1、1课时跟踪检测（十八） 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题（大题练）A 卷大题保分练1(2018长春模拟)已知椭圆 C 的两个焦点为 F1(1,0)， F2(1,0)，且经过 E.(3，32)(1)求椭圆 C 的方程；(2)过点 F1的直线 l 与椭圆 C 交于 A， B 两点(点 A 位于 x 轴上方)，若 ，AF1 F1B 且 2 0)，联立方程Error!整理得 y2 y90， 1440，(3k2 4) 6k 144k2设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 y1 y2 ， y1y2 ，6k3 4k2 9k23 4k2又 ，所以 y1 y 2，所以 y1y2 (y1 y2)2，A
2、F1 F1B 1 2则 ， 2 ， 1 2 43 4k2 1 43 4k2因为 2 0，解得 0b0)的左、右焦点分别为 F1和 F2，由x2a2 y2b2M( a， b)， N(a， b)， F2和 F1这 4 个点构成了一个高为 ，面积为 3 的等腰梯形3 3(1)求椭圆的方程；(2)过点 F1的直线和椭圆交于 A， B 两点，求 F2AB 面积的最大值解：(1)由已知条件，得 b ，且 3 ，32a 2c2 3 3 a c3.又 a2 c23， a2， c1，椭圆的方程为 1.x24 y232(2)显然直线的斜率不能为 0，设直线的方程为 x my1， A(x1， y1)， B(x2，
3、y2)联立方程Error!消去 x 得，(3 m24) y26 my90.直线过椭圆内的点，无论 m 为何值，直线和椭圆总相交 y1 y2 ， y1y2 .6m3m2 4 93m2 4 S F2AB |F1F2|y1 y2| y1 y2|12 12 y1 y2 2 4y1y2m2 1 3m2 4 24 4 ，m2 1(m2 1 13)21m2 1 23 19 m2 1令 t m211，设 f(t) t ，易知 t 时，函数 f(t)单调递减， t19t (0， 13)时，函数 f(t)单调递增，(13， )当 t m211，即 m0 时， f(t)取得最小值， f(t)min ，此时 S F2
4、AB 取得最109大值 3.3(2018郑州模拟)已知圆 C： x2 y22 x2 y10 和抛物线 E： y22 px(p0)，圆心 C 到抛物线焦点 F 的距离为 .17(1)求抛物线 E 的方程；(2)不过原点 O 的动直线 l 交抛物线于 A， B 两点，且满足 OA OB，设点 M 为圆 C 上一动点，求当动点 M 到直线 l 的距离最大时的直线 l 的方程解：(1) x2 y22 x2 y10 可化为( x1) 2( y1) 21，则圆心 C 的坐标为(1,1) F ，| CF| ，(p2， 0) (p2 1)2 0 1 2 17解得 p6.抛物线 E 的方程为 y212 x.(2
5、)显然直线 l 的斜率非零，设直线 l 的方程为 x my t(t0)， A(x1， y1)，B(x2， y2)由Error! 得 y212 my12 t0， (12 m)248 t48(3 m2 t)0， y1 y212 m， y1y212 t，3由 OA OB，得 0， x1x2 y1y20，OA OB 即( m21) y1y2 mt(y1 y2) t20，整理可得 t212 t0， t0， t12，满足 0，符合题意直线 l 的方程为 x my12，故直线 l 过定点 P(12,0)当 CP l，即线段 MP 经过圆心 C(1,1)时，动点 M 到动直线 l 的距离取得最大值，此时 kC
6、P ，得 m ，1 0 1 12 113 113此时直线 l 的方程为 x y12，即 13x y1560.1134(2018全国卷)已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C： 1 交于 A， B 两点，线x24 y23段 AB 的中点为 M(1， m)(m0)(1)证明： kb0 且 a， b2均为整数)过点 ，x2a2 y2b2 (2， 62)且右顶点到直线 l： x4 的距离为 2.(1)求椭圆 的方程；(2)过椭圆的右焦点 F 作两条互相垂直的直线 l1， l2， l1与椭圆 交于点 A， B， l2与椭圆 交于点 C， D.求四边形 ACBD 面积的最小值解：(1)由题意，得 1，且|
7、4 a|2，若 a2，则 b23；若 a6，则 b22a2 32b2(舍去)，所以椭圆 的方程为 1.2717 x24 y23(2)由(1)知，点 F 的坐标为(1,0)当 l1， l2中有一条直线的斜率不存在时，可得| AB|4，| CD|3 或者|AB|3，| CD|4，此时四边形 ACBD 的面积 S 436.125当 l1， l2的斜率均存在时，设直线 l1的斜率为 k，则 k0，且直线 l2的斜率为 .1k直线 l1： y k(x1)， l2： y (x1)1k联立Error! 得(34 k2)x28 k2x4 k2120.由直线 l1过椭圆内的点，知 0 恒成立，设 A(x1， y
8、1)， B(x2， y2)，则 x1 x2， x1x2 .8k23 4k2 4k2 123 4k2|AB| |x1 x2| 1 k2 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 1 k2 .(8k23 4k2)2 44k2 123 4k2 12 k2 13 4k2以 代替 k，得| CD| .1k 12 k2 14 3k2所以四边形 ACBD 的面积 S |AB|CD|12 ，72 k2 1 2 3 4k2 4 3k2 72 k2 1 2 3 4k2 4 3k22 2 72 k2 1 27 k2 12 2 28849当且仅当 k21，即 k1 时等号成立由于 b0)，定义椭圆 C 的“相关圆”方程为
9、 x2 y2 .x2a2 y2b2 a2b2a2 b2若抛物线 y24 x 的焦点与椭圆 C 的一个焦点重合，且椭圆 C 短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形(1)求椭圆 C 的方程和“相关圆” E 的方程；(2)过“相关圆” E 上任意一点 P 作“相关圆” E 的切线 l 与椭圆 C 交于 A， B 两点， O为坐标原点证明： AOB 为定值解：(1)因为抛物线 y24 x 的焦点(1,0)与椭圆 C 的一个焦点重合，所以 c1.又椭圆 C 短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，所以 b c1，故椭圆 C 的方程为 y21，x22“相关圆” E 的方程为 x2 y2 .23(2)证
10、明：当直线 l 的斜率不存在时，不妨设直线 AB 的方程为 x ， A ， B63 (63， 63)，则 AOB .(63， 63) 26当直线 l 的斜率存在时，设其方程为 y kx m， A(x1， y1)， B(x2， y2)，联立Error! 得 x22( kx m)22，即(12 k2)x24 kmx2 m220， 16 k2m24(12 k2)(2m22)8(2 k2 m21)0，即 2k2 m210，Error!因为直线 l 与“相关圆” E 相切，所以 ，|m|1 k2 m21 k2 23即 3m222 k2，所以 x1x2 y1y2(1 k2)x1x2 km(x1 x2) m
11、2 m2 1 k2 2m2 21 2k2 4k2m21 2k2 0，3m2 2k2 21 2k2所以 ，所以 AOB .OA OB 2综上， AOB ，为定值 23已知椭圆 C1： 1( ab1)的离心率为 ，其右焦点到直线x2a2 y2b2 222ax by 0 的距离为 .223(1)求椭圆 C1的方程；(2)过点 P 的直线 l 交椭圆 C1于 A， B 两点证明：以 AB 为直径的圆恒过定(0， 13)点解：(1)由题意， e ， e2 ， a22 b2.ca 22 a2 b2a2 12所以 a b， c b.2又 ， ab1，所以 b1， a22，|2ac 2|4a2 b2 23故椭
12、圆 C1的方程为 y21.x22(2)证明：当 AB x 轴时，以 AB 为直径的圆的方程为 x2 y21.当 AB y 轴时，以 AB 为直径的圆的方程为 x2 2 ，(y13) 169由Error! 可得Error!由此可知，若以 AB 为直径的圆恒过定点，则该定点必为 Q(0,1)下证 Q(0,1)符合题意当 AB 不垂直于坐标轴时，设直线 AB 方程为 y kx ， A(x1， y1)， B(x2， y2)137由Error! 得(12 k2)x2 kx 0，43 169由根与系数的关系得， x1 x2 ，4k3 1 2k2x1x2 ，169 1 2k2 ( x1， y11)( x2，
13、 y21)QA QB x1x2( y11)( y21) x1x2 (kx143)(kx2 43)(1 k2)x1x2 k(x1 x2)43 169(1 k2) k 169 1 2k2 43 4k3 1 2k2 169 16 16k2 16k2 16 1 2k29 1 2k20，故 ，即 Q(0,1)在以 AB 为直径的圆上QA QB 综上，以 AB 为直径的圆恒过定点(0,1)4(2018沈阳模拟)已知椭圆 1( ab0)的左，右焦点分别为 F1， F2，且x2a2 y2b2|F1F2|6，直线 y kx 与椭圆交于 A， B 两点(1)若 AF1F2的周长为 16，求椭圆的标准方程；(2)若
14、 k ，且 A， B， F1， F2四点共圆，求椭圆离心率 e 的值；24(3)在(2)的条件下，设 P(x0， y0)为椭圆上一点，且直线 PA 的斜率 k1(2，1)，试求直线 PB 的斜率 k2的取值范围解：(1)由题意得 c3，根据 2a2 c16，得 a5.结合 a2 b2 c2，解得a225， b216.所以椭圆的方程为 1.x225 y216(2)由Error! 得 x2 a2b20.(b218a2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)所以 x1 x20， x1x2 ， a2b2b2 18a2由 AB， F1F2互相平分且共圆，易知， AF2 BF2，8因为 ( x13，
15、 y1)， ( x23， y2)，F2A F2B 所以 ( x13)( x23) y1y2F2A F2B x1x290.(118)即 x1x28，所以有 8， a2b2b2 18a2结合 b29 a2，解得 a212，所以离心率 e .32(3)由(2)的结论知，椭圆方程为 1，x212 y23由题可知 A(x1， y1)， B( x1， y1)， k1 ， k2 ，y0 y1x0 x1 y0 y1x0 x1所以 k1k2 ，y20 y21x20 x21又 ，y20 y21x20 x21 3(1 x2012) 3(1 x2112)x20 x21 14即 k2 ，14k1由2 k11 可知， k2 .18 14即直线 PB 的斜率 k2 .(18， 14)
