1、专题七 概率与统计 第1讲 概率、随机变量及其分布列,高考导航,热点突破,备选例题,阅卷评析,高考导航 演真题明备考,真题体验,1.(2018全国卷,理3)某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:则下面结论中不正确的是( ) (A)新农村建设后,种植收入减少 (B)新农村建设后,其他收入增加了一倍以上 (C)新农村建设后,养殖收入增加了一倍 (D)新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半,A,C,3.(2018全国卷,理8)某群体中的每位成员使
2、用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立,设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数, DX=2.4,P(X=4)P(X=6),则p等于( ) (A)0.7 (B)0.6 (C)0.4 (D)0.3,B,4.(2018全国卷,理10)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.ABC的三边所围成的区域记为,黑色部分记为,其余部分记为.在整个图形中随机取一点,此点取自,的概率分别记为p1,p2,p3,则( )(A)p1=p2 (B)p1=p3 (C)p2=p3 (D)p1=p2+p3,A,考情分析
3、,1.考查角度 (1)统计图表,抽样方法; (2)几何概型,古典概型(常与排列、组合结合考查),互斥、对立事件的概率及独立重复试验恰有k次发生的概率; (3)以实际问题为背景,多与统计结合考查离散型随机变量的分布列、均值、方差等. 2.题型及难易度 选择题、解答题,难度中低档.,热点突破 剖典例促迁移,热点一,抽样方法,【例1】 (1)(2018长沙市名校实验班阶段性测试)一个总体由编号分别为01,02,29,30的30个个体组成,利用下面的随机数表选取6个个体,选取方法是从随机数表的第1行第4列开始,由左到右依次读取,则选出来的第6个个体的编号为 . 7816 6572 0802 6314
4、0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481,解析:(1)从第1行第4列开始,满足要求的编号依次为20,26,24,19,23,03,所以选出来的第6个个体的编号为03. 答案:(1)03,(2)(2018广州市测试)已知某区中小学学生人数如图所示.为了解该区学生参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法来进行调查.若高中需抽取20名学生,则小学与初中共需抽取的学生人数为 .,答案:(2)85,方法技巧,(1)简单随机抽样适用于总体个体数较少,具体方法有抽签法、随机数表法; (2)系统抽样适用于总体的个体数较多,特
5、点是等距抽样,即所抽到的数据是以抽样距为公差的等差数列.,热点训练1:(1)(2018全国卷)某公司有大量客户,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异.为了解客户的评价,该公司准备进行抽样调查,可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样,则最合适的抽样方法是 .,解析:(1)因为客户数量大,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异,所以最合适的抽样方法是分层抽样. 答案:(1)分层抽样,(2)(2018南昌市摸底调研)某校高三(2)班现有64名学生,随机编号为0,1, 2,63,依编号顺序平均分成8组,组号依次为1,2,3,8.现用系统抽样方法抽取一个容量为8的样本,若在第1组中随
6、机抽取的号码为5,则在第6组中抽取的号码为 .,答案:(2)45,热点二,古典概型、几何概型,方法技巧,(1)求古典概型概率的一般步骤: 求出所有基本事件的个数n,常用的方法有列举法、排列组合法等; 求出事件A所包含的基本事件的个数m; 代入公式P(A)= 求解. (2)求几何概型概率要寻找构成试验的全部结果所构成的区域和事件发生所构成的区域,有时需要设出变量,在坐标系中表示所需要的区域.,答案:(1)C,(2)(2018江苏卷)某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为 .,解析:(2)设2名男生为a,b,3名女生为A,B,C,从中选出2人的情况
7、有(a,b), (a,A),(a,B),(a,C),(b,A),(b,B),(b,C),(A,B),(A,C),(B,C),共10种,而都是女生的情况有(A,B),(A,C),(B,C),共3种,故所求概率为 . 答案:(2),热点三,离散型随机变量的分布列、均值,【例4】 (2018天津卷)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查. (1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?,解:(1)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为322,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别
8、抽取3人,2人,2人.,(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体 检查. 用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望;,设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.,方法技巧,(1)求离散型随机变量的分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件,然后综合应用各类求概率的公式求出概率. (2)求随机变量的期望的关键是正确求出随机变量的分布列,若随机变量服从二项分布,则可直接使用公式求解. (3)对于两点分布、二项分布、超几何分布的期望、方差可直接代入相关公式求解;对
9、于一般类型的随机事件的期望与方差需列出概率分布列,用期望、方差公式求解.,(2)记在这次选拔赛中,甲、乙、丙三名运动员的得分之和为随机变量,求随机变量的分布列和数学期望E.,备选例题 挖内涵寻思路,则当p在(0,1)内增大时,( ) (A)D()减小 (B)D()增大 (C)D()先减小后增大 (D)D()先增大后减小,【例3】 (2018陕西西工大附中七模)在某次联考数学测试中,学生成绩服从正态分布(100,2)(0),若在(80,120)内的概率为0.8,则任意选取一名学生,该生成绩不高于80的概率为( ) (A)0.05 (B)0.1 (C)0.15 (D)0.2,(2)已知1名工人每月
10、只有维修1台机器的能力,每月需支付给每位工人1万元的工资.每台机器不出现故障或出现故障能及时维修,就能使该厂产生5万元的利润,否则将不产生利润.若该厂现有2名工人,求该厂每月利润的均值.,阅卷评析 抓关键练规范,【典例】 (2018全国卷,理20)(12分)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验,设每件产品为不合格品的概率都为p(0p1),且各件产品是否为不合格品相互独立. (1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p
11、)的最大值点p0;,(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用; 若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX; 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?,评分细则: 解:(2)由(1)知,p=0.1.7分 令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知YB(180,0.1),8分 X=202+25Y,即X=40+25Y. 所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=490.10
12、分 若对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为400元. 由于EX400,故应该对余下的产品作检验.12分,注:第(1)问得分说明 由独立重复试验恰有k次发生的概率公式求出f(p),得2分; 对f(p)正确求导,得1分; 求出f(p)的导函数的零点,得1分; 正确讨论f(p)的单调性,得1分; 求出f(p)的最大值点p0,得1分. 第(2)问得分说明: 由(1)写出p的值,得1分; 设出余下的180件产品中不合格品的件数Y,判断出Y服从二项分布,得1分; 求出X,Y的关系式,利用二项分布期望公式求出EX,得2分; 求出检验余下所有产品的总费用,并与EX比较,得出结论,得2分.,【答题启示】 (1)解概率、随机变量及其分布列问题,关键是认真读题,确定求概率所使用公式.本题可能由于读不懂题意或公式使用错误而失分; (2)导数作为研究函数的常用工具,它与概率综合成为高考命题新趋势,本题在对f(p)求导时,常因式子复杂而计算错误而失分. (3)期望与方差的性质 若Y=aX+b,其中a,b是常数,X是随机变量,则 E(aX+b)=aE(X)+b. D(aX+b)=a2D(X). (4)若离散型随机变量XB(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p).,
