1、118.2.2 菱 形第 1 课时 菱形的性质1掌握的定义和性质及菱形面积的求法；(重点)2灵活运用菱形的性质解决问题(难点)一、情境导入将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打开，你发现这是一个什么样的图形呢？这就是另一类特殊的平行四边形，即菱形二、合作探究探究点一：菱形的性质【类型一】 利用菱形的性质证明线段相等如图，四边形 ABCD 是菱形，CE AB 交 AB 延长线于 E， CF AD 交 AD 延长线于 F.求证： CE CF.解析：连接 AC.根据菱形的性质可得AC 平分 DAB，再根据角平分线的性质可得CE FC.证明：连接 AC，四边形 ABCD 是菱形， AC
2、平分 DAB. CE AB， CF AD， CE CF.方法总结：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等【类型二】 利用菱形的性质进行有关的计算如图， O 是菱形 ABCD 对角线 AC与 BD 的交点， CD5cm， OD3cm.过点 C作 CE DB，过点 B 作 BE AC， CE 与 BE 相交于点 E.(1)求 OC 的长；(2)求四边形 OBEC 的面积解析：(1)在直角三角形 OCD 中，利用勾股定理即可求解；(2)利用矩形的定义即可证明四边形 OBEC 为矩形，再利用矩形的面积公式即可直接求解解：(1)四边形
3、 ABCD 是菱形， AC BD.在直角三角形 OCD 中， OC 4(cm)；CD2 OD2 52 32(2) CE DB， BE AC，四边形 OBEC为平行四边形又 AC BD，即 COB90，平行四边形 OBEC 为矩形 OB OD， S 矩形OBEC OBOC4312(cm 2)方法总结：菱形的对角线互相垂直，则菱形对角线将菱形分成四个直角三角形，所以可以利用勾股定理解决一些计算问题【类型三】 运用菱形的性质证明角相等2如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC、 BD 相交于点 O， DH AB 于 H，连接 OH，求证： DHO DCO.解析：根据“菱形的对角线互相平分”可得
4、OD OB，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得OH OB， OHB OBH，根据“两直线平行，内错角相等”求出 OBH ODC，然后根据“等角的余角相等”证明即可证明：四边形 ABCD 是菱形， OD OB， COD90. DH AB， OH BD OB， OHB O12BH.又 AB CD， OBH ODC， OHBODC.在 Rt COD 中， ODC DCO90.在 Rt DHB 中， DHO OHB90， DHO DCO.方法总结：本题考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，以及等角的余角相等，熟记各性质并理清图中角度的关系是解
5、题的关键【类型四】 运用菱形的性质解决探究性问题感知：如图，在菱形 ABCD 中，AB BD，点 E、 F 分别在边 AB、 AD 上若AE DF，易知 ADE DBF.探究：如图，在菱形 ABCD 中，AB BD，点 E、 F 分别在 BA、 AD 的延长线上若 AE DF， ADE 与 DBF 是否全等？如果全等，请证明；如果不全等，请说明理由拓展：如图，在 ABCD 中， AD BD，点 O 是 AD 边的垂直平分线与 BD 的交点，点 E、 F 分别在 OA、 AD 的延长线上若AE DF， ADB50， AFB32，求 ADE 的度数解析：探究： ADE 与 DBF 全等，利用菱形的
6、性质首先证明三角形 ABD 为等边三角形，再利用全等三角形的判定方法即可证明 ADE DBF；拓展：因为点 O 在AD 的垂直平分线上，所以 OA OD，再通过证明 ADE DBF，利用全等三角形的性质即可求出 ADE 的度数解：探究： ADE 与 DBF 全等四边形 ABCD 是菱形， AB AD. AB BD， AB AD BD，ABD 为等边三角形， DAB ADB60， EAD FDB120. AE DF，ADE DBF；拓展：点 O 在 AD 的垂直平分线上， OA OD. DAO ADB50， EAD FDB130. AE DF， AD DB， ADEDBF， DEA AFB32，
7、 EDA OAD DEA18.方法总结：本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质的综合运用，解题时一定要熟悉相关的基础知识并进行联想探究点二：菱形的面积已知菱形 ABCD 中，对角线 AC 与BD 相交于点 O， BAD120， AC4，则该菱形的面积是( )A16 B8 C4 3 3 3D8解析：四边形 ABCD 是菱形， AB BC， OA AC2， OB BD， AC BD12 12， BAD ABC180. BAD120， ABC60， ABC 是等边三角形，3 AB AC4， OB AB2 OA2 42 222 ， BD2 OB4 ， S 菱形3 3AB
8、CD ACBD 44 8 .故选 B.12 12 3 3方法总结：菱形的面积有三种计算方法：将其看成平行四边形，用底与高的积来求；对角线分得的四个全等三角形面积之和；两条对角线的乘积的一半三、板书设计1菱形的性质菱形的四边条都相等；菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角2菱形的面积S 菱形 边长对应高 ab(a， b 分别12是两条对角线的长)通过剪纸活动让学生主动探索菱形的性质，大多数学生能全部得到结论，少数需要教师加以引导但是学生得到的结论，有一些是他们的猜想，是否正确还需要证明，因此问题就上升到证明这个环节在整个新知生成过程中，探究活动起了重要的作用课堂中学生始终处于观察、比较、概括、总结和积极思维状态，切身感受到自己是学习的主人为学生今后获取知识、探索发现和创造打下了良好的基础，更增强了敢于实践，勇于探索，不断创新和努力学习数学知识的信心和勇气
