1、1第 1讲 直线与圆、圆锥曲线的概念、方程与性质1.(2018全国卷,理 5)双曲线 - =1(a0,b0)的离心率为 ,则其渐近线方程为( A )223(A)y= x (B)y= x3(C)y= x (D)y= x解析:由 e= = = ,得 = ,3 2所以该双曲线的渐近线方程为 y= x= x,故选 A.22.(2018全国卷,理 6)直线 x+y+2=0分别与 x轴、y 轴交于 A,B两点,点 P在圆(x-2)2+y2=2上,则ABP 面积的取值范围是( A )(A)2,6 (B)4,8(C) ,3 (D)2 ,3 2 2 2 2解析:设圆(x-2) 2+y2=2的圆心为 C,半径为
2、r,点 P到直线 x+y+2=0的距离为 d,则圆心 C(2,0),r= ,所以圆心 C到直线 x+y+2=0的距离为 2 ,可得 dmax=2 +r=3 ,dmin=2 -r=2 2 2 2 2.由已知条件可得 AB=2 ,所以ABP 面积的最大值为 ABdmax=6,ABP 面积的最小值2 212为 ABdmin=2.12综上,ABP 面积的取值范围是2,6.故选 A.3.(2017全国卷,理 5)已知双曲线 C: - =1(a0,b0)的一条渐近线方程为 y= x,且2222与椭圆 + =1有公共焦点,则 C的方程为( B )212(A) - =1 (B) - =1210(C) - =1
3、 (D) - =1解析:由双曲线的一条渐近线方程为 y= x得 4b2=5a2,2椭圆 + =1的焦点为(3,0),212所以 c=3.在双曲线中 c2=a2+b2得 a2=4,b2=5.故选 B.4.(2017全国卷,理 9)若双曲线 C: - =1(a0,b0)的一条渐近线被圆(x-2) 2+y2=4所2222截得的弦长为 2,则 C的离心率为( A )(A)2 (B) (C) (D)3 2233解析:双曲线的一条渐近线方程为 y= x,即 bx-ay=0,圆(x-2) 2+y2=4的圆心为(2,0),半径为 2.依题意可得 2 =2,22即 =1,所以 d= .3又 d= = ,3所以
4、4b2=3c2,所以 4(c2-a2)=3c2,所以 =4,22即 e2=4.所以 e=2.故选 A.5.(2017全国卷,理 10)已知椭圆 C: + =1(ab0)的左、右顶点分别为 A1,A2,且以线2222段 A1A2为直径的圆与直线 bx-ay+2ab=0相切,则 C的离心率为( A )(A) (B) (C) (D)13解析:以 A1A2为直径的圆的方程为 x2+y2=a2,因为直线 bx-ay+2ab=0与圆相切,所以 =a得 a2=3b2,|2|2+2由 a2=b2+c2得 e= ,3故选 A.6.(2018全国卷,理 12)已知 F1,F2是椭圆 C: + =1(ab0)的左、
5、右焦点,A 是 C的左2222顶点,点 P在过 A且斜率为 的直线上,PF 1F2为等腰三角形,F 1F2P=120,则 C的离心率为( D )(A) (B) (C) (D)23 12 13 14解析:由题意可得椭圆的焦点在 x轴上,如图所示,设|F 1F2|=2c,因为PF 1F2为等腰三角形,且F 1F2P=120,所以|PF 2|=|F1F2|=2c,因为|OF 2|=c,所以点 P坐标为(c+2ccos 60,2csin 60),即点 P(2c, c),因为点 P在过点 A,且斜率为 的直线上,所以 = ,解得 = ,14所以 e= ,故选 D.147.(2017全国卷,理 15)已知
6、双曲线 C: - =1(a0,b0)的右顶点为 A,以 A为圆心,b2222为半径作圆 A,圆 A与双曲线 C的一条渐近线交于 M,N两点.若MAN=60,则 C的离心率为 .解析:双曲线方程为 - =1,2222双曲线的渐近线 bx-ay=0与圆相交,4则 A(a,0)到直线 bx-ay=0的距离为 = ,又MAN=60,故 d= b.所以 = b,故 e= = .233答案:2331.考查角度(1)圆的方程、直线与圆的位置关系.(2)椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程与性质.2.题型及难易度选择、填空题,有时也可能出直线与位置关系的解答题,难度为中、低档.(对应学生用书第 4243页)直线与
7、圆考向 1 圆的方程【例 1】 一个圆经过椭圆 + =1的三个顶点,且圆心在 x轴的正半轴上,则该圆的标准方216程为 . 解析:由题意知 a=4,b=2,上、下顶点的坐标分别为(0,2),(0,-2),右顶点的坐标为(4,0).由圆心在 x轴的正半轴上知圆过点(0,2),(0,-2),(4,0)三点.设圆的标准方程为(x-m)2+y2=r2(00),则 解得2+4=2,(4)2=2,所以圆的标准方程为 x- 2+y2= .32答案: x- 2+y2=32考向 2 直线与圆的位置关系【例 2】 (2018全国卷)直线 y=x+1与圆 x2+y2+2y-3=0交于 A,B两点,则|AB|= .解
8、析:由 x2+y2+2y-3=0,得 x2+(y+1)2=4.5所以圆心 C(0,-1),半径 r=2.圆心 C(0,-1)到直线 x-y+1=0的距离 d= = ,2所以|AB|=2 =2 =2 .22 42 2答案:2 2(1)求圆的方程一般有两类方法:几何法,通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系,进而求得圆的基本量;代数法,即用待定系数法先设出圆的方程,再由条件列出方程组求得各系数.如果已知条件与圆心、半径有关,常设圆的标准方程求解;如果已知条件与圆心、半径无直接关系,常设圆的一般方程求解.(2)处理直线与圆的位置关系问题时,主要是几何法,即利用圆心到直线的距离与半径的大小关系判
9、断,并依据圆的几何性质求解;直线与圆相交涉及弦长问题时,主要依据弦长的一半、弦心距、半径恰构成一直角三角形的三边进行求解;经过圆内一点,垂直于过这点的半径的弦最短.热点训练 1:(2018天津卷)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为 . 解析:法一 设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0.因为圆经过点(0,0),(1,1),(2,0),所以解得 =2,=0,=0. 所以圆的方程为 x2+y2-2x=0.法二 画出示意图如图所示,则OAB 为等腰直角三角形,故所求圆的圆心为(1,0),半径为 1,所以所求圆的方程为(x-1) 2+y2=1,即 x2+y
10、2-2x=0.答案:x 2+y2-2x=0热点训练 2:(2016全国卷)设直线 y=x+2a与圆 C:x2+y2-2ay-2=0相交于 A,B两点,若|AB|=2 ,则圆 C的面积为 . 3解析:因为 x2+y2-2ay-2=0,所以 x2+(y-a)2=2+a2,点(0,a)到直线 y=x+2a的距离 d= = .|262+a2- =3,所以 a2=2,所以 r2=2+a2=4,圆面积 S=r 2=4.答案:4圆锥曲线的定义与标准方程考向 1 圆锥曲线的定义及应用【例 3】 点 P是双曲线 - =1的右支上一点,点 M,N分别是圆(x+5) 2+y2=4和(x-5) 2+y2=1216上的
11、动点,则|PM|-|PN|的最小值为( )(A)3 (B)4 (C)5 (D)6解析:a=4,b=3,c=5,所以双曲线两个焦点分别是 F1(-5,0)与 F2(5,0),恰好为圆(x+5) 2+y2=4和(x-5) 2+y2=1的圆心,半径分别为 r1=2,r2=1,因为|PF 1|-|PF2|=2a=8,所以|PM| min=|PF1|-r1=|PF1|-2,|PN|max=|PF2|+r2=|PF2|+1,所以(|PM|-|PN|) min=(|PF1|-2)-(|PF2|+1)=8-3=5.故选 C.考向 2 圆锥曲线的方程【例 4】 (2018衡阳三模)椭圆 + =1(ab0)的左、
12、右焦点分别为 F1,F2,A为椭圆上一2222动点(异于左、右顶点),若AF 1F2的周长为 6且面积的最大值为 ,则椭圆的标准方程为( )3(A) + =1 (B) + =1(C) +y2=1 (D) +y2=1解析:由椭圆的定义可得 2(a+c)=6,所以 a+c=3,当 A在上(或下)顶点时,AF 1F2的面积取得最大值,即最大值为 bc= ,3由及 a2=c2+b2联立求得 a=2,b= ,c=1,3可得椭圆方程为 + =1.故选 A.(1)解有关圆锥曲线焦半径问题,常考虑用定义求解.7(2)求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型,后计算”定型,就是指定类型,也就是确定圆锥曲线的焦点位置
13、,从而设出标准方程.计算,即利用待定系数法求出方程中的 a2,b2或 p.另外,当焦点位置无法确定时,抛物线常设为 y2=2ax或x2=2ay(a0),椭圆常设 mx2+ny2=1(m0,n0),双曲线设为 mx2-ny2=1(mn0).热点训练 3:如图,椭圆 + =1的左、右焦点分别为 F1,F2,点 P在椭圆上,若|PF 1|=4,F 1PF2=120,则a的值为( )(A)2 (B)3 (C)4 (D)5解析:因为 b2=2,c= ,所以|F 1F2|=2 .又|PF 1|=4,|PF1|+|PF2|=2a,|PF2|=2a-4,由余弦定理得cos 120= =- ,42+(24)2(
14、222)224(24) 12解得 a=3.故选 B.热点训练 4:(2018黑龙江模拟)已知双曲线 - =1(a0,b0)的一条渐近线方程是 y= x,它22223的一个焦点坐标为(2,0),则双曲线的方程为( )(A) - =1 (B) - =1(C)x2- =1 (D) -y2=1解析:双曲线 - =1(a0,b0)的一条渐近线方程是 y= x,22223可得 = ,它的一个焦点坐标为(2,0),可得 c=2,即 a2+b2=4, 3解得 a=1,b= ,3所求双曲线方程为 x2- =1.故选 C.8圆锥曲线的几何性质【例 5】 (2018安阳一模)已知 F1,F2分别是椭圆 + =1(a
15、b0)的左、右焦点,P 为椭圆2222上一点,且 ( + )=0(O为坐标原点),若| |= | |,则椭圆的离心率为( )1 1 1 2 2(A) - (B)6 36 32(C) - (D)6 56 52解析:如图,取 PF1的中点 A,连接 OA,所以 2 = + , = ,1所以 + = ,1因为 ( + )=0,1 1所以 =0,1所以 ,1因为| |= | |,1 2不妨设|PF 2|=m,则|PF 1|= m,2因为|PF 2|+|PF1|=2a=m+ m,2所以 m= a=2( -1)a,2因为|F 1F2|=2c,所以 4c2=m2+2m2=3m2=34a2(3-2 ),2所以
16、 =9-6 =( - )2,222 6 3所以 e= - .故选 A.6 3热点训练 5:(2018广西柳州市一模)已知点 P是以 F1,F2为焦点的椭圆 + =1(ab0)上22229一点,若 PF1PF 2,tanPF 2F1=2,则椭圆的离心率 e等于( )(A) (B) (C) (D)13 23 12解析:法一 因为点 P是以 F1,F2为焦点的椭圆 + =1(ab0)上一点,2222PF1PF 2,tanPF 2F1=2,所以 =2,|1|2|设|PF 2|=x,则|PF 1|=2x,由椭圆定义知 x+2x=2a,所以 x= ,23所以|PF 2|= ,则|PF 1|= ,23 43
17、由勾股定理知|PF 2|2+|PF1|2=|F1F2|2,解得 c= a,所以 e= = ,选 A.法二 由 PF1PF 2,tanPF 2F1=2.不妨设|PF 1|=2,|PF2|=1,则|F 1F2|= .5所以 2a=|PF1|+|PF2|=3,2c= .5所以 e= = .故选 A.热点训练 6:椭圆 C: + =1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2,若以线段 F1F2为直径的圆2222与椭圆有交点,则椭圆 C的离心率的取值范围是 . 解析:由题意可知,以 F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=c2,将其代入椭圆方程,消去 y得(a 2-b2)x2+a2b2-a2c2=0.因为
18、圆与椭圆有交点,所以 =0-4(a 2-b2)(a2b2-a2c2)0,所以 a2c2(a2-2c2)0,所以 a22c 2,即 e= ,10又椭圆的离心率 eb0)相交于两点2222A,B,线段 AB的中点为 M(1,1),则椭圆的离心率是( )(A) (B) (C) (D)12 34解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2),则212+212=1,222+222=1,-整理得, =- ,1212 221+21+2又 kAB=- ,34AB中点为 M(1,1),所以- =- ,22 34所以 = ,223411所以 e= = .故选 A.12212【例 3】 (2018齐齐哈尔二模)已知椭
19、圆 + =1(ab0)的短轴长为 2,上顶点为 A,左顶2222点为 B,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,且F 1AB的面积为 ,点 P为椭圆上的任意一点,则 + 的取值范围为( )(A)1,2 (B) , 2 3(C) ,4 (D)1,42解析:由 2b=2可得 b=1,即 A(0,1),又 F1(-c,0),B(-a,0),所以 = (a-c)1= ,112又 a2-c2=1,所以 a=2,c= ,3所以|PF 1|+|PF2|=2a=4,所以 + =4|1|2|= ,4|1|(4|1|)由题意得 2- |PF 1|2+ ,3 3|PF1|(4-|PF1|)=-(|PF1|-2)2+4,所以 1|PF 1|(4-|PF1|)4,所以 1 4.4|1|(4|1|)故选 D.
