) (B) (C)1- (D)1-2 1 2 1解析:由题意,设这两个数分别为 x,y.则 画出可行域如图所示.故概率为 = = .1+ 12 2选 A.【例 2】 (2018浙江卷)设 00),
16、若 在(80,120)内的概率为 0.8,则任意选取一名学生,该生成绩不高于80 的概率为( )(A)0.05 (B)0.1 (C)0.15 (D)0.2解析:设该生成绩为 X,则 P(X80)=P(X120)= =0.1,选 B.1(800;当 p(0.1,1)时,f(p)400,故应该对余下的产品作检验.12 分注:第(1)问得分说明由独立重复试验恰有 k 次发生的概率公式求出 f(p),得 2 分;对 f(p)正确求导,得 1 分;求出 f(p)的导函数的零点,得 1 分;正确讨论 f(p)的单调性,得 1 分;求出 f(p)的最大值点 p0,得 1 分.第(2)问得分说明:由(1)写出
17、 p 的值,得 1 分;设出余下的 180 件产品中不合格品的件数 Y,判断出 Y 服从二项分布,得 1 分;求出 X,Y 的关系式,利用二项分布期望公式求出 EX,得 2 分;求出检验余下所有产品的总费用,并与 EX 比较,得出结论,得 2 分.【答题启示】(1)解概率、随机变量及其分布列问题,关键是认真读题,确定求概率所使用公式.本题可能由于读不懂题意或公式使用错误而失分;(2)导数作为研究函数的常用工具,它与概率综合成为高考命题新趋势,本题在对 f(p)求导时,常因式子复杂而计算错误而失分.(3)期望与方差的性质若 Y=aX+b,其中 a,b 是常数,X 是随机变量,则E(aX+b)=aE(X)+b.D(aX+b)=a 2D(X).(4)若离散型随机变量 XB(n,p),则 E(X)=np,D(X)=np(1-p).
