1、1第 1 讲 三角函数的图象与性质、三角恒等变换1.(2018全国卷,理 4)若 sin = ,则 cos 2 等于( B )(A) (B) (C)- (D)-89 79 79 89解析:因为 sin = ,所以 cos 2=1-2sin 2=1-2 2= .故选 B.13 13 792.(2016全国卷,理 7)若将函数 y=2sin 2x 的图象向左平移 个单位长度,则平移后图12象的对称轴为( B )(A)x= - (kZ) (B)x= + (kZ)(C)x= - (kZ) (D)x= + (kZ)12 12解析:y=2sin 2x 向左平移 得 y=2sin 2x+ .令 2x+ =
2、+k,kZ,得 x= + ,kZ.故12选 B.3.(2016全国卷,理 5)若 tan = ,则 cos2+2sin 2 等于( A )34(A) (B) (C)1 (D)6425 4825 1625解析:cos 2+2sin 2=2+42+2=1+41+2=1+31+916= .6425选 A.4.(2017全国卷,理 6)设函数 f(x)=cos x+ ,则下列结论错误的是( D )(A)f(x)的一个周期为-2(B)y=f(x)的图象关于直线 x= 对称832(C)f(x+)的一个零点为 x=(D)f(x)在 , 单调递减解析:f(x)=cos x+ 中,x , ,x+ , ,则 f(
3、x)=cos x+ 不是单调函数.故选 D.56435.(2017全国卷,理 9)已知曲线 C1:y=cos x,C2:y=sin 2x+ ,则下面结论正确的是( 23D )(A)把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 个单位长度,得到曲线 C2(B)把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移 个单12位长度,得到曲线 C2(C)把 C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 个单位12长度,得到曲线 C2(D)把 C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移 个单
4、12 12位长度,得到曲线 C2解析:因为 sin 2x+ =cos - 2x+23 23=cos 2x+ .6因此可以先将 y=cos x 即 C1上所有点的横坐标缩短为原来的 倍,纵坐标不变,变为 y=cos 122x,再将 y=cos 2x 向左平移 个单位得到 y=cos 2 x+ =cos 2x+ .故选 D.12 126.(2018全国卷,理 10)若 f(x)=cos x-sin x 在-a,a是减函数,则 a 的最大值是( A )(A) (B) (C) (D)34解析:f(x)=cos x-sin x=- sin x- cos x2=- sin x- ,2当 x - , ,即
5、x- - , 时,34y=sin x- 单调递增,y=- sin x- 单调递减.2因为函数 f(x)在-a,a是减函数,3所以-a,a - , ,34所以 0 时, +2k, +2k ,kZ,12 53 73f(x)0,f(x)单调递增.所以当 x= +2k,kZ,sin x=- ,cos x= ,f(x)有最小值 .53 12又 f(x)=2sin x+sin 2x=2sin x(1+cos x),所以 f(x)min=2 - 1+ =- .12 332答案:-3321.考查角度考查三角函数的图象与性质、三角函数求值(利用三角函数定义、同角三角函数关系、诱导公式、和差三角函数公式、倍角公式
6、等).2.题型及难易度选择题、填空题,试题难度中等.(对应学生用书第 1921 页)三角函数的图象考向 1 三角函数的图象变换【例 1】 (1)(2018榆林一模)已知曲线 C1:y=sin x,C2:y=cos x- ,则下列说法正确的12 56是( )(A)把 C1上各点横坐标伸长到原来的 2 倍,再把得到的曲线向右平移 ,得到曲线 C2(B)把 C1上各点横坐标伸长到原来的 2 倍,再把得到的曲线向右平移 ,得到曲线 C2235(C)把 C1向右平移 ,再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的 ,得到曲线 C212(D)把 C1向右平移 ,再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的 ,得到曲线
7、 C212(2)(2018湖南省两市九月调研)若将函数 f(x)=2sin x+ 的图象向右平移 个单位,再把所得图象上的点的横坐标扩大到原来的 2 倍,得到函数 g(x)的图象,则函数 g(x)图象的一条对称轴为( )(A)x= (B)x=12(C)x= (D)x=76解析:(1)根据曲线 C1:y=sin x,C2:y=cos x- =sin x- ,12 56 12把 C1上各点横坐标伸长到原来的 2 倍,可得 y=sin x 的图象;12再把得到的曲线向右平移 ,23得到曲线 C2:y=sin x- 的图象.故选 B.12(2)将函数 f(x)=2sin x+ 的图象向右平移 个单位得
8、 y=2sin x- + =2sin x- 的图12象,将 y=2sin x- 图象上的点的横坐标扩大到原来的 2 倍得 g(x)=2sin x- ,12 12 12令 x- = +k,(kZ),12 12得 x= +2k,kZ,k=0 时,x= .选 D.76 76三角函数图象变换中容易出错的地方是沿 x 轴方向的平移和伸缩变换:把函数 f(x)=sin x 的图象向右(左)平移 个单位长度,得到函数 g(x)=sin (x-)(g(x)=sin (x+)的图象,把函数 f(x)=sin 1x 的图象上各点的横坐标变为原来的 倍 01 称为缩小为原来的 ,得到函数 g(x)=sin( 1 2
9、x)的图象.12 12考向 2 函数 y=Asin(x+)的图象与解析式【例 2】 (1)(2018湖北省 5 月冲刺卷)已知函数 f(x)=Asin(x+)(A0,0,|0,xR)的部分图象如图所示,则该函数图象的一个对称中心是( )(A) ,0 (B) - ,023(C) - ,0 (D) ,043 43解析:(1)由题图得 A=2,T= - - =,78所以 = =2,因为 x= = 时 y=2,所以 2 += +2k(kZ),所以 = +2k(kZ),因为|0,0,|0,0,|0)个单位后,得到 y=g(x)为偶函数,则 m 的最小值为( )(A) (B) (C) (D)12(2)(2
10、018河北石家庄二中八月模拟)已知 f(x)=sin2x+sin xcos x+2sin x+ cos x+ .当 x , 时,求 f(x)的值域;12若函数 f(x)的图象向右平移 个单位后,所得图象恰与函数 g(x)的图象关于直线 x= 对称,求函数 g(x)的单调递增区间.(1)解析:y=sin xsin x+= sin2x+ sin xcos x12= += sin 2x- + ,12 14将 y= sin 2x- + 的图象沿 x 轴向右平移 m(m0)个单位后,得到 g(x)= sin 2x-2m- +12 14 12的图象,14因为 g(x)= sin 2x-2m- + 为偶函数
11、,12 14所以 2m+ = +k,kZ,即 m= + ,kZ,即正数 m 的最小值为 .故选 D.(2)解:f(x)=sin 2x+sin x cos x+2sin x+ cos x+= + sin 2x+sin 2x+1210= + (sin 2x-cos 2x)+cos 2x1212= (sin 2x+cos 2x)+12 12= sin 2x+ + ,12由 x , ,得 2x+ ,12 54所以- sin 2x+ 1,0f(x) ,即 f(x)在 , 上的值域是 0, .12函数 f(x)的图象向右平移 个单位后得到 h(x)的图象,则 h(x)=f x- = sin 2x+ ,12
12、设点 P(x,y)是 g(x)图象上任意一点,则点 P 关于直线 x= 对称的点 Q -x,y 在 h(x)的图象上,所以 g(x)=h -x = sin -2x +23 12= sin 2x+ + .12所以当- +2k2x+ +2k(kZ),即- +kx +k(kZ)时,g(x)单调递增,12所以 g(x)的单调递增区间是 - +k, +k (kZ).12三角函数的主要性质为奇偶性、周期性、单调性和最值.(1)y=sin(x+)为奇函数的充要条件是 =k(kZ)、为偶函数的充要条件是 =k+ (kZ),函数 y=cos(x+)为奇函数的充要条件是 =k+ (kZ)、为偶函数的充要条件是 =
13、k(kZ);(2)函数11y=sin(x+),y=cos(x+)的最小正周期为 ,函数 y=tan(x+)的最小正周期 T=2|;(3)确定 y=sin(x+),y=cos(x+)的单调性时首先化 为正值,然后把 x+看作整体,利用 y=sin x,y=cos x 的单调区间,得出关于 x+ 的不等式,解不等式即得所求函数的单调区间;(4)确定函数 y=sin(x+)的值域时,一定要准确求出 x+ 的取值范围,结合函数 y=sin x 的单调性得出所求的值域.热点训练 2:(1)(2018广东广州市海珠区一模)设函数 f(x)=cos 2x- ,则下列结论错误的是( )(A)f(x)的一个周期
14、为-(B)y=f(x)的图象关于直线 x= 对称23(C)f x+ 的一个零点为 x=-(D)f(x)在区间 上单调递减3,2(2)(2018安徽宿州第三次质检)将函数 y=2sin -x cos +x -1 的图象向左平移 (0)个6单位,所得的图象恰好关于原点对称,则 的最小值为( )(A) (B) (C) (D)24 12(3)(2018山东青岛二模)已知向量 a= cos x,- ,b=( sin x,cos 2x),xR,设函数 f(x)12 3=ab.求 f(x)的最小正周期;求函数 f(x)的单调递减区间;求 f(x)在 0, 上的最大值和最小值.(1)解析:f(x)=cos 2
15、x- 的周期为 T=k,kZ,所以 A 对,不符合题意;当 x= 时,2x- =,cos =-1,所以 B 对,不符合题意;23f x+ =cos 2x+- =cos 2x+ ,当 x=- 时,f x+ =1;所以 x=- 不是 f x+ 的零点.所以 C 错,符合题意;x 时,2x- ,y=cos x 在 上递减,所以 D 对,不符合题意.故选 C.3,212(2)解析:由于 sin -x =sin - +x =cos +x ,故三角函数的解析式即y=2cos2 +x -1=cos +2x ,令 cos +2x =0 可得 +2x=k+ (kZ),则 x= + (kZ),12取 k=0 可得
16、 x= ,即函数图象与 x 轴正半轴的第一个交点坐标为 P ,0 ,12 12函数图象如图所示,数形结合可知 的最小值为 .故选 B.12(3)解:f(x)= cos x,- ( sin x,cos 2x)12 3= cos xsin x- cos 2x312= sin 2x- cos 2x12=cos sin 2x-sin cos 2x=sin 2x- .f(x)的最小正周期为 T= =,22即函数 f(x)的最小正周期为 . +2k2x- +2k,kZ,32得 +kx +k,kZ,56所以 f(x)的单调递减区间是 +k, +k ,kZ.56因为 0x ,2所以- 2x- .56由正弦函数
17、的性质,13当 2x- = ,即 x= 时,f(x)取得最大值 1.当 2x- =- ,即 x=0 时,f(0)=- ,12当 2x- = ,即 x= 时,f = ,56 12所以 f(x)的最小值为- .12因此,f(x)在 0, 上的最大值是 1,最小值是- .12利用三角恒等变换求值【例 4】 (1)(2018三明模拟)已知角 的终边经过点 P(1,2),则 等于( )()+(A)- (B) (C)- (D)13 13 23 23(2)(2018吉林省百校联盟联考)已知 cos + =3sin + ,则 tan + 等于( )76 12(A)4-2 (B)2 -43 3(C)4-4 (D
18、)4 -43 3解析:(1)因为角 的终边经过点 P(1,2),则 tan = =2,21所以 = = = ,故选 D.(2)由题意可得-sin =-3sin + ,()+ +123即 sin + - =3sin + + ,1212 1212展开得sin + cos -cos + sin 12 12 12 12=3sin + cos +3cos + sin ,12 12 12 12整理可得 tan + =-2tan =-2tan - =-2 =2 -4.选 B.12 12 3(1)利用三角恒等变换求值中使用的知识点:任意角三角函数的定义、同角三角函数关系、诱导公式、两角和与差的三角函数公式、二
19、倍角公式,以及上述公式的变形.(2)利用三角恒等变换求值的基本思路:变换函数名称、变换角、整体代入等.热点训练 3:(1)(2018张掖一模)已知 tan - =4cos(2-),|0,函数 g(t)为增函数,因此函数 g(t)的最大值为 t=-1 或 t= 时的函数值,结合 g(-1)=00,|0),函数 f(x)=mn+3,若函数 f(x)的图象的两个相邻对称中心的距离为 .(1)求函数 f(x)的单调增区间;(2)若将函数 f(x)的图象先向左平移 个单位,然后纵坐标不变,横坐标缩短为原来的 ,得到12函数 g(x)的图象,当 x , 时,求函数 g(x)的值域.解:(1)f(x)=mn
20、+3=2cos x(sin x-cos x)-2+3=sin 2x-cos 2x= sin 2x-2,19因为 T=,所以 =,22所以 =1,所以 f(x)= sin 2x- .2令- +2k2x- +2k,kZ,求得 f(x)的增区间为 - +k, +k (kZ).38(2)将函数 f(x)的图象先向左平移 个单位,得到 y= sin 2 x+ - = sin 2x+ 的图象,2 2然后纵坐标不变,横坐标缩短为原来的 ,12得到函数 g(x)= sin 4x+ 的图象,2故 g(x)= sin 4x+ ,2因为 x ,所以 4x+ ,54 94所以-1sin 4x+ .故函数 g(x)的值域是- ,1.2
