1、1第 1 讲 概率、随机变量及其分布列(限时:45 分钟)【选题明细表】知识点、方法 题号抽样方法 1,5古典概型 2,3,6,11,12几何概型 4,7,9离散型随机变量的分布列 8,11,12正态分布 10一、选择题1.(2018福州市质检)为了解某地区的“微信健步走”活动情况,拟从该地区的人群中抽取部分人员进行调查,事先已了解到该地区老、中、青三个年龄段人员的“微信健步走”活动情况有较大差异,而男女“微信健步走”活动情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是( C )(A)简单随机抽样 (B)按性别分层抽样(C)按年龄段分层抽样 (D)系统抽样解析:根据题意及分层抽样的特点,最
2、合理的抽样方法是按年龄段分层抽样.故选 C.2.(2018武汉市四月调研)一张储蓄卡的密码共由 6 位数字组成,每位数字都可以是 09中的任意一个.某人在银行自动取款机上取钱时,忘记了密码的最后一位数字,如果任意按最后一位数字,不超过 2 次就按对的概率为( C )(A) (B) (C) (D)25 310解析:按 1 次按对的概率为 ,按 2 次按对的概率为 = ,91210110由互斥事件的概率公式得所求的概率为 P= + = .故选 C.3.4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( D )(A) (B) (C) (D)78解析:法一
3、 4 位同学,每位同学都可以选周六、周日参加活动,每位同学有 2 种选法,根据乘法原理,共有 24=16 种方法.其中周六、周日都有同学参加活动的方法有 + =14 种.1422则所求概率为 P= = .故选 D.141678法二 4 位同学任选周六、周日的基本事件数为 24,都选择同一天活动为 2 种,则所求事件的概率为 1- = .故选 D.2247824.勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理,其证明方法有几百种之多.著名的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”,用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图,在这幅“勾股圆方图”中,以弦为边长得到的正方形 ABDE 是由 4 个全等的直角三角形
4、和中间的一个小正方形 CFGH 组成的.若 RtABC 的三边长构成等差数列,则在正方形 ABDE 内任取一点,此点取自小正方形 CFGH 内的概率为( C )(A) (B) (C) (D)2549解析:法一 由于 RtABC 的三边长成等差数列,所以 2b=a+c,又 a2+b2=c2,于是(2b-c)2+b2=c2,故 = , = .大正方形 ABDE 的面积为 c2,小正方形 CFGH 的面积为(b-a) 2,在正方形4535ABDE 内任取一点,此点取自小正方形 CFGH 内的概率为 =( - )2= .故选 C.()22 法二 由于 RtABC 的三边长成等差数列,不妨设 a=3,b
5、=4,c=5,于是大正方形 ABDE 的面积为 c2=25,小正方形 CFGH 的面积为(b-a) 2=1,所以在正方形 ABDE 内任取一点,此点取自小正方形 CFGH 内的概率为 .故选 C.5.某学校采用系统抽样方法,从该校高一年级全体 800 名学生中抽 50 名学生做视力检查.现将 800 名学生从 1 到 800 进行编号.已知从 3348 这 16 个数中抽到的数是 39,则在 116中随机抽到的数是( B )(A)5 (B)7(C)11 (D)13解析:把 800 名学生平均分成 50 组,每组 16 人,各小组抽到的数构成一个公差为 16 的等差数列,39 在第 3 组,所以
6、第 1 组抽到的数为 39- 32=7.故选 B.6.(2018湖北武汉高三调研)将一枚质地均匀的骰子投两次,得到的点数依次记为 a 和 b,则方程 ax2+bx+1=0 有实数解的概率是( C )(A) (B) (C) (D)12 1936解析:若方程 ax2+bx+1=0 有实根,则必有 =b 2-4a0,若 a=1,则 b=2,3,4,5,6;若 a=2,则 b=3,4,5,6;若 a=3,则 b=4,5,6;若 a=4,则 b=4,5,6;若 a=5,则 b=5,6;若 a=6,则 b=5,6,所以事件“方程 ax2+bx+1=0 有实根.”包含基本事件共 5+4+3+3+2+2=19
7、,所以事件的概率为 .1936故选 C.7.(2018河北省“五个一名校联盟”二次考试)在如图所示的正方形中随机投掷 10 000 个3点,则落在阴影部分(曲线 C 的方程为 x2-y=0)的点的个数约为( B )(A)3 333 (B)6 667(C)7 500 (D)7 854解析:题图中阴影部分的面积为 (1-x2)dx=(x- )| = ,正方形的面积为 1,设落在阴影部10 1023分的点的个数为 n,由几何概型的概率计算公式可知, = ,n6 667.故选 B.10 000二、填空题8.(2018浙江杭州模拟)随机变量 的分布列为 -1 0 1 2P x y若 E()= ,则 x+
8、y= ,D()= . 13解析:因为 E()= ,13所以由随机变量 的分布列,知+13+16+=1,+16+2=13,所以 x+y= ,x= ,y= ,12 29D()=(-1- )2 +(0- )2 +(1- )2 +(2- )2 = .13 13 13 13 16 13 29答案: 129.甲、乙两人约定上午 7:00 至 8:00 之间到某站乘公共汽车,在这段时间内有 3 班公共汽车,它们开车时刻分别为 7:20,7:40,8:00,如果他们约定,见车就乘,则甲、乙同乘一车的概率为 .解析:设甲到达该站的时刻为 x,乙到达该站的时刻为 y,则 7x8, 7y8,即甲、乙两人到达该站的时
9、刻(x,y)所对应的区域在平面直角坐标系中画出(如图所示)是大(单位)正方形.将三班车到站的时刻在图形中画出,则甲、乙两人要想乘同一班车,必须满足4或 或7134)= . 解析:由题意结合正态分布的性质可知 P(2X4)=0.3,则 P(X4)= =0.2.答案:0.2三、解答题11.(2018山西省六校第四次联考)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的 20 件产品作为样本.称出它们的重量(单位:克),重量的分组区间为(490,495,(495,500, (510,515,由此得到样本的频率分布直方图,如图所示.(1)在上述抽取的 20 件产品中任取 2 件,设
10、X 为取到重量超过 505 克的产品件数,求 X=2 的概率;(2)从上述 20 件产品中任取 2 件产品,设 Y 为取到重量超过 505 克的产品件数.求 Y 的分布列与期望.5解:(1)由频率分布直方图可知,重量超过 505 克的产品件数是20(0.055+0.015)=6,所以 P(X=2)= = .(2)Y 的所有可能取值为 0,1,2,由(1)知重量超过 505 克的产品有 6 件.P(Y=0)= = ,214220P(Y=1)= = ,4295P(Y=2)= = ,所以 Y 的分布列为Y 0 1 2P91190 338E(Y)=0 +1 +2 = .4295 579512.(201
11、8洛阳市统考)甲、乙两家外卖公司,其送餐员的日工资方案如下:甲公司,底薪 80元,每单送餐员抽成 4 元;乙公司,无底薪,40 单以内(含 40 单)的部分送餐员每单抽成 6 元,超出 40 单的部分送餐员每单抽成 7 元.假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同,现从这两家公司各随机选取一名送餐员,并分别记录其 50 天的送餐单数,得到如下频数表:甲公司送餐员送餐单数频数表送餐单数 38 39 40 41 42天数 10 15 10 10 5乙公司送餐员送餐单数频数表送餐单数 38 39 40 41 42天数 5 10 10 20 5(1)现从记录甲公司的 50 天送餐单数中随机抽取 3 天的
12、送餐单数,求这 3 天送餐单数都不小于 40 的概率.(2)若将频率视为概率,回答下列两个问题:记乙公司送餐员日工资为 X(单位:元),求 X 的分布列和数学期 望 E(X);小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员,如果仅从日工资的角度考虑,请利用所学的统计学知识为小王作出选择,并说明理由.解:(1)记抽取的 3 天送餐单数都不小于 40 为事件 M,则 P(M)= = .325350(2)设乙公司送餐员的送餐单数为 a,6当 a=38 时,X=386=228,当 a=39 时,X=396=234,当 a=40 时,X=406=240,当 a=41 时,X=406+17=247,当 a=42 时,X=406+27=254.所以 X 的所有可能取值为 228,234,240,247,254.故 X 的分布列为X 228 234 240 247 254P110 110所以 E(X)=228 +234 +240 +247 +254 =241.8.15 15 25依题意,甲公司送餐员的日平均送餐单数为380.2+390.3+400.2+410.2+420.1=39.7,所以甲公司送餐员的日平均工资为 80+439.7=238.8 元.由得乙公司送餐员的日平均工资为 241.8 元.因为 238.8241.8,所以推荐小王去乙公司应聘.
