1、1五 解析几何(B)1.(2018上饶三模)已知椭圆 C1: +y2=1(a1)的离心率 e= ,左、右焦点分别为 F1,F2,直22线 l1过点 F1且垂直于椭圆的长轴,动直线 l2垂直 l1于点 P,线段 PF2的垂直平分线交 l2于点 M.(1)求点 M 的轨迹 C2的方程;(2)当直线 AB 与椭圆 C1相切,交 C2于点 A,B,当AOB=90时,求 AB 的直线方程.2.(2018烟台模拟)已知动圆 C 与圆 E:x2+(y-1)2= 外切 ,并与直线 y=- 相切.14 12(1)求动圆圆心 C 的轨迹 ;(2)若从点 P(m,-4)作曲线 的两条切线,切点分别为 A,B,求证:
2、直线 AB 恒过定点.3.(2018商丘二模)已知抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点为 F,准线为 l,过焦点 F 的直线交 C于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,y 1y2=-4.(1)求抛物线方程;(2)点 B 在准线 l 上的投影为 E,D 是 C 上一点,且 ADEF,求ABD 面积的最小值及此时直线AD 的方程.4.(2018河南许昌质检)在平面直角坐标系 xOy 中,动点 M 到点(-1,0)与点(1,0)的距离和为 4.(1)求动点 M 的轨迹 的方程;(2)已知斜率为 的直线 l 交 于不同的两点 A,B,是否存在定点 P,使得直线 PA,PB 的斜率122的和恒等
3、于 0,若存在,请求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.1.解:(1)由 e2= = = ,得 a= ,c=1,22212 122故 F1(-1,0),F2(1,0),依条件可知|MP|=|MF 2|,所以点 M 的轨迹是以 l1为准线,F 2为焦点的抛物线,所以 C2的方程为 y2=4x.(2)显然当 AB 斜率不存在时,不符合条件.当 AB 斜率存在时,设 AB:y=kx+m,由 消 y 得(1+2k 2)x2+4kmx+2m2-2=0,=+,22+2=1因为 AB 与 C1相切,所以 =16k 2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=0,得 m2=2k2+11,又由 消 y 得 k2
4、x2+(2km-4)x+m2=0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2= ,x1x2= ,422 22且有 得 k0,km0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=4k,x1x2=-4b.由抛物线的方程可得 y= x2,所以 y= x.14 12所以过 A(x1,y1)的抛物线的切线方程为y-y1= x1(x-x1),12又 y1= ,代入整理得 y= x1x- .1421 12 1421因为切线过 P(m,-4),代入整理得 -2mx1-16=0,21同理可得 -2mx2-16=0.22所以 x1,x2为方程 x2-2mx-16=0 的两个根,所以 x1+
5、x2=2m,x1x2=-16.由可得 x1x2=-4b=-16,x1+x2=4k=2m.所以 b=4,k= ,AB 的方程为 y= x+4.当 x=0 时,y=4,所以直线 AB 恒过定点(0,4).3.解:(1)依题意 F( ,0),当直线 AB 的斜率不存在时,y 1y2=-p2=-4,p=2,当直线 AB 的斜率存在时,设 AB:y=k(x- ),由 化简得 y2- y-p2=0,2=2,=(2),由 y1y2=-4 得 p2=4,p=2,所以抛物线方程为 y2=4x.(2)设 D(x0,y0),B( ,t),则 E(-1,t),又由 y1y2=-4,可得 A( ,- ),因为 kEF=
6、- ,ADEF,所以 kAD= ,故直线 AD:y+ = (x- ),4即 2x-ty-4- =0,由 化简得 y2-2ty-8- =0,2=4,2482=0, 162所以 y1+y0=2t,y1y0=-8- .162所以|AD|= |y1-y0|1+24= = ,1+24(1+0)2410设点 B 到直线 AD 的距离为 d,则d= = ,所以 SABD = |AD|d= 16,12 14(2+162+8) 3当且仅当 t4=16,即 t=2 时取等号,当 t=2 时,AD:x-y-3=0,当 t=-2 时,AD:x+y-3=0.4.解:(1)设动点 M 的坐标为(x,y),因为动点 M 到
7、点(-1,0)与点(1,0)的距离和为 4,42,根据椭圆的定义,知所求的动点 M 的轨迹 是以点(-1,0)与点(1,0)为焦点的 椭圆.所以 解得=1,2=4,2=22,所以轨迹 的方程为 + =1.(2)假设存在定点 P(x0,y0),使得直线 PA,PB 的斜率的和为 0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 PA,PB 的斜率分别为 k1,k2.斜率为 的直线 l 的方程为 y= x+m(mR),12 12由得 x2+mx+m2-3=0,5所以 =m 2-4(m2-3)=-3(m2-4)0,所以 m24,解得-2m2.又所以 y1+y2= (x1+x2)+2m= m,12 32因为 k1+k2= + =0,10102020所以(y 1-y0)(x2-x0)+(y2-y0)(x1-x0)=0,y1x2+y2x1+2x0y0-x0(y1+y2)-y0(x1+x2)=0,所以( x1+m)x2+( x2+m)x1+2x0y0-x0 -y0(-m)=0.12 12 32所以 x1x2+m(x1+x2)+2x0y0+my0- x0=0,32所以 m(y0- x0)+2x0y0-3=0 对于-2m2 恒成立,32所以 0320=0,2003=0,解得 或所以存在定点 P,坐标为(1, )或(-1,- ),使得直线 PA,PB 的斜率的和恒等于 0.32 32
