1、- 1 -上海华东师大二附中 2019 届高三数学考试试卷一、填空题1.设函数 f（x）是奇函数，当 x0 时，f（x）=3 x+x，则当 x0 时，f（x）=_【答案】 【解析】【分析】设 时，则 ，根据题意利用函数的奇偶性求得函数的解析式【详解】设 时，则 ，当 时， ，函数 是奇函数则故答案为【点睛】本题主要考查了解析式法表示函数，函数的奇偶性知识，转化的解题方法，属于基础题。2.已知函数 ，其反函数 图像经过点（3,1） ，则实数 m 的值为_【答案】1【解析】【分析】由反函数知识代入点坐标计算结果【详解】 其反函数 图像经过点 ，函数 经过点 ，解得故答案为【点睛】本题主要考查的知识
2、点是反函数，只需代入点坐标即可求出结果，属于基础题。- 2 -3.设集合 A= ，B= ，则“A B=R”是“a=1”的_条件（填写：充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件之一）【答案】必要不充分条件【解析】【分析】做出两个集合的并集是全体实数时，看出 与 之间的关系，得到 的取值范围，比较两个条件对应的范围，看出两个范围的大小，得到 不能推出 ，但 可以推出【详解】 ， ，当 时，不一定得到当 时一定可以得到是“ ”的必要不充分条件【点睛】本题主要考查了集合关系中的参数取值问题以及必要条件，充分条件和充要条件的判断，熟练掌握各自的定义是解题的关键，属于基础题。4.若关
3、于 的二元一次方程组 有无穷多组解，则 的取值为_【答案】2【解析】关于 的二元一次方程组 有无穷多组解，所以直线 与直线重合，所以 ，解得 ，即 的取值为 ，故答案为 .5.如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1中， ACB90， AA12， AC BC1，则异面直线 A1B 与AC 所成角的余弦值是_【答案】- 3 -【解析】以 C 为坐标原点，CA， CB， CC1所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系， A1(1,0,2)， B(0,1,0)，A(1,0,0)， C(0,0,0)，则 (1,1，2)， (1,0,0)，cos ， .6.方程 表示焦点在 y 轴上的
4、椭圆，则 m 的取值范围是_【答案】【解析】【分析】焦点在 轴上的椭圆的标准方程为 ，其中 ，由此可得 ，解出即可得到实数 的取值范围【详解】 方程 表示焦点在 轴上的椭圆，该椭圆的标准方程为 满足 ，解得则 的取值范围为故答案为【点睛】本题已知椭圆是焦点在 轴上椭圆，求参数 的取值范围，着重考查了椭圆的标准方程和简单性质，属于基础题。- 4 -7.如果数列 为递增数列，且 ，则实数 的取值范围_【答案】 【解析】【分析】由数列为递增数列，列出表达式求出取值范围【详解】数列 为递增数列，则 ，即 ，当时取到最小值，故【点睛】本题考查了数列的单调性，只要比较 与 的大小关系即可算出结果，较为基础
5、。8.从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有_种 （用数字填写答案）【答案】16【解析】分析：首先想到所选的人中没有女生，有多少种选法，再者需要确定从 6 人中任选 3 人总共有多少种选法，之后应用减法运算，求得结果.详解：根据题意，没有女生入选有 种选法，从 6 名学生中任意选 3 人有 种选法，故至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有 种，故答案是 16.点睛：该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到“至多、至少”问题时多采用间接法，一般方法是得出选 3 人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，
6、分别求出有 1 名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解.9.已知 F 是椭圆 C： 的右焦点，P 是 C 上一点，A（-2，1） ，当APF 周长最小时，其面积为_【答案】4【解析】- 5 -【分析】利用椭圆的定义，确定 周长最小时 的坐标，即可求出 周长最小时该三角形的面积。【详解】椭圆 ： ，设左交点为 ，右焦点为周长为当且仅当 三点共线，即 位于 轴上方时， 周长最小此时直线 的方程为 代入 中，可得故故答案为【点睛】本题主要考查的知识点是椭圆焦点三角形面积的求解，解答本题的关键是确定三角形面积最小时点的坐标，进而求出直线方程，属于中档题。10.在 中，角 所对的边分别是
7、 ，且 ，则 的值为_【答案】3【解析】 中，由正弦定理可得- 6 -故答案为 311.若二次函数 f（x）=ax 2+bx+c（a0）在区间 上有两个不同的零点，则 的取值范围为_【答案】【解析】【分析】根据题意可得 ， ， ， ，化简整理，设 ， ，可得 ，的不等式组，作出可行域，根据平移法，可得所求范围【详解】 在区间 上有两个不同的零点，即设 ， ，即有 ，画出上式表示的可行域，由 组成的图形， （包括线段 ， ，不包括曲线 ）由 可得 的最小值为 0当 经过点 ，可得即- 7 -故答案为【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，运用数形结合，找出限制条件，将其转换为线性规划问题，然后求出
8、取值范围，有一定难度。12.已知集合 M= ，集合 M 的所有非空子集依次记为：M 1，M 2，,M 15，设m1，m 2， ，m 15分别是上述每一个子集内元素的乘积，规定：如果子集中只有一个元素，乘积即为该元素本身，则 m1+m2+m15=_【答案】 【解析】【分析】根据二项式定理的推导过程构造出函数 ，当 时，函数的值就是所有子集的乘积。【详解】集合 的所有非空子集的乘积之和为函数 展开式中所有项数之和令 ，故答案为【点睛】本题主要考查的是元素与集合关系的判定，函数展开式的系数问题，构造函数求解，注意转化思想的应用，属于难题。二、选择题13.函数 的图像可能是（ ） A. B. - 8
9、-C. D. 【答案】D【解析】试题分析： ， ，函数 需向下平移 个单位，不过（0,1）点，所以排除A，当 时， ，所以排除 B，当 时， ，所以排除 C，故选 D.考点：函数图象的平移.视频14.等差数列 的前 n 项和为 Sn，若公差 d0， （ - ） （ - ）0，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，由 分析可得 ，结合等差数列的性质可得 ，又由 的公差 ，分析可得， ，且 ，即可得到答案【详解】根据题意，等差数列 中，即 ，为等差数列，- 9 -则有 ，与 异号，必有 ， ，且 ，故选【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，根据题意进行化简，注意化简过
10、程中的计算问题。15.已知 D 为三角形 ABC 的边 AB 上的一点，且 ，则实数 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用 三点共线，可得 ，经过比较即可得到答案【详解】 三点共线，解得故选【点睛】本题主要考查的知识点是向量共线定理，平面向量基本定理，考查了推理能力和计算能力，属于基础题。16.已知函数 ，设 a R，若关于 x 的不等式 f（x） 在 R 上恒成立，则 a 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A- 10 -【解析】【分析】画出分段函数的图像，然后讨论 的取值范围【详解】由已给的函数 的解析式，可得 的图象在直线 的左侧是抛物线 ，在
11、直线 的右侧是对勾函数的图象函数 的图象是由函数 的图象向左平移 个单位或向右平移 个单位得到的在平面直角坐标系中画出 和 的图象，如图所示，结合图象可知，关于 的不等式 在 上恒成立等价于若 ，则 ，由可得 ，由可得 ，取交集可得若 ，只需 ，可得若 ，由图象易知符合题意综上，则 的取值范围为 故选【点睛】本题是一道关于分段函数和不等式的综合题目，在求解过程中先画出分段函数的图- 11 -像，结合图像讨论 的取值，然后求解不等式，有一定难度。三、解答题17.如图所示，在边长为 5 的长方形 ABCD 中，以 A 为圆心画一个扇形，以 O 为圆心画一个圆，M，N，K 为切点，以扇形为圆锥的侧面
12、，以圆 O 为圆锥底面，围成一个圆锥，求圆锥的全面积与体积【答案】【解析】解：设圆锥的母线长为 l，底面半径为 r，高为 h，由已知条件解得 r ，l4 ，S 全面积 rlr 210，h ，V r 2h 18.已知函数 .(1)当 a=0 时,求不等式 f(x)1 的解集(2)若 f(x)的的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 ,求 a 的取值范围【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：（1）代入 时，不等式 化为 ，分类讨论，即可求得不等式的解集；（2）由题设可得 的解析式，求解三角形顶点坐标，得到三角形的面积 ，列出不是，即可求解实数 的取值范围.试题解析：- 12 -（1）当 时，
13、化为 .当 时，不等式化为 ，无解； 当 时，不等式化为 ，解得 ； 当 时，不等式化为 ，解得 ； 综上， 的解集为 . （2）由题设可得 所以 的图像与 轴围成的三角形的三个顶点分别为 ， ， ，该三角形的面积为 由题设 ，且 ，解得所以 的取值范围是 .19.已知函数 ，将 y=f（ x）的图象向左平移 个单位后得到g（x）的图象，且 y=g（x）在区间 内的最小值为（1）求 m 的值；（2）在锐角三角形 ABC 中，若 g（ ）= ，求 sinA+cosB 的取值范围.【答案】 （1） （2）【解析】【分析】根据二倍角公式化简 ，利用平移规律得出 的解析式，根据最小值列方程求出根据条件
14、求出 ，用 表示出 ，化简 得出关于 的函数，根据 的范围，正弦函数的性质得出 的范围【详解】- 13 -， 则当 时， 取得最小值 ，解得,，则，即是锐角三角形，则 ，解得，即的取值范围是【点睛】本题主要考查了三角函数解析式的求解以及解三角形中的取值范围问题，运用辅助角公式、两角和的正弦公式进行化简，需要注意角的取值范围，有一定的计算量，属于中档题。20.在平面直角坐标系 xOy 中，F 是抛物线 C：x 2 =2py（p0）的焦点，M 是抛物线 C 上位于第一象限内的任意一点，过 M，F，O 三点的圆的圆心为 Q，点 Q 到抛物线 C 的准线的距离为 ，- 14 -过定点 D（0，p）作直
15、线与抛物线 C 相交于 A，B 两点。（1）求抛物线 C 的方程；（2）若点 N 是点 D 关于坐标原点 O 的对称点，求ANB 面积的最小值；（3）是否存在垂直于 y 轴的直线 l，使得 l 被以 AD 为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出 l 的方程；若不存在，说明理由.【答案】 （1） （2） （3）【解析】【分析】依题意可知 ，根据题意可知 ，即可求出抛物线 的方程依题意可知点 的坐标，设 ， ，设出直线 的方程，与抛物线联立消去 ，根据韦达定理求出 和 的表达式，代入三角形面积公式，可得当 时， 面积有最小值，并且求出最小值假设满足条件的直线 存在，其方程为 ，则以 为直径的圆的
16、方程为，将直线方程 代入可得 ，则，由此可以求得答案【详解】抛物线 ： 的焦点 ，圆心 在线段 的垂直平分线 ，抛物线 的准线方程为，即抛物线 的方程为依题意可知点 的坐标为设 ， ，设直线 的方程为 ，直线方程与 联立去 可得：- 15 -由韦达定理可得 ，当 时， 面积有最小值假设满足条件的直线 存在，其方程为 ，则以 为直径的圆的方程为 ，将直线方程 ， 代入可得 ，设直线 与以 为直径的圆的交点为 ，则有令 ，即 时， 为定值则直线方程为【点睛】本题主要考查了抛物线方程的求法，考查了满足条件的点是否存在的判断和求解，考查了综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力，一定要掌握解
17、题方法。21.设数列an的前 n 项和为 Sn若 ，则称an是“紧密数列”（1）已知数列an是“紧密数列” ，其前 5 项依次为 1、 ，求 x 的取值范围（2）若数列an的前 n 项和 Sn= ，判断an是否是“紧密数列” ；并说明理由（3）设数列an是公比为 q 的等比数列，若数列an与Sn都是“紧密数列” ，求 q 的取值范围.【答案】 （1） （2）是 （3）【解析】- 16 -【分析】由数列 新定义求出范围由数列的 与 的关系式求出 ，代入 化简后由 的取值求出 的范围，根据“紧密数列”的定义即可得证先设公比是 并判断出 ，由等比数列的通项公式，前 项和公式化简 ， ，根据“紧密数列”的定义列出不等式组，再求出公比 的取值范围【详解】因为数列是“紧密数列” ，则由题意得 解得由 可得：，两式相减可得当 时， 取到最大值。则 ，则 成立由题意可得，等比数列 的公比为当 时， ， ，则，- 17 -数列 与 都是“紧密数列”，解得当 时， ，则 ，满足“紧密数列”的条件，故 的取值范围为【点睛】本题是新定义题，考查了数列的 与 的关系式，等比数列的通项公式，前 项和公式，解题的关键是正确理解新定义并会应用，有一定难度。
